淺談競賽中泰勒公式的應用技巧

【摘要】 泰勒公式是大學數學重點內容之一，在大學生數學中占有極其重要的地位，而涉及泰勒公式的題目，難度一般偏大.本文主要通過實例展示，對比分析的方法介紹泰勒公式在求解競賽中的極限題，證明題以及其他題目方面的應用技巧以及注意事項.

【關鍵詞】 競賽；泰勒公式；極限；證明

泰勒公式是高等數學中的重點內容，泰勒公式在求函數的導數、函數的極限、函數的近似值、證明不等式以及其他方面都有著重要應用.泰勒公式的基本思想是用n次多項式擬合一個函數，由于擬合是有誤差的，所以就用余項表示誤差，而常用的余項就有拉格朗日型余項和佩亞諾型余項，下面我們先介紹泰勒公式的基本定義.

泰勒公式的一般形式為：f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+ f″（x0） 2！ （x-x0）2+…+ f（n）（x0） n！ （x-x0）n+Rn（x）.

其中若Rn（x）為拉格朗日型余項，則Rn（x）= f（n+1）（ξ） （n+1）！ （x-x0）n+1，這里ξ介于x與x0之間；若Rn（x）為佩亞諾型余項，則Rn（x）=O[（x-x0）n].使用泰勒公式的前提條件是：函數f（x）在含有x0的某個開區間（a，b）內具有直到（n+1）階的導數，且公式中x∈（a，b）[1].

泰勒公式在數學競賽中用法靈活，且主要用在求極限和證明題中.在極限題中泰勒公式主要與夾逼準則連用；而在證明題中，泰勒公式經常與函數導數、函數的連續性結合使用.同時，泰勒公式是微分中值定理的高度歸納，在某些方面比微分中值定理解題更簡潔，所以在一些競賽題目中，我們可以見到微分中值定理能解決的題目，泰勒公式也能解決.由于泰勒公式的具有包容性，所以在競賽題中經常看到泰勒公式的影子.

下面結合幾道泰勒公式應用于不同方面的競賽題，討論泰勒公式在運用時的關鍵點和注意事項.

1.利用泰勒公式求極限

例1 求極限lim x→∞ e-x 1+ 1 x x2（第二屆全國大學生數學競賽非數學專業組試題）

分析 本題第一想法是利用洛必達法則，但是發現難以解決，所以可以用泰勒公式試試，注意：對于 1+ 1 x x2的處理是將其化為ex2ln 1+ 1 x .

解 原式 =lim x→∞ e-xex2ln 1+ 1 x

=lim x→∞ ex2ln 1+ 1 x -x

=lim x→∞ ex2[ 1 x - 1 2x2 + 1 3x3 +o（ 1 x3 ）]-x

=lim x→∞ e- 1 2 + 1 3x +o 1 x =e- 1 2 .

從上述例題可以看出，在利用泰勒公式求解極限問題時，我們通常使用皮亞諾型余項，且通常要將原式經過一定的變形之后才能運用泰勒公式，在本題中將ln 1+ 1 x 展開時，需要考慮應該展開到哪一項，有時候這需要結合題目去嘗試，比如在本題中，展開后剛好可以留下O 1 x ，使得lim x→∞ O 1 x =0，從而問題順利解決.在求解極限問題時，也會遇到泰勒公式結合函數的奇偶性、單調性（一般是放縮后使用夾逼準則來處理）甚至周期性解題的情況，對此，需要深刻理解泰勒公式的代數意義，即逼近原理.

2.利用泰勒公式的級數收斂性證明

由于泰勒公式與泰勒級數有著密切的關聯，而且泰勒公式與級數都有逼近的數學意義，所以利用泰勒公式證明級數的收斂性在競賽中是常見的.在證明過程中我們應該在何處展開泰勒公式，展開到幾階，是運用佩亞諾型余項還是拉格朗日型余項是難點，同時也是關鍵點，而且證明過程往往伴隨著對函數的變形以及放縮，這又是難點.下面我們對比兩道例題.

例2 設函數f（x）在x=0處存在二階導數，且lim x→0 f（x） x =0，求 證：級數∑ ∞ n=1 f 1 n 收斂.（第五屆全國大學生數學競賽非數學專業組試題）

解 ∵lim x→0 f（x） x =0，∴f（0）=0.

則f′（0）=lim x→0 f（x）-f（0） x-0 =lim x→0 f（x） x =0.

將f（x）在0處展開到二階得： f（x）=f（0）+f′（0）x+ f″（0） 2 x2+O（x2）= f″（0） 2 x2+O（x2）.

∴ f 1 n = f″（0） 2 1 n2 +o 1 n2 ，∴ f 1 n 1 n2 = f″（0） 2 +0 = |f″（0）| 2 .

又∵∑ ∞ n=1 1 n2 收斂，∴級數∑ ∞ n=1 f 1 n 收斂.

例3 設函數f（x）在x=0的某個領域內具有二階連續導數，且lim x→0 f（x） x =0，求證：級數∑ ∞ n=1 f 1 n 收斂.

解 ∵lim x→0 f（x） x =0，∴f（0）=0.則f′（0）=lim x→0 f（x）-f（0） x-0 =0.

將f（x）在0處展開 ：

f（x）=f（0）+f′（0）x+ f″（ξ） 2 x2= f″（ξ） 2 x2.

∴ f 1 n =| f″（ξ） 2 | 1 n2 ，其中ξ∈ 0， 1 n .

∵f（x）在x=0的某個領域內具有二階連續導數，

∴α>0，M>0，使得在[-α，α]上有|f″（ξ）|≤M，

∴ f 1 n ≤ M 2 1 n2 （n足夠大時）而∑ ∞ n=1 1 n2 收斂，∴級數∑ ∞ n=1 f 1 n 收斂.

結合上面兩道例題，能夠看出，通常在已知點或者已知導數的點處展開泰勒公式，而且展開的階次為題干中所給出的最高階次.對比兩道例題，可以發現，例2中只給出了函數f（x）在x=0處存在二階導數，所以例2不能用例3的方法，即不能用拉格朗日型余項，只能用佩亞諾型余項來表示.

3.利用泰勒公式證明不等式

例4 已知：在區間I上，f″（x）>0，x1，x2，x3，…，xn∈I，求證： 1 n [f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≥f x1+x2+…+xn n .

解 令x0= x1+x2+…+xn n ，將f（x）在x0處展開，得

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+ f″（ξ） 2 （x-x0）2 其中ξ介于x與x0之間

又∵f″（x）>0∴f（xi）≥f（x0）+f′（x0）（x-x0），其中i=1，2，3，…，n.

n個不等式相加，得

f（x1）+…+f（xn）≥nf（x0）+f′（x0）（x1+x2+…xn-nx0），

即 1 n [f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≥f（x0）=f x1+x2+…+xn n .

本題很有特色，它包含了運用泰勒公式的基本原則，同時又有創新，通過n個不等式相加得出結論是不容易想到的.

不等式的證明在高等數學中是重點，且具有很強的技巧性.證明不等式的方法很多，常見的就是作差法、作商法以及構造函數法，也會出現構造函數法與中值定理結合使用以及利用凸函數的性質證明不等式的情況，但是其中泰勒公式證明不等式始終是個重點和難點，因為它涉及的內容多，與其他知識點結合的也較多，所以一旦運用不當，問題就得不到有效解決.

4.泰勒公式的其他應用

例5 不查表，求方程x2sin 1 x =2x-1977的近似解，精確到0.001（莫斯科鐵路運輸工程學院1977年競賽試題）[3]

解 x≠0時，令u= 1 x ，應用sinu的麥克勞林公式，得

sinu=u+ 1 2 [-sin（θu）]u2，其中0<θ<1.

∴sin 1 x = 1 x - 1 2x2 sin θ x .

代入原方程，得x=1977- 1 2 sin θ x .

令α=- 1 2 sin θ x ，∵- 1 2 <α< 1 2 ，∴x>1976，0< 1 x < 1 1976 ，0< θ x < 1 1976 ，

∴|α|= 1 2 sin θ x < 1 2 · θ x < 1 2×1976 <0.001，∴x=1977+α≈1977.

泰勒公式可以化繁為簡，這使得它成為分析和研究其他數學問題的有力杠桿.借助泰勒公式，我們可以求函數在某點的近似解，而這種近似思想已經在各個領域內廣泛應用，所以在一些大型數學競賽中也會時常出現求近似解的題目，并且常常是難題，這也值得我們注意.

總之，大學課本上所介紹的泰勒公式內容相對較少，而且相對于競賽而言，沒有介紹它實際的應用技巧，只看課本很難徹底掌握泰勒公式的基本原理.所以需要我們加強泰勒公式的學習，補充常見的泰勒公式的應用方法，并且仔細思考使用它的原因，這樣在競賽的時候才能應用得當，順利解題.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]李心燦.大學生數學競賽試題解析選編[M].北京：機械工業出版社，2011.

[3]陳仲.高等數學競賽題解析教程[M].南京：東南大學出版社，2012.