圓錐曲線離心率范圍題型探求

圓錐曲線共同的性質(zhì)是圓錐曲線上的點到一個定點F和到一條定直線L（F不在定直線L上）的距離之比是一個常數(shù)e，橢圓的離心率01，拋物線的離心率e=1，求圓錐曲線離心率的取值范圍是圓錐曲線這一章的主要題型.解決這一類問題的關(guān)鍵是如何尋求題中的不等關(guān)系，尤其是尋求基本量a，b，c之間的不等關(guān)系，從而構(gòu)造不等式求離心率范圍.本文就圓錐曲線的離心率范圍問題從以下五個方面作以探求.

題型一：利用圓錐曲線上點坐標(biāo)的范圍求離心率范圍

圓錐曲線上所有點坐標(biāo)都有范圍，對于橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）有|x|≤a， y ≤b，對于雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）有|x|≥a；根據(jù)點的坐標(biāo)范圍構(gòu)造關(guān)于a，b，c 的齊次不等關(guān)系.

例1 已知橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的長軸左右兩端點分別為A，B，如果橢圓上存在一點Q，使∠AQB=120°，求橢圓的離心率e的取值范圍.

解 設(shè)Q（x，y）（y>0），A（-a，0），B（a，0），QA的斜率為k1= y x+a ，QB的斜率k2= y x-a 因為∠AQB=120°，所以 y x-a = y x+a +tan1200 1- y x+a tan1200 ，

化簡得： 3 （x2+y2-a2）=-2ay，∵點Q在橢圓上，∴ x2 a2 + y2 b2 =1，∴y= 2ab2 3 c2 ，又y≤b，∴e∈ 6 3 ，1

例2 已知雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，p為雙曲線左支上一點，p到左準(zhǔn)線距離為d，并且PF2，PF1，d成等比數(shù)列，求雙曲線離心率e的取值范圍.

解 設(shè)P的坐標(biāo)為（x0，y0），PF1=-a-ex0，PF2=a-ed，d=-x0- a2 c ，∵PF2、PF1、d成等比數(shù)列，∴PF21= PF2·d，x0= a（1+e） a（1-e） .

∵p為雙曲線左支上一點，∴x0≤-a，e∈（1，1+ 2 ]

此類題目是將題中條件轉(zhuǎn)化為圓錐曲線上點的坐標(biāo)，然后再根據(jù)點的坐標(biāo)范圍構(gòu)造不等關(guān)系從而求解.

題型二：利用焦半徑范圍求離心率范圍

曲線定義反映了曲線的本質(zhì)屬性，當(dāng)條件中涉及焦半徑時可以根據(jù)定義建立焦半徑的等量關(guān)系，當(dāng)然也可以由焦半徑自身的范圍確定不等關(guān)系，一般情況下，若P為橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）上一點，有a-c≤PF≤a+c，若P為雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）左支上一點，F(xiàn)為左焦點，有PF≥c-a，從而構(gòu)造不等式.

例3 已知雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若在雙曲線的右支上存在一點P，使得|PF1|=3|PF2|，求雙曲線的離心率e的取值范圍.

解 P在雙曲線的右支上一點，|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF2|=a≥c-a，∴1

例4 已知橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的左右焦點分別為F1（-C，0），F(xiàn)2（c，0），若雙曲線上存在一點P使 sinPF1F2 sinPF2F1 = a c ，求該雙曲線的離心率的取值范圍.

解 ∵a

∴PF2= 2a e-1 ≥c-a，∴e∈ 1， 2 +1 .

例5 已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）的左右焦點，P為雙曲線左支上的一點，若 |PF2|2 |PF1| =8a，求雙曲線的離心率的取值范圍.

解 ∵ |PF2|2 |PF1| =8a，∴ PF2 2=8a PF1 ，由 PF2 - PF1 =2a代入得： PF2 2-8a PF2 +16a2=0， PF2 =4a≥c+a，∴e∈ 1，3 .

解決這類問題的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為焦半徑的相關(guān)等式，然后再利用焦半徑的不等關(guān)系建立不等式.

題型三：利用基本不等式求離心率范圍

在焦點三角形中利用基本不等式可構(gòu)造不等關(guān)系，進(jìn)而可求出離心率的范圍.

例6 已知F1，F(xiàn)2是橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且∠F1PF2=60°，求橢圓離心率e的取值范圍.

解 設(shè)P（x，y），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），F(xiàn)1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2cos600 =4a2-3PF1·PF2≥4a2-3× PF1+PF2 2 2=a2，4c2≥a2，e∈ 1 2 ，1 .

題型四：巧用圖形的幾何特性求離心率范圍

經(jīng)常出現(xiàn)以平面圖形為載體的離心率范圍問題，因為不等關(guān)系常隱藏在平面圖形的背后，如三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等，分析平面圖形的特征，可以挖掘出所需不等關(guān)系.

例7 若F1，F(xiàn)2是雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1的左、右兩個焦點，在雙曲線上存在一點P，使PF1=2PF2，則該雙曲線離心率e的范圍是 .

解 ∵PF1=2PF2，∴PF1-PF2= PF2，根據(jù)定義可知：PF1-PF2=2a，可見 PF2=2a，則PF1 =4a，在△PF1F2中有 F1F2≤PF1+PF2，即 2c≤4a+2a ∴c≤3a，該雙曲線離心率e的范圍為e∈ 1，3 .

例8 設(shè)橢圓 x2[]a2 + y2[]b2 =1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，如果橢圓上存在點P，使∠F1PF2=90°，求離心率e的取值范圍.

解 由∠F1PF2=90°，知點P在以|F1F2|=2c為直徑的圓上.又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P，故c≥b，c2≥b2=a2-c2，由此可得e∈ 2 2 ，1

例9 橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）左焦點為F1，右準(zhǔn)線L上一點P，F(xiàn)1P的中垂線過橢圓右焦點，求離心率的取值范圍

解 ∵F1P的中垂線過橢圓右焦點，∴F1F2=PF2，又PF2≥ a2 c -c，∴2c≥ a2 c -c，3c2≥a2，離心率的取值范圍為 3 3 ，1 .

解決此類問題的關(guān)鍵是畫出圖形，從圖形的特性中尋找不等關(guān)系.

五、運用判別式建立不等關(guān)系求解離心率范圍

例10 在橢 圓 y2 a2 + x2 b2 =1（a>b>0）上有一點P，橢圓的兩個焦點為F1和F2，若PF1·PF2=2b2，求橢圓的離心率范圍

解 由橢圓的定義，可得PF1+PF2=2a，又PF1·PF2=2b2，所 以PF1，PF2是 方程x2-2ax+2b2=0的兩根，由Δ=（-2a）2-4×2b2≥0可得a2≥2b2，所以橢圓離心率的取值范圍是 2 2 ，1 .

例11 設(shè)雙曲線C ： x2 a2 -y2=1（a>0）與直線l：x+y=2相交于兩個不同的點M，N.求雙曲線C的離心率e的取值范圍.

解 由雙曲線C與直線l相交于兩個不同的點，故知方程組 x2 a2 -y2=1x+y=2 有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得 1-a2 x2+4a2x-5a2=0有兩個不同的實數(shù)解，∴ a≠1且Δ=16a4-4（1-a2）（-5a2）>0，所以a∈ 0，1 ∪（1， 5 ），由雙曲線離心率e= c a = c2 a2 = 1+ b2 a2 = 1+ 1 a2 ，a∈ 0，1 ∪（1， 5 ）得e∈ 3 5 5 ， 2 ∪ 2 ，+∞ ，所以雙曲線的離心率取值范圍是 3 5 5 ， 2 ∪ 2 ，+∞ .

總結(jié)：在求解圓錐曲線離心率取值范圍時，一定要認(rèn)真分析題設(shè)條件，合理建立不等關(guān)系，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見結(jié)論、不等關(guān)系，在做題時不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題.尤其運用數(shù)形結(jié)合時要注意焦點的位置等.