構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

【摘要】 構(gòu)造思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，具有較強的靈活性與創(chuàng)造性.通過構(gòu)造數(shù)列對數(shù)學(xué)分析中的二個重要定理進行了證明，不僅加深了知識點的理解，而且對提高學(xué)生解決問題的能力有重要意義.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想方法；構(gòu)造數(shù)列；輔助元素

【課題名稱】 獨立學(xué)院數(shù)學(xué)分析的教學(xué)方法探究與改革 【課題編號】 JG2014014

一、引 言

數(shù)學(xué)分析蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如類比、變換、化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、遞推歸納、數(shù)形結(jié)合等，構(gòu)造思想是層次較高的一種，靈活運用可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高解決問題的能力.

二、構(gòu)造思想的涵義

在解決問題時，根據(jù)問題的條件和結(jié)論或問題的性質(zhì)和特點，構(gòu)造出一個與研究對象緊密相關(guān)的輔助元素，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使原問題得以解決；或者構(gòu)造出一個符合條件但是不滿足結(jié)論的反例來否定結(jié)論.

三、構(gòu)造思想的應(yīng)用

該思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用廣泛，如通過構(gòu)造函數(shù)證明微分中值定理、通過構(gòu)造圖像證明不等式、通過構(gòu)造不等式證明重要極限、通過構(gòu)造反例證明發(fā)散等，在此主要介紹構(gòu)造數(shù)列的應(yīng)用.

1.在數(shù)列與其子列的關(guān)系中的應(yīng)用

數(shù)列及其數(shù)列的子列有以下的性質(zhì)定理：

數(shù)列{an}收斂當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列{an}的任何子列都收斂，且極限值相等.即

lim n→∞ an=a任意子列{ank}，有l(wèi)im k→∞ ank=a

該定理在分析數(shù)列收斂性，特別是證明數(shù)列發(fā)散中有非常重要的作用，只要找到一個發(fā)散的子列或者是找到兩個收斂的子列極限值不同即可說明，如數(shù)列 -1 n ，其偶數(shù)項組成的子列收斂于1，奇數(shù)項組成的子列收斂于-1，從而 -1 n 發(fā)散.

該定理的應(yīng)用較多，但其充分性的證明在教材中大都沒有給出具體證明，下面通過構(gòu)造的思想對其充分性進行詳細(xì)的證明，方便學(xué)生加深理解.

例1 對于數(shù)列{an}，若{an}的任意子列{ank}都有l(wèi)im k→∞ ank=a，則lim n←∞ an=a

分析 題目的條件情況太多我們不好入手，且已知若{an}收斂，則{an}的任何子列都收斂，且極限值相等，故選擇反證法，假設(shè){an}不收斂于a，只要可以構(gòu)造出一個子列不收斂于a即可.

2.在海涅定理中的應(yīng)用

海涅定理是連接函數(shù)極限與數(shù)列極限的橋梁，有24種形式，但教材中一般只給x→x0這一種證明，其他的只給出結(jié)論或留給讀者.下面通過構(gòu)造的思想對x→∞的情況的充分性進行證明.

四、小 結(jié)

通過以上的結(jié)果，可知構(gòu)造思想比較靈活，但在解題過程中，只要弄清楚條件與結(jié)論的本質(zhì)特點，找出其中的聯(lián)系便可構(gòu)造出實現(xiàn)目的的輔助元素.其次海涅定理的其余幾種形式的證明可參考上述證明過程.

【參考文獻】

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