隨機(jī)平均法對(duì)非線性系統(tǒng)響應(yīng)的研究

【摘要】 本文研究了DuffingVan der Pol算例，放棄了FFT（快速Fourier變換）數(shù)值方法，通過函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和Fourier級(jí)數(shù)展開二次近似，逐步推導(dǎo)逼近了結(jié)果，這樣可以使結(jié)果更具有理論依據(jù).

【關(guān)鍵詞】 隨機(jī)平均法，DuffingVan der Pol振子，級(jí)數(shù)展開

1理論推導(dǎo)

同時(shí)受乘性和加性寬帶隨機(jī)激勵(lì)的DuffingVan der Pol振子由Zhu[1]研究，作為一個(gè)例子，系統(tǒng)模型的方程是

x · · +（-β1+β2x2）x · +ω2sx+x3=xF1（t）+F2（t） （1）

其中ωsβ1β2是常量，F(xiàn)1（t）F2（t）是穩(wěn)定的零均值各態(tài)歷經(jīng)過程，具有零均值和互功率譜密度如下：

si（ω）= Di π ω2-ω2i 2+4πξ2iω2iω2 （2）

其中ξi，ωi，Di為常數(shù).

記 λ=（a2/4）/（ω20+3a2/4）≤ 1 3 （3）

β（a，φ）由Fourier級(jí)數(shù)展開可得

β（a，φ）=b0（a）+b2（a）cos2φ+b4（a）cos4φ+b6（a）cos6φ （4

所以，平均頻率為

ω（a）=b0（a）=（ω20+3a2/4）1/2（1-λ2/16） （5）

然后做一個(gè)由x，x到a，φ的一個(gè)VanderPol變換，可寫成2個(gè)在變換域內(nèi)一階差分方程，對(duì)方程中各項(xiàng)系數(shù)做Fourier級(jí)數(shù)展開，所得結(jié)果用于求解伊藤方程的漂移和擴(kuò)散系數(shù).

2.結(jié)果分析

FPK方程的2個(gè)邊界是a=0和∞.如果ω20>0，a=0是一個(gè)規(guī)則邊界.如果永久激勵(lì)沒有消失，a=∞是一個(gè)異常邊界.在假設(shè)2個(gè)邊界間以零概率循環(huán)FPK方程的穩(wěn)態(tài)解是

p（a）= c σ2（a） exp ∫ a 0 2u（s） σ2（s） ds （6）

其中C是正規(guī)化常量，一旦p（a）得到了，p（x，x · ）和p（x）就可以由以下關(guān)系得出

p（E）=p（a） da dE = p（a） g（a） ，a=V-1（E） （7）

p（x）=∫ ∞ -∞ p（x，x · ）dx · =∫ ∞ -∞ p（E） T（E） dx · （8）

由此就得到了DuffingVan del Pol的概率密度，對(duì)其響應(yīng)的性質(zhì)可以進(jìn)行進(jìn)一步研究.

改變?chǔ)蝔ωf的數(shù)值，功率譜密度函數(shù)的形狀從窄變化到寬.對(duì)D取合適的值，方程（1）的正態(tài)激勵(lì)可以變得非常小.ε由參數(shù)ρ度量ρ=σf/m，其中σ2f是激勵(lì)的功率譜密度函數(shù)區(qū)域的切割，m是系統(tǒng)的質(zhì)量.ε的度量由于它同樣依靠激勵(lì)頻率的帶寬和系統(tǒng)頻率激勵(lì)的主要頻率將很困難.就此問題m=1時(shí)，σ2fF（t）的功率譜密度函數(shù)切割下方區(qū)域.乘性激勵(lì)F1（t）和加性隨機(jī)激勵(lì)F2（t）的功率譜密度函數(shù)，其中D=0.2，ξf=5，ωf=0.5.從前文中獲得概率密度函數(shù)p（a）和p（x）和模擬結(jié)果見上圖左和上圖右.

【參考文獻(xiàn)】

[1]W.Q.Zhu，Z.L.Huang，Y，Suzuki，Response and stability of strongly nonlinear oscillators under wideband random excitation，Iternational Journal of NonLinear Mechanics 36 （2001）1235-1250.