教學夯實基礎 解題水到渠成

【摘要】 學生在初中就已經學習了二次函數，到了高中對二次函數的學習更加深入，隨著高考題型的不斷改變，部分省市把教材中原有的導數章節刪除了，所以函數解答題就以二次函數的綜合題為主，含有絕對值的二次函數更加耐人尋味.

【關鍵詞】 二次函數；絕對值；連續性；分類討論；解題策略

學生在初中階段就已經學習了二次函數，到了高中階段更加深入的學習了該函數，不局限于解決對稱軸、頂點的坐標、值域等問題，而是解決更加復雜的問題，如直線與二次函數的綜合題、曲線與二次函數的問題、存在性與二次函數的問題、對稱性與二次函數的問題，恒成立與二次函數的問題等.最近，含有絕對值的二次函數綜合題目也越來越多，部分學生面對這樣的題目舉手無措.筆者舉幾例談一談含絕對值的二次函數綜合題解題策略.

1.以數形結合為主線的解題策略

例1 求方程|x2-2x-3|-k=0（k∈ R ）根的個數.

圖 1 解 原方程|x2-2x-3|=k.方程根的個數等于 函數y=|x2-2x-3|-k的零點個數，也等于函數y=|x2-2x-3| 與函數y=k圖像交點個數.如圖1，數形結合可知，當k<0時，直線與曲線無交點，也就是原方程無實根；

當k=0時，直線與曲線有2個交點，也就是原方程有

2個實根；當0

也就是原方程有4個實根；當k=4時，直線與曲線有

3個交點，也就是原方程有3個實根；當k>4時，直

線與曲線有2個交點，也就是原方程有2個實根.

評析 本題通過數形結合為主線，再輔以基礎知識就

把問題解決了.需要掌握的知識點有兩個：其一，函數y=f（x）與函數y=|f（x）|的圖像之間的關系.把函數y=f（x）在x軸及以上部分的圖像保持不變，在x軸下方部分的圖像翻到x軸上方關于x軸對稱，就得到了函數y=|f（x）|的圖像.其二，直線g（x）=a與曲線

f（x）=|x2-2x-3|交點的橫坐標也就是方程f（x）-g（x）=0的根.

2.以函數的奇偶性為主線的解題策略

圖 2 例2 求方程x2-2|x|-3-k=0 k∈ R 根的個數.

解 原方程x2-2|x|-3=k，方程根的個數等于函數

f（x）=x2-2|x|-3與函數g（x）=k圖像交點的個數.因為函

數f（x）是偶函數，所以其圖像關于y軸對稱.如圖2，當k<-4時，直線與曲線無交點，即方程無實根；當k=-4時，直線與曲線有2個交點，即方程有2個實根；當-4 -3時，直線與曲線有2個交點，即方程有2個實根.

評析 本題通過函數的奇偶性畫出了函數圖像，筆者在教學中發現部分學生常遺忘該性質，使得解題過程陷入困境.需要掌握的知識點：函數y=f（|x|） x∈ R 是偶函數，其圖像特點是：（1）關于y軸對稱，（2）當x>0時，y=f（|x|）與y=f（x）的圖像相同.沒有理解第（2）點的學生忽視了“當x>0時，絕對值符號不起作用了”.

3.以分類討論為主線的解題策略

例3 已知f（x）=x x-a -2，當x∈[0，1]時，f（x）<0恒成立，求a的取值范圍.

圖 3

解 分類討論①當a<0時，函數f（x）=x2-ax-2在[0，1]上是增函數，

由[f（x）]max=f 1 =1-a-2<0 得-1

②當0≤a≤1時，f（x）= x2-ax -2，由函數f（x）的圖像

（如圖3）可知，滿足條件，則 f 1 <0f a 2 <0 ，得0≤a≤1-1

③當a>1時，f（x）=-x2+ax-2，其圖像對稱軸x= a 2 > 1 2 ，滿足條件，則

f（x）max<0，即 f 1 <0f a 2 <0 ，得1

評析 本題通過對a的分類討論來解題，考慮如此分類的理由是：可以知道絕對值符號里代數式的值正負情況，第20情況通過圖像解決了a的取值范圍.分類討論是高中數學的一個難點，相當一部分學生對分類討論問題中的分類標準感到棘手.分類的要求就是：不重復，不遺漏；或者說分類變量的交集為空集，并集為全集.

綜上所述，含有絕對值二次函數的綜合問題解決起來確實比較困難，學生遇到類似的問題如果沒有牢固的基礎知識和靈活的數學思想做支撐，很難順利完成解題過程.分類討論問題的分類標準是難點，分段函數圖像整合在一起的連續性思想是解題思考的習慣，平時教學中教師要有意識的培養學生反思、歸納、吸收先進解題思想的習慣，夯實基礎，解題時便會水到渠成.