高觀點(diǎn)下利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

【摘要】 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)的問題當(dāng)中起著十分重要的作用，尤其是在處理函數(shù)性質(zhì)和不等式有關(guān)的綜合性問題當(dāng)中，導(dǎo)數(shù)往往扮演著重要的角色，需要利用導(dǎo)數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式問題.

【關(guān)鍵詞】 高觀點(diǎn)；不等式問題；導(dǎo)數(shù)；函數(shù)性質(zhì)

一、引 言

有些不等式的證明通過觀察似乎很難想出證明的方法，但在高觀點(diǎn)的思想指導(dǎo)下，就能很快找到解決的途徑.導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)解題的重要工具，同時又是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點(diǎn).這些年高考每年均有一題以上這種類型的題目，而且通常都作為壓軸題出現(xiàn)，因此很有必要研究其解題方法，只要掌握了解題方法和技巧，在高考中遇到這類型題目時將得心應(yīng)手，迎難而解.不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它又是不等式內(nèi)容中的難點(diǎn).證明不等式方法是很多的，但有些問題還是比較難以下手，而導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用開辟了一條新的途徑.在這里主要通過例子來介紹利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的方法.

二、例題解析

例1 已知：m，n∈ N +，且1（1+n）m

證明 ∵1

要證明（1+m）n>（1+n）m，只要證 ln（1+m） m > ln（1+n） n 成立就可以了，

設(shè)f（x）= ln（1+x） x （x≥2），

f′（x）= x 1+x -ln（1+x） x2 ，

由x≥2知0< x 1+x <1；ln（1+x）>ln3>1，

∴f′（x）<0，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，

∵2≤mf（n），∴ ln（1+m） m > ln（1+n） n ，

∴（1+m）n>（1+n）m.

評析：本題主要對原不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性來解決.

例2 求證：emnn≥mnen，（其中m>0，n>0）.

證明 對不等式兩邊取以e為底的對數(shù)得，

lnemnn≥lnmnen，化簡得：m+nlnn≥nlnm+n，nln n m +m-n≥0，

ln n m + m n -1≥0 （*），

即要證原不等式成立，只要證上面（*）不等式成立就可以了，

設(shè)f（x）=lnx+ 1 x -1 （x>0）.

易知f（1）=0，f′（x）= 1 x - 1 x2 = x-1 x2 ，

當(dāng)x∈（0，1）時f′（x）<0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時f′（x）>0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，

∴f（1）為函數(shù)的最小值，即f（x）≥f（1）=0.

∴l(xiāng)n n m + m n -1≥0恒成立，故原不等式成立.

評析 本題和例1方法類似.

例3 已知函數(shù)f（x）=xlnx （x>0）.斜率為k的直線與曲線y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1

證 k= f′（x2）-f′（x1） x2-x1 = lnx2-lnx1 x2-x1 .

要證x1< 1 k

1< x2 x1 -1 ln x2 x1 < x2 x1 ，令t= x2 x1 ，

則只要證1< t-1 lnt

由t>1知lnt>0，故等價(jià)于證lnt1）（*）.

① 設(shè)g（t）=t-1-lnt（t≥1），則g′（t）=1- 1 t ≥0（t≥1），故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴ 當(dāng)t>1時，g（t）=t-1-lnt>g（1）=0，即t-1>lnt（t>1）.

② 設(shè)h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），則h′（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴ 當(dāng)t>1時，h（t）=tlnt-（t-1）>h（1）=0，即t-11）.

由①②知（*）成立，故不等式得證.

評析 本題先利用解析幾何的知識將原不等式等價(jià)變形，再通過構(gòu)造函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)來解決問題.

例4 已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx.且0

求證：0

證明 g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，

設(shè)F（x）=g（a）+g（x）-2g a+x 2 ，

則F′（x）=g′（a）+g′（x）-2 g a+x 2 ′=lnx-ln a+x 2 ，

當(dāng)0

當(dāng)x>a時，F(xiàn)′（x）>0，因此F（x）在（a，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，

從而，當(dāng)x=a時F（x）有極小值F（a），因此 F（a）=0，b>a 所以F（b）>0，即 0

設(shè)G（x）=F（x）-（x-a）ln2，則 G′（x）=lnx-ln a+x 2 -ln 2=lnx-ln（a+x），

當(dāng)x>a 時G′（x）<0，因此G（x）在（a，+∞）上為減函數(shù).

因?yàn)?G（a）=0，b>a，所以G（b）<0，即g（a）+g（b）-2g a+b 2 <（b-a）ln2.

原不等式得證.

評析：本題含有兩個不等式，因此分別構(gòu)造兩個函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)來解決.

例5 已知函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{an}滿足0

證明 由已知條件易知an+1< 1 6 a3n等價(jià)于

1 6 a3n-an+1>0，又等價(jià)于sinan-an+ 1 6 a3n>0，

設(shè)g（x）=sinx-x+ 1 6 x3，其中0

由三角函數(shù)的圖像易知當(dāng)0-2 x 2 2+ x2 2 =0，

∴g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，g（0）=0

∴當(dāng)0g（0）=0成立，因此g（an）>0，即sinan-an+ 1 6 a3n>0，故an+1< 1 6 a3n.

評析：本題有數(shù)列、三角函數(shù)和不等式等知識點(diǎn).利用三角函數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)來解決.

三、意 蘊(yùn)

以上題型都是通過對原不等式進(jìn)行變形之后，觀察其特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行解決問題.利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式都是難點(diǎn)，對綜合能力的考查也達(dá)到了相當(dāng)?shù)母叨?但只要掌握了其解題之規(guī)律，就能從審視題目中很快找到解決之思路，從而輕松解決.

數(shù)學(xué)知識發(fā)源于問題，活用于問題解決，問題解決實(shí)質(zhì)上運(yùn)用已有的知識去探索新情境的問題，以達(dá)到新問題的解決，在問題解決中，作為老師一定要注重培養(yǎng)學(xué)生的高觀點(diǎn)思想方法及解題技巧，這樣才能有利于學(xué)生解題能力的拓展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]羅春才.淺談利用導(dǎo)數(shù)處理不等式有關(guān)的問題[J].魅力中國，2009（05）.

[2]黃輝.利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問題[J].成才之路，2007（36）.