格論中的一些反例

【摘要】 Dedekind觀察到環的附加子群格和群的正規子群格滿足模律不等式，而后引出了一個非分配模格的例子M3，本文由M3開始歸納探討了格論中的一些反例.

【關鍵詞】 模律；不等式；反例

【中圖分類號】 O153.1

一、預備知識

格論是代數學的一個分支，其在19世紀由Boole，Peirce，Schroder的工作演化而來，并由Dedekind，Birkhoff等人在20世紀上頁所做的工作推動.Boole奠定了代數學的基礎，從那時起就已經由集合系統引出了對分配格的研究.而后Dedekind觀察到一個環的附加子群和一個群的正規子群在自然方式下構成格，并且這些格滿足一個特殊的性質叫做模律，我們用一個式子

c≤b，c∨（a∧b）=（c∨a）∧b

表示這個性質.這個式子被稱為一個不等式，我們在格論中用這樣一些不等式刻畫格的性質.已經知道模律是分配律的一個結果，即任意滿足分配律的格一定滿足模律，而Dedekind的觀察引出了一個滿足模律但不滿足分配律的例子，即下文要提到的非分配模格M3.在格論中有不少這樣的反例，本文歸納其中一部分并進行討論.

定義1 一個包含最小元0的格是原子格，如果對于每一個非0元b>0，都有一個原子a在其下方，即b≥a>0.

定義2 一個格中的任意三個元素a，b，c，如果c≤b，都有c∨（a∧b）=（c∨a）∧b成立，那么這個格叫模格.

定義3 任取一個格中的元素x，如果存在一個元素y，使得x∧y=0，x∨y=1同時成立，那么元素y叫做x的一個補.如果一個格中任意元素都有補，那么這個格叫有補格.

引理1 模格不一定是分配格，如菱形M3

圖1 菱形M3

證明：菱形M3是模格，因為對任意三個元素a，b，c，如果c≤b，都有

c∨（a∧b）=（c∨a）∧b 成立；取M3中所示的三個元素a，b，c，

有c∨（a∧b）=c≠1=（c∨a）∧（c∨b）， 所以M3不是分配格.

二、主要結果

1.模律和分配性相關條件下的反例

定理1 六邊形格為不滿足正交模律的正交補格

證明：圖中任意元素a，都存在元a⊥，使得正交補的三個條件成立，即每個元素都有一個正交補，所以這個六邊形為正交補格.另一方面，因為b⊥≤b⊥，所以有b⊥⊥b.已知a≤b，而a∨（b∧b⊥）=a≠0=（a∨b）∧b⊥，所以這個正交補格不是正交模格.

圖2 六邊形

定理2 下圖所示的格為非模正交模格

圖3

2.有補性相關的條件下格的反例

定理3 N5是有補格但不是相對有補格，也不是部分有補格

圖4 五邊形N3

證明：格N5中的任意元素都有補，因此N5為有補格.而區間 0，b 中的元素c沒有補，所以N5既不是相對有補格也不是部分有補格.

三、小 結

格論中的不等式用來刻畫格的性質，各個不等式之間既有聯系也有區別.本文分別從原子格，模格和有補格這三類格出發，歸納并探討了相關條件下的格的反例.格論中具有豐富的不等式條件，本文只是摘取了其中一部分進行討論，更多復雜的情形還有待于進一步的研究.