一類對數型函數的若干單調性

【摘要】 本文從一道例題的求解，悟出了一類含參的對數型函數的若干單調性，并通過證明獲得其正確性，進而應用該性質求解與此類問題相關的一些題目，體現了該性質的簡潔性和實用性.也給此類對數型函數在參數設定范圍的前提下，當函數有意義時的單調性作了定性.

【關鍵詞】 對數型函數；單調性；應用

數學的實質就是揭示一定范疇內事物的數學規律，并利用規律解決數學問題的學科，而發現規律大多是從一些事例中歸納演繹產生的，事物的規律是事物的特性.函數的單調性是函數的重要性質之一，利用函數的單調性解題證題是常用的數學思想方法，本文從一例題的求解過程中，想到了三種解法，經分析對比知，利用函數思想求解方法簡潔明了，屬優選法，悟出了含參的對數型函數的若干單調性，并給出了證明.利用其進行求解求證，特別是此類數值的大小比較，復合型函數的單調區間計算等效果頗佳，也給此類函數的性質結果作了清晰的結論，為解決一類問題提供了理論依據.

例 比較大小：log23與log34

根據題目結構特征，如果我們知道了函數y=logx（x+1）的單調性，問題就極易獲解.

下證：函數f（x）=logx（x+1）在 （1，+∞）上是單調減函數.

證法1：設x>1，則x>1x+1>x>1ln（x+1）>lnx>0.

因為f（x）=lnx（x+1）= ln（x+1） lnx ，f′（x）= xlnx-（x+1）ln（x+1） x（x+1）（lnx）2 ，又因為x+1>x>1ln（x+1）>lnx>0 （x+1）lnx>xlnx（x+1）lnx-xlnx>0，

所以f′（x）= xlnx-（x+1）ln（x+1） x（x+1）（lnx）2 <0 即函數f（x）在 （1，+∞）上是減函數.

大小顯而易見，由此產生了解法一.這里我們約定（1，+∞）是為了使結論充分成立，進而在進行探究.

證法2：作差，判定符號易知數列 an=logn（n+1）是遞減數列.由此產生解法二.

利用放縮法也可以獲解：因為 log23>log32 2 = 3 2 =log33 3 >log34.

即log23>log34由此產生解法三.但這樣的放縮法證題解題，思維隱蔽，難以切入.

不難看出，如果對數型函數f（x）=logx（x+1）的單調性已知，此類問題的求解就簡潔明了，答案易于獲得.下面我們對這一類對數型函數在參數一定的范圍內，當函數有意義的條件下，對其若干單調性進行探究并進行證明和應用.

一類對數型函數的若干單調性：

性質1 函數f（x）=logx（x+a），若a>0，則 在x∈ 0， 1 e 上是單調增函數；在x∈ 1 e ，+∞ 上是減函數.

證明： f（x）=logx（x+a）= ln（x+a） lnx f′（x）= xlnx-（x+a） ln（x+a） x（x+a）（lnx）2

令g（x）=xlnx，則有 g ′（x）=（xlnx）′=lnx+1 即x∈ 0， 1 e 時，g′（x）<0，此時g（x）為減函數函數，又a>0，所以x（x+a）ln（x+a），即有f′（x）>0，所以f（x）為增函數；

當x∈（ 1 e ，+∞）時，g ′（x）>0，g（x）為增函數函數，a>0，所以x

性質2 函數f（x）=logx（ax+b），若a>1，b>1，則該函數在x∈（1，+∞）

上是單調遞減函數.

性質3 函數f（x）=logx（ax+b），若，0

性質4 函數f（x）=logx（ax+b），若，a>1，b>1，則該函數在x∈（0，1）上是單調減函數.

例1 比較大小：log35與log46.

解 因為f（x）=logx（x+2）在a>0時，x∈ 1 e ，+∞ 上是減函數（對數型函數的性質1），x1=3，x2=4，所以log3（3+2）>log4（4+2）.

即有log35>log46

例2 把下列一組數按從小到大的順序排列并進行證明： log 1 3 7 3 ，log 1 4 9 4 ，log 1 4 3.

解 因為：log 1 3 7 3 =log 1 3 1 3 +2，log 1 4 9 4 =log 1 4 1 4 +2，而f（x）=logxx+2在x∈ 0， 1 e 上是單調增函數（對數型函數的性質1），而 1 e > 1 3 > 1 4 >0，所以log 1 3 7 3 >log 1 4 9 4 ；又因為函數f（x）=log 1 4 x是單調減函數，所以log 1 4 9 4

我們把對數函數中，底數和真數中都有變量時，定義該函數為對數型函數.對于對數型函數的單調性，可按參數的范圍進行分類，先利用換底公式，再利用導數的性質進行探究，從而得到了其若干單調性，又對其進行了舉例應用，特別是此類數的大小比較，利用該對數函數型的單調性進行求解，簡潔明了，易于獲得答案，不失是一個好辦法，供同仁參考.