淺談數學建模思想在高等數學中的運用

【摘要】 本文首先闡述了數學建模思想，然后討論了在高等數學教學中融入建模思想的必要性，最后通過高等數學教學中的具體例子說明了將數學建模思想融入高等數學教學的可行性.

【關鍵詞】 數學建模；數學建模思想；高等數學

一、數學建模思想

數學建模就是在實驗、觀察和分析的基礎上，對實際問題的主要方面作出合理的簡化與假設；確定變量和參數；應用數學的語言和方法將實際問題形成一個明確的數學問題；用數學理論、方法對該問題求解或用數值計算方法、計算機編程求近似解；檢驗求解的結果是否符合實際，對這樣過程的多次反復進行指導能較好地解決問題，這就是數學建模的全過程.

數學建模作為一種數學的思考方法，是處理現實問題的一種有效的數學手段.通過觀察分析問題，抽象、簡化問題而提煉出現實問題的數學模型，之后再利用數學建模的知識去處理該問題.

二、將數學建模思想融入高等數學教學的必要性

傳統的數學教學往往更加重視對于學生邏輯思維能力的訓練，而忽略了數學對解決實際問題的作用的講解，導致學生覺得數學沒有用處，最終影響了學生的學習積極性.數學建模能夠有效地使用數學知識來解決現實問題，在高等數學的教學中滲透數學建模思想，有助于使學生認識到數學能夠用于解決實際問題，并且能夠發揮強大的作用.一旦感受到了作用，就會引起學生學習數學的興趣.

隨著時代的發展，高校已將創新能力作為學生培養能力之一.對于學生創新意識、思維和能力的培養也已經成為高等數學教學的重要的培養目標之一.數學建模中需要用到眾多方法、技巧，并且要經過認真的分析和綜合，另外，數學建模并沒有固定的方法或者模式遵循，會因為問題的不同而不同，也往往因為解決問題的人的不同而不同，它的方法靈活多樣，這能夠給予學生更多的空間和培養學生的創造力.在高等數學的教學過程中滲透數學建模思想，將有助于學生對于知識的理解，進而提高教學效果.

三、高等數學教學中數學模型案例

在課堂上，除了將概念、定義、定理、方法講清楚外，適當地引入與課堂相關的數學模型案例有助于激發學生對數學的應用性和重要性的認識.課堂下，組織學生解決簡單的數學模型問題既鍛煉了學生利用數學解決實際問題的能力，又能借此鞏固所學知識.以下分別從概念、定理、習題這三個方面舉例說明數學模型案例在高等數學教學中的有效運用.

1.在概念中滲透數學建模思想

數學概念一般來源于實際生產生活中的需要，例如導數的概念、定積分的概念.這就要求，在闡述概念時要重視概念與實際的結合，突出其應用價值.數學上抽象出了導數的概念，而在導數概念介紹完后，要明確指出瞬時速度是路程對時間的導數、電流是電荷對時間的導數.加強概念的闡述與舉例說明，有助于學生體會數學概念的應用價值與實際意義.

2.在定理中滲透數學建模思想

對于高等數學中的定理，學生往往知道定理在高等數學中的使用，但并不知道定理在實際生活中有什么作用.例如，在講解閉區間上連續函數的零點存在定理時，可以提出這樣的問題：一個四腳等長的椅子能夠在不平的地面上放平？這是一個日常生活中經常遇到的例子，學生比較熟悉，也樂于猜想、思考.問題看似簡單，但如何與零點存在定理聯系起來呢？這樣的提問能夠積極的調動學生的積極性.再如切分蛋糕問題：一刀能夠過一點把一個邊界形狀任意的蛋糕面積二等分嗎？

模型假設：蛋糕平放在桌面上，蛋糕表面與水平面平行.

模型建立：設平面上有一條形狀任意的封閉曲線，沒有交叉點，P是曲線所圍圖形內的任意一點.證明：過P點必存在一條直線L將圖形面積二等分.

符號說明：設S1，S2是直線L將圖像分成的兩部分的面積，θ為L與x軸的夾角，θ0為L與x軸的初始夾角，θ∈[θ0，θ0+π]，S1，S2是θ的連續函數，即S1=S1（θ），S2=S2（θ）.

模型求解：如果S1=S2，則L為要找的直線.如果S1≠S2，不妨設S1>S2.點P為旋轉中心，直線L按順時針方向旋轉.令f（θ）=S1（θ）-S2（θ），f（θ）為[θ0，θ0+π]上的連續函數.且f（θ）=S1（θ）-S2（θ），f（θ0+π）=S1（θ0+π）-S2（θ0+π）=S2（θ0）-S1（θ0）<0.

則由零點定理知，存在ξ∈（θ0，θ0+π），使得f（ξ）=S1（ξ）-S2（ξ）=0，即S1（ξ）=S2（ξ）.

模型結論：由上述證明可知，過蛋糕表面上任一點存在直線能將蛋糕切成面積相等的兩塊.

模型評價：這個模型的建立和求解雖然沒有解決實際操作，但是卻從理論上證明了可行性.

3.在習題中滲透數學建模思想

除了在教學中使用一些實際應用的數學模型近似建模示范外，還可以在一些章節學完之后適當選擇一些實際應用問題讓學生自己進行分析.將數學建模思想方法運用到高等數學的教學中.一方面，有助于學生學習數學的興趣培養.另一方面，學生在數學建模的過程中提高了自己的數學知識水平，增強了運用數學知識的能力，有助于高等學校培養創新型人才.

【參考文獻】

[1]姜啟源.數學模型[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]林昕茜.數學建模思想在高等數學教學中應用價值的研究[J].桂林電子科技大學學報，2009（4）：155—158.