立體幾何解題策略探討研究

【摘要】 數學的解題教學是整個數學教學過程的重要組成部分，它是數學的概念教學、命題教學的繼續與深化，它的優劣會直接影響學生的數學學習，特別在理解概念、獲取技能、掌握方法、培養能力等諸方面所起到的作用尤為突出.怎樣開展解題教學、如何上好解題示范課，如何提高學生的數學思維能力是教師共同的話題.筆者試圖通過自己的實踐，以“平面的斜線與平面所成角”的習題課為例，闡述了解題策略的重要性.

【關鍵詞】 策略；線面角

筆者主要從兩個環節去提高學生的解題策略，第一個環節是分析課前布置的習題，即文中例1，在學生充分思考的基礎上，各抒己見，并歸納出有代表性的解法；第二個環節是在例1的基礎上，有選擇地應用例1歸納的方法解決例2.

環節一 例題研析，探尋本質

例1 （2010年浙江省文科樣卷19題）如圖1，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分別是AC，PB的中點.

（Ⅰ）證明：EF∥平面PCD；（第（Ⅰ）小題解法略）

（Ⅱ）若PA=AB，求直線EF與平面PAC所成角的大小.

圖 1 圖 2

圖 3 圖 4

策略1：垂面法策略

【生】如圖2所示，因為平面PAC⊥平面ABCD，故將平面ABCD向上“平移”至過點F，即取PC，PD，PA的中點分別為G，H，K，易得平面PAC⊥平面KFGH.由面面垂直性質定理，過F作FM⊥KG于M，即得FM⊥平面PAC.

簡解：如圖2，∠FEM即為直線EF與平面PAC所成的角，

sin∠FEM= FM FE = FM 1 2 PD = 2 2 KH 1 2 PD = 1 2 ，故直線EF與平面PAC所成的角為 π 6 .

【師】依定義，求出斜線l與平面α所成的角，需過斜線l上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，因此，確定垂足O的位置是關鍵.所謂垂面法策略，是指找到輔助平面β，滿足P∈β，β⊥α的方法，體現了轉化和化歸的思想.

利用垂面法策略找線面垂直是解決斜線和平面所成角問題的有效方法.但某些時候，滿足條件的垂面也未必好找，因此，解題仍可能陷入“僵局”.

策略2：等角轉化策略

【生】本題中，我是利用EF∥PD證明第（Ⅰ）小題，故可以考慮將所求角轉化為直線PD與平面PAC所成的角，將過F點作平面PAC垂線的問題轉化為過D點作平面PAC的垂線問題，而且，后者更容易操作.

簡解：如圖3，連接PE，DE，易證DE⊥平面PAC，則所求角等于∠DPE，sin∠DPE= ED PD = 1 2 ，所以直線EF與平面PAC所成的角為 π 6 .

【師】某些問題中，按部就班地根據條件求斜線和平面所成的角可能會比較困難，線面垂直的垂足較難找.所謂等角轉化策略，就是利用題目中已有的一些平行等條件進行等角轉換，將不直觀的角轉化成直觀且易研究的角，體現了數形結合和轉化化歸的思想.以下說明兩個引理（證明略）.

引理1：若直線a∥直線b，則a與平面α所成角等于b與平面α所成角；

引理2：若平面α∥平面β，則直線a與平面α所成角等于直線a與平面β所成角.

利用等角轉化策略的關鍵是找到合適的平行關系，轉化的原則是把不直觀的角轉化為直觀、易求的角，從而實現問題從復雜到簡單的轉化.

策略3：距離法策略

【生】如圖1，只需求出點F到平面PAC的距離d，所求角的正弦值即為 d EF .

簡解1：點F為PB中點，故點F到平面PAC的距離為點B到平面PAC的距離的 1 2 ，即B到平面PAC的距離為2d，設PA=AB=BC=1，由VB-PAC=VP-ABC，得d= 2 4 ，故所求角的正弦值為 d EF = 1 2 ，所求直線與平面所成角為 π 6 .

簡解2：如圖4，連接BE，易證BE⊥平面PAC，則B到平面PAC的距離為 2 2 ，故點F到平面PAC的距離為 2 4 ，以下同解1.

【師】策略1、2都需要找到斜線與平面所成角，即必須作出相應的直線和平面垂直的垂線.所謂距離法策略，就是利用斜線上斜足以外的一點到平面的距離，在不直接作出直線和平面所成角的情況下，間接地求出所求角的某一個三角函數值.該方法若能使用得當，也會使問題大為簡化.

利用距離法策略的關鍵是求出點到平面的距離.求距離常用的方法主要有體積法和距離轉化法，這兩種方法有時要交替使用.距離法策略是無法找到直線和平面所成角時的有效方法.

【師】同學們想一想，本題有沒有更新穎的解法？

策略4：對稱策略

【生】本題涉及的圖形關于平面PAC對稱（如圖2），點F關于平面PAC的對稱點為PD的中點H，因此∠FEH為所求角的2倍.

簡解：由計算可得，△FEH為正三角形，所以所求直線與平面所成角為 π 6 .

【師】策略1與策略2都要作出直線與平面所成角，策略3可以做到不作角而求出角，策略4更從圖形的整體特征考慮顯得尤其方便，但是思維要求更高.

以后對于類似的問題，上述方法我們要有選擇地加以應用，下面給出例2，看你選擇哪個策略來解決.

環節二 高考再現，以題論道

例2 （2010年浙江省文科卷20題）如圖5，在ABCD中，AB=2BC，∠ABC= 2π 3 ，E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F為線段A′C的中點.

（Ⅰ）求證：BF∥平面A′DE；（第（Ⅰ）小題解法略）

（Ⅱ）設M為線段DE的中點，求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值.

圖 5 圖 6

圖 7 圖 8

此題的關鍵是過F點作平面A′DE的垂線，難度較大.

【生1】由題知，平面A′DE⊥平面ABCD，故可考慮將平面ABCD向上“平移”至過點F.如圖6，取A′D，A′E的中點分別為G，H，連接GH，HF，GF，易得平面GFH⊥平面A′DE.只需過F作出GH的垂線，便是所探求的線面垂直.

簡解1： 設AB=2AD=2，則GH= 1 2 ，GF=1，HF= 1 2 EC= 3 BC 2 = 3 2 ，故HF⊥GH，所以FH⊥平面A′DE，∠FMH為所求角，cos∠FMH= HM FM = 1 2 .

【生2】如圖7，取DC中點N，連接FN，NB，則由平面FNB∥平面A′DE，可將所求角轉化為直線MF與平面FNB所成角.

簡解2：因為平面A′DE⊥平面ABCD，且平面FNB∥平面A′DE，所以平面FNB⊥平面ABCD.由DN=1，DM= 1 2 ，∠EDC= π 3 ，則MN⊥DE，MN⊥NB，MN⊥平面FNB，直線MF與平面FNB所成角即為∠MFN，cos∠MFN= 1 2 .

【生3】本題的關鍵是求出點F到平面A′DE的距離及MF的長度，故可以考慮距離法策略來解決.將點F到平面A′DE的距離轉化為點C到平面A′DE的距離（如圖8）.

簡解3：設點F到平面A′DE的距離為d，則點C到平面A′DE的距離為2d.如圖8，連接CE，可以證明CE⊥DE，進而CE⊥面A′DE，2d=CE= 3 ，d= 3 2 .連接A′M和CM，則MF= 1 2 A′C.A′M= 3 2 ，CM= 13 2 ，A′C=2，所以MF=1，因此所求角的余弦值為 1 2 .

說明：點C到平面A′DE的距離也可以用體積法來求，即可由VA′-CDE=VC-A′DE求得.

【師】應用策略4能不能解決本題？答案是肯定的.請同學們課后去思考.

本堂課學生學習積極性空前高漲，思維活躍，發言踴躍，達到了解題示范課的效果.

教學建議及感悟

“平面的斜線與平面所成的角”是立體幾何中的一個重點和難點，有些學生雖然課后也做了不少相關習題，但一遇上略有變化或稍有難度的問題，就束手無策、無所適從，解題能力顯得薄弱，究其原因錯綜復雜，但其中帶教老師的解題示范存在欠缺也不是沒有可能.因此，施行“授人以漁”式的教學已刻不容緩.

數學解題示范課是課堂教學中師生最能互動的課型，要使它變得優質，除了學生的因素外，愚以為教師還須做好如下四點：（1）課前：構思精到，程序合理；（2）課內：多點傾聽，少點替代；（3）課后：及時檢測，不忘反思；（4）策略：一題多解，回歸通法.

總之，高中數學的解題策略對于學生來講是非常重要的，教師在教學中不能輕視，而教學中如何讓學生掌握策略性知識顯得尤為重要，教師應該始終堅持新課程理念，讓學生成為學習的主人，教師所發現的各種策略性知識，在教學中切不要直接告知，要慢慢滲透，讓學生親身經歷，感悟，體驗解題的快樂以及成功喜悅，使數學中的策略性知識真正植根于學生心中，成為學生駕馭數學知識、提升解題能力、發展思維水平的有力武器.

【參考文獻】

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[3]王淼生.數學百題精彩千解[M]，福建教育出版社，2009（9）：219-220.