淺談高考中關于解析幾何的“定點”問題

【摘要】 對于高考中的解析幾何題，選擇便捷的運算方法是解題得分的關鍵所在.不僅可以在考試中節省一些時間，還可以提高計算技能.而其中的“定點”問題不僅是解析幾何解答題中的常考題，也是考查的重點.因此，本文作者對淺談高考中關于解析幾何的“定點”問題這個主題進行了討論.

【關鍵詞】 高考；解析幾何；定點；問題

一、解析幾何中直線與橢圓的“定點”問題

直線和橢圓的位置關系是直線的一種重要應用，其中的定點問題只是高考中解析幾何考查的重點之一.它主要是判斷直線與橢圓之間的位置關系，再將直線和橢圓的方程組成的方程組通過消元的辦法，化成一元二次方程，然后再靈活使用判別式或者韋達定理解題.對其定點問題進行考查[4].同時，它也考查了學生的運算解題的能力以及探究問題的能力.

例 在平面直角坐標系xOy中，橢圓 x2 9 + y2 5 =1的左右兩邊的頂點分別是A，B，右焦點為F.設點T（t，m）的相關直線TA，TB和橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2）.其中m>0，y1>0，y2<0.設相關定點P滿足PF2-FB2=4，求點P的軌跡；

下面便是這道題的相關圖形：

解 （可以把相關的P點設為（x，y）.便可以得出以下點F，B，A的對應坐標值，F（2，0），B（3，0），A（-3，0）.

再由PF2-FB2=4這個條件，便可以得出相關的方程式：（x-2）2+y2-[（x-3）2+y2]=4.

該方程式經過簡化之后，便是x= 9 2 .

由此，點P的軌跡是直線x= 9 2 .

二、解析幾何中拋物線的“定點”問題

近年來，解析幾何中拋物線的定點問題，主要是以拋物線為載體，來對直線頻繁過定點的問題進行相應的考查.它主要是利用基本量的思想，找出和問題有關的關鍵點或者關鍵的直線，充分利用解析幾何的思想，設出相應的直線方程式，最終達到消參的目的.

例 在該題中，可以設相應的M為（x0，y0），且是拋物線x2=2py上的定點.過點M作直線MP和MQ，還和拋物線交于P，Q兩點，使PM⊥MQ.求證：相應的直線PQ過定點，并求出這個定點的坐標[2].

解 根據該題的相關要求，可以設PQ為y=kx+b.

同時，可以設相應P，Q兩點的坐標，即P（x1，y1），Q（x2，y2）.

進而，便可以由下面相應的方程組進一步得出相關的方程式：

x2=2py，y=kx+b. 根據它可以得出：x2-2pkx-2pb=0.

因為PM⊥MQ，所以可以得出：

MP ·MQ = 0 .

進而，得出相關的方程為：

（x1-x0）·（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=0.相應的方程式為：

（x1-x0）·（x2-x0）+ x21 2p - x20 2p x22 2p - x20 2p =0.

根據它可以得出這樣的結論：x1x2+x0（x1+x2）20+4p2=0.

又因為x1+x2=2pk，x1x2=-2pb，便可以知道：

b=kx0+ x20 2p +2p，

然后，把b的相關式子帶入到y=kx=b中，便得出b的相關式子：

y- x20 2p -2p=k（x+x0）.

綜上：直線PQ必定會經過的定點為（-x0，y0=2p）.

總之，學生在掌握解析幾何不同知識點的同時看，也要學會不同知識點之間的連接，學會去培養自己的創新能力和綜合能力.還需要對相關解析幾何定點問題在高考中的題型進行分析，并在日常學習中多加練習.

【參考文獻】

[1]周丹鳳.淺談高考中關于解析幾何的“定點”問題[J].中國科教創新導刊，2013（03）：75.

[2]張萍.解析幾何中的定點與定值問題[J].數學之友，2013（01）：75-78.

[3]周友明.高中解析幾何教學中的探與究[J].內江科技，2007（02）：151+153.

[4]周榮軍.淺論如何處理拋物線中的“定點”問題[J].學周刊，2011（24）：112.