淺談微積分中的反例

【摘要】 本文列舉了微積分中常見的典型反例，并論述了反例在微積分教學中的作用：一方面可以強化概念、揭示概念的內涵，準確把握概念之間的關系，透徹理解定理的條件；另一方面有助于培養(yǎng)學生的逆向思維能力，更有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學技能.

【關鍵詞】 反例；微積分；函數(shù)；微分；積分

用命題形式給出的一個數(shù)學問題，要判斷它是錯誤的，利用只滿足命題的條件但是結論不成立的例證，就足以否定這個命題，這就是反例.通過舉出反例從而證明一個命題的虛假性的方法叫做反例法.反例思想是微積分中的重要思想，用逆向思維方法從問題反面出發(fā)，可以解決用直接方法很難或無法解決的問題.在微積分中存在大量的反例，其意義遠遠超過了它的具體內容，除了它能幫助學生深入地理解有關數(shù)學對象性質之外，還促進了學生的辯證思維方式的形成.

1.連續(xù)、可導、可微問題

微積分中對于無窮大與無界、極大（小）值與最大（小）值以及可導與連續(xù)等容易混淆的概念之間的關系，可以通過運用適當?shù)姆蠢M行準確理解把握.同時也能培養(yǎng)與提高學生的辯證思維能力.

情形1 若函數(shù)y=f（x）在a點處連續(xù)，則函數(shù)y= f（x） 在a點處也連續(xù).但其逆命題不成立.

反例：函數(shù)f（x）= 1，x>0-1，x<0 ，

雖然 f（x） =1在x=0處連續(xù)，但f（x）在x=0處不連續(xù).

情形2 若函數(shù)y=f（x）在點x處可導，則函數(shù)y=f（x）在x點處連續(xù).但其逆命題不成立.

反例：函數(shù)f（x）= x = x，x≥0-x，x<0 ，

雖然函數(shù)f（x）= x 在x=0處連續(xù)，但函數(shù)f（x）= x 在x=0處不可導.

情形3 函數(shù)y=f（x）在x=x0處可導，則函數(shù)f（x）在x=x0的鄰域內不一定連續(xù).

反例：函數(shù)f（x）= x2，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù) ，

在x=0處可導，但在0點的任何鄰域，除0點外都不連續(xù).

情形4 函數(shù)f（x）在x=x0處可導，則f（x）在x=x0處是否有連續(xù)導數(shù)？

反例：函數(shù)f（x）= x2sin 1 x +1， x≠0，0， x=0.

在x=0處可導，但導數(shù)不連續(xù).

事實上，f′（0）=lim x→0 f（x）-f（0） x-0 =lim x→0 x2sin 1 x x =lim x→0 xsin 1 x =0，即函數(shù)f（x）在x=0處可導.但當x≠0時，f′（x）=2xsin 1 x +x2cos 1 x - 1 x2 =2xsin 1 x -cos 1 x

極限lim x→0 f′（x）=lim x→0 2xsin 1 x -cos 1 x 不存在，即函數(shù)f（x）的導數(shù)不連續(xù).

綜上歸結，對一元函數(shù)f（x）在點x0可有：可微可導連續(xù)有極限.通過恰當?shù)姆蠢梢钥旖荻鴾蚀_地把握它們之間所存在的關系.

情形5 當f（x0）≠0時，由 f（x） 在x0可導不一定能推出f（x）在x0可導.

反例 ：函數(shù)f（x）= x，x∈ 0，1 ，-x，x∈ 1，2 .

而 f（x） =x，x∈ 0，2 ，顯然 f（x） 在x0=1處可導，但f（x）在x0=1處不可導.

2.無窮大量與無界量問題

情形6 無窮大量必為無界量，但無界量不一定是無窮大量.

反例：函數(shù)f（x）=3xcos2x+1，

在U +∞ 上無界，但lim x→+∞ f（x）≠∞，若取數(shù)列xn=nπ+ π 4 n=1，2，… ，則xn→+∞ n→∞ ，而lim n→∞ f xn =lim n→∞ 3 nπ+ π 4 ·cos 2nπ+ π 2 +1=1，即f（x）并不趨于∞，f（x）不是無窮大量.

3.函數(shù)的極大（小）值與最大（小）值問題

情形7 可導函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐點，但駐點不一定是函數(shù)的極值點.

反例：x=0是函數(shù)f（x）=x3的駐點，但不是其極值點.

情形8 函數(shù)f（x）的極大（小）值不一定就是最大（小）值.

反例：函數(shù)f（x）= 4 3 x3-4x2+3x+1，x∈ -1，3 ，

由于f′（x）=4x2-8x+3=4 x-1 2-1，易見x= 1 2 或x= 3 2 為f（x）的穩(wěn)定點，列表如下：