一道選擇題的推廣

【摘要】 本文通過對一道選擇題的推廣研究，給出了該類問題的一般解法，并揭示了m·OA +n·OB +p·OC = 0 與S△BOC·OA +S△COA·OB +S△AOB·OC = 0 問題的等價性實質.

【關鍵詞】 向量重心面積比

問題：設點O在△ABC的內部，且有OA +2OB +3OC = 0 ，則△ABC的面積與△AOC

的面積比為（ ）.

A.2 B. 3 2 C.3 D. 5 3

圖 1 解 選C.

參考書給出的答案：如圖1，設M，N分別為AC，BC的中點，則

OA +OC =2OM ，2（OB +OC ）=4ON .

從而OA +2OB +3OC =2（OM +2ON ）= 0 .

即：OM 與ON 共線，且 OM =2 ON .

所以： S△ANC SAOC = 3 2 ，于是 S△ABC SAOC = 3·2 2 =3.

圖 2 換個角度思考：如圖2，延長OB至E，使OE=2OB，延長OC至F，使OF=3OC.

則OA +OE +OF = 0 .

從而得知點O為△AEF的重心，

S△AOC= 1 3 S△AOF= 1 9 S△AEF.

S△AOB= 1 2 S△AOE= 1 6 S△AEF.

S△BOC= 1 6 SΔEOF= 1 18 S△AEF.

所以：S△ABC= 1 3 S△AEF，

故S△ABC=3S△AOC.

且S△BOC：S△COA：S△AOB=1∶ 2∶ 3.

試題推廣：設O在△ABC的內部，且有

m·OA +n·OB +p·OC = 0 （m，n，p∈ R +）則：△ABC的面積與△AOB，△BOC，△AOC的面積比分別為： m+n+p p ， m+n+p m ， m+n+p n .

圖 3 事實上，如圖3，延長OA至D，使OD=m·OA，延長OB至E，使OE=n·OB，

延長OC至F，使OF=p·OC，

則OD +OE +OF = 0 ，從而點O為△DEF的重心，

顯然，S△AOB= 1 mn S△DOE= 1 3mn S△DEF.

S△BOC= 1 np SΔEOF= 1 3np S△DEF.

S△AOC= 1 mp S△DOF= 1 3mp S△DEF.

所以S△ABC= m+n+p 3mnp S△DEF.

故S△ABC= m+n+p p S△AOB.

S△ABC= m+n+p m S△BOC.

S△ABC= m+n+p n S△AOC.

且S△BOC∶ S△COA∶ S△AOB=m∶ n∶ p.

進一步思考：如圖4所示，設點O是△ABC內的一點，則：

S△BOC·OA +S△COA·OB +S△AOB·OC = 0 .

圖 4 證明：OA = AO AD ·AD = AO AD · DC BC ·AB + AO AD · BD BC ·AC

= S△COA S△ACD · S△ACD S△ABC ·AB + S△AOB S△ABD · S△ABD S△ABC ·AC = S△COA S△ABC ·AB + S△AOB S△ABC ·AC

= S△COA S△ABC ·（OB -OA ）+ S△AOB S△ABC ·（OC -OA ）.

S△ABC·AO =S△COA·（OB -OA ）+S△AOB（OC -OA ）.所以S△BOC·OA +S△COA·OB +S△AOB·OC = 0 .

若設S△BOC=λ·mS△COA=λ·n.

S△AOB=λ·p（λ≠0且λ>0）.

則有：m·OA +n·OB +p·OC = 0 .

結束語

綜上所述，三角函數的學習是數學教程中的一個關鍵部分，其包含的變化規律，具有很強的適應性.本文通過邏輯思維推理，對一道選擇題的解題思路進行分析，以展現三角函數解題的奧妙.通過上述分析可知，三角函數的解題思路是環環相扣，并且只要尋找到解題的奧妙，就很容易感受到函數學習的趣味性.然而數學三角函數解題思路千變萬化，要想真正掌握每一道選擇題的解答方法，就需要發現定律，不斷拓展自己的邏輯思維和空間想象力.只有這樣才能真正的學好數學知識.

【參考文獻】

[1]漆常秋.三角形重心問題向量法探究[J].新高考（高二數學）.2013（1）.

[2]林新軍.三角形重心的向量形式及推論的巧妙應用[J].中學數學教學.2007（3）.

[3]徐加生.與三角形“四心”有關的向量問題[J].中學生數理化（高考版）.2009（11）.