一道高考數學題的創新解題方法

【摘要】 本文通過一道高考數學題，講述了如何從類似題型的解題方法中抽取精髓，從而獲得創新解題方法，達到培養創新能力的目的.

【關鍵詞】 數學；創新；函數

1.引 言

江澤民同志1995年在全國科學技術大會上指出：“創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力.如果自主創新能力上不去，一味靠技術引進，就永遠難以擺脫技術落后的局面.一個沒有創新能力的民族，難以屹立于世界先進民族之林.”因此高考題的壓軸題就注意了同學們的創新能力，常常需要有創新思維才能解決.如何提高創新能力是高中階段的難點，也是今后發展的財富.

下面我們從一道高考題，講述如何進行創新解題方法.

2.問題的提出

2014年湖北省理科高考題最后一道題：判斷πe與e3的大小并證明.

這道題看上去似乎簡單，但無從下手，平常一些通用方法在這里都派不上用場，因此尋求一個新的解題方法非常必要.為了比較其大小，畫出ex與xe函數圖像，如圖1所示.函數ex恒大于等于函數xe，兩函數在x=e處相切.從圖中可以看到πe>e3，但要證明還得費一定功夫.

圖1 ex與xe曲線在e，3，π處的取值示意圖

3.創新思路的基礎

創新不是空穴來風，它必須有一定的基礎.事實上沒有基礎無中生有的創新是不被人們接受和認可的.可以根據類似題目的解法，開發思路，從而得出自己的創新思想.這是我們的創新來源.一道類似題目：判斷eπ與πe的大小并證明之.

此題的證明最有代表性的方法有以下兩種：

方法一：

令函數f（x）=eln（x）-x，該函數有這樣一些特點：

f（e）=0，f′（x）= e x -1.當x>e時，f′（x）<0，即f（x）是減函數；當x0，即f（x）是增函數；函數f（x）在e處取得極大值.

所以f（π）

方法二：

令函數f（x）= ln（x） x .f′（x）= x-1x-ln（x） x2 = 1-ln（x） x2 .當x>e時，f′（x）<0，即f（x）是減函數；當x0，即f（x）是增函數；函數f（x）在e處取得極大值.因此，f（π）

4.創新解題方法

根據上面類似題目的兩種解題方法，可以得出本題相應的創新解題方法.

創新思路一：

在類似題方法一中，由于要求證明eln（π）<π，因此構造一個函數f（x）=eln（x）-x.在本題中因為要求eln（π）>3，構造一個新的函數f（x）=eln（x）+g（x），希望函數f（x）滿足以下條件：f（e）=0；g（π）<-3；當x>e時，f（x）為增函數.這樣將有f（π）>f（e），即eln（π）>-g（π）>3，從而達到要求.如何選擇該函數g（x），就是本題解題的關鍵.g（x）選擇一次函數不能達到要求，于是選擇二次函數，即引進一個新函數，f（x）=eln（x）+ax2+bx+c.

因為要求f（e）=0，即ae2+be+c+e=0；

因為要求當x>e時，f（x）是增函數，即它的導數大于零， e x +2ax+b>0，（ e x - 2ax ）2+2 2ae +b>0.可以選擇當x=e時上述平方中的值為零，即a= 1 2e ，b+2≥0，選擇b=-2，則c= e 2 .

即f（x）=eln（x）+ x2 2e -2x+ e 2 .f（e）=0，x>e時，f（x）是增函數.

f（π）>f（e），eln（π）>- π2 2e +2π- e 2 >3，πe>e3，證畢.

創新思路二：

將本題取對數得：eln（π）>3；類似題取對數得：eln（π）<π.可以 看出由于小了一點，大小也發生改變了.使用類似題的解法不再適用.

根據類似題變形， ln（π） π < ln（e） e ，方法二利用函數 ln（x） x 的增減性來證明是很自然的，它利用了ln（e）可求的特點.由于函數 ln（x） x 在x=e處取極大值，能否找到一個點能求值或含有ln（π）的點，使ln（π）大于某一個值呢？答案是肯定的，只要將π放到分母即可.

取x= e2 π 2e- e2 π >3.證畢.

創新思路三：

同樣利用f（x）=eln（x）-x在x=e處取極大值，按創新思路二的方法也能得到新方法.

取x= e2 π 2e- e2 π >3.證畢

5.另一種特殊的解題方法

這是一個特殊的官方解題方法.供大家參考.

πe> 25 8 27 10 = 25 8 9 10 3，e3< 11 4 3.

只要證明 25 8 9 10 > 11 4 ，即 52 23 9> 11 22 10，518>1110×27.

因為1110×27=121×1214×128< 121+128 2 2×1214<1252×1254=518.

所以πe>e3.證畢.

6.總 結

在類似題中是eln（π）<π，而要證明的題中是eln（π）>3，兩者不等 式符號方向相反.創新方法一利用一個二次函數代替原來的一次函數，從而構成了一個全新的方法；創新方法二、三使用靠近e但小于e的點 e π e，來達到不等式反向，從而構成一個新的方法；特殊方法是難以想到的，它利用一個接近的分數代替相應的無理數e、π，也是一個不錯的思路.從這道高考題的解題方法，看到了如何從一道簡單的類似的題入手，分析簡單的方法，然后對一個未知的新題創造出一個新的解題方法.這是培養高素質研究型人才所必須具備的能力，在更高一層次學校比如大學、研究生的學習過程就是培養這種創新能力的.如果在中學階段就具備這種能力，不但能讓我們在高考中拿高分，在大學和研究生學習階段也會變得輕松自如.

（指導老師：李鑫；長沙市第一中學）