也談常見命題的幾個誤區

在《名師伴你行》數學高一同步創新版的《常見復合命題的三個誤區》一文中，對常見復合命題的三個誤區論述的非常精辟，但筆者認為其所舉事例還不夠詳盡，還有其他誤區沒有闡述，從而造成有自相矛盾的地方.下面將在此文的基礎上予以補充和完善，使其更加完美.

誤區之一：不含邏輯聯結詞的命題是簡單命題；含邏輯聯結詞的命題是復合命題

例1 判斷下列命題是否是復合命題：

（1）3≥2；

（2）若x∈A且x∈B，則x∈A∩B.

（3）若x2=1，則x=1或x=-1.

分析 命題（1）是由命題p：3>2；q：3=2兩個簡單命題組成的p或q形式的復合命題.

有人認為命題（2）是由命題p：x∈A，則x∈A∩B；q：若x∈B，則x∈A∩B組成的p且q形式的復合命題.事實上，易知命題（2）是真命題，而命題p和q均為假命題，因此命題（2）既不是p或q形式的復合命題，也不是p且q形式的復合命題，而是一個簡單命題.

同理，命題（3）也是簡單命題.

判斷一個命題是否為復合命題，不能機械地以是否含邏輯聯結詞的表面形式作為標準，而應當看其內涵實質，并結合真值表來判定.

誤區之二：命題的否定就是條件不變，否定結論

例2 設x為實數，寫出命題p：“x≠1，則x2≠1”的否定.

錯解 p：若x≠1，則x2=1.

分析 不難發現命題p和p都是假命題，這與“命題p與p真假性對立”相矛盾.究其原因在于對命題的否定認識的偏差.事實上，否定一個命題，只需否定符合條件的一種情形即可，而不是對符合這一條件的所有情形加以否定.

正解 p：存在實數x，若x≠1，則x2=1.

一般地，根據命題的賓詞所指的主詞的外延（判斷分量）命題可分為：

全稱命題：賓詞所指的為主詞外延的全部.其公式為：“所有s都是（或不是）p”，其否為“至少有一個s不是（或是）p”或“存在s不是（或是）p”.

單稱命題：主詞為特定對象的單個個體，其公式為：“s是（或不是）p”，其否定為“s不是（或是）p”.

特稱命題：賓詞所指的為主詞外延的一部分.其公式為：“有些s是（或不是）p”，其否定為“所有的s不是（或是）p”，或“不存在s是（或不是）p”.

例3 寫出下列命題的否定：

（1）方程x2+x+1=0無實根；

（2）關于x的方程x2+mx+1=0無實根.

（3）某些菱形是正方形.

分析 命題（1）是單稱命題，其否定為“x2+x+1=0”有實根.

命題（2）為全稱命題，m的不同實數值對應著不同的方程，其意義相當于所有這些方程均無實根，因此，其否定為“存在實數m使關于x的方程x2+mx+1=0有實根”.

命題（3）為特稱命題，其否定形式為“所有菱形不是正方形”.

誤區之三：含有“或”的復合命題是“p或q”型復合命題；含有“且”的復合命題是“p且q”型的復合命題

例4 指出下列復合命題的形式：

（1）正數或零的平方根是實數；

（2）若x>0且x>1，則x>1.

說明 題（1）是新教材中練習題（p25），與之配套的教師教學用書上提供的答案是“p或q”型，題（2）在某些書中給出的答案也是“p且q”型.

分析 命題（1）判斷分量指的是所有的正數和零，意指“正數的平方根是實數”且“零的平方根是實數”，是“p且q”型復合命題.

命題（2）是真命題，若分解成兩個簡單命題p：“若x>0，則x>1”是假命題，q：“若x>1，則x>1”是真命題，顯然“p且q”是假命題，不與原命題等價，而“p或q”是真命題，與原命題等價，因此，該命題是“p或q”型復合命題.

事實上，我們可運用真值表對如下四種常見復合命題進行分析，得出相應復合命題的結構形式：

（1）“若p或q，則r”“若p則r”且“若q則r”；

（2）“若p且q，則r”“若p則r”或“若q則r”（或簡單命題）；

（3）“若p，則q或r”“若p則q”或“若p則r” （或簡單命題）；

（4）“若p，則q且r”“若p則q”且“若p則r”.

但應注意，在上述的（2）和（3）兩種情形中，有簡單命題的時候，如：命題：“若x≠1且x≠-1，則x2≠1.”和“若x2=1，則x=1或x=-1.”都是簡單命題.因此，在判斷這兩種命題的類型時，一定要結合真值表加以確認，否則容易出錯.

誤區之四： 否命題就是簡單的條件和結論同時否定

例5 寫出下列命題的否命題：

（1）所有等邊三角形各角都相等；

（2）有些質數是奇數.

說明 對于命題（1）就在《名師伴你行》的第47頁中給出的否命題是：“有些等邊三角形各角不都相等”，（這與前文所說的全稱命題的否定形式相同），而給出的命題的否定卻是“所有的等邊三角形各角不都相等”.其他很多書中也是這么給的，而這些書中對命題（2）給出的答案是：“所有質數不是奇數”.

分析 顯然，命題（1）是真命題，其逆命題也是真命題.由于一個命題的否命題與逆命題是等價的命題，因此，命題（1）的否命題應該是真命題.但“有些等邊三角形各角不都相等”是假命題，所以它不是該命題的否命題，而是該命題的否定形式.同理，“所有質數不是奇數”是命題（2）的否定形式，而不是命題（2）的否命題.

對于這類全稱命題和特稱命題中的“所有的”及“某些”都應看作是該命題的大前提，而在寫出一個命題的否命題、逆命題、逆否命題時，其大前提是不變的.如：命題“對所有的c>0，若a>b，則ac>bc”中的“對所有的c>0”是該命題的大前提，在寫出其否命題、逆命題、逆否命題時，這個大前提是不變的.命題（1）中的主詞是“三角形”，若將其改寫成“若p則q”的形式為“在所有的三角形中，若一個三角形是等邊三角形，則它的各內角都相等”.故其否命題是：“在所有的三角形中，若一個三角形不是等邊三角形，則它的各內角不都相等”，即“所有非等邊三角形各內角不都相等”.而命題（2）中的主詞是“數”，且在本題中所指的是“整數”，若改寫成“若p則q”的形式為：“在某些整數中，若一個數是質數，則它是奇數”，因此，它的否命題是：“在某些整數中，若一個數不是質數，則它不是奇數”，即“有些非質數不是奇數”.

對于全稱命題和特稱命題在寫出其否定形式和否命題時，一定要引起高度重視.

【參考文獻】

《名師伴你行》數學高一同步創新版（上冊）44頁《常見復合命題的三個誤區》