探究產(chǎn)生“增根”“少根”的原因

【摘要】 本文以導數(shù)中的兩道常見問題為例，探索增根以及少根產(chǎn)生的原因.在解題過程中，如果使用了已知條件的充分不必要條件，則可能導致題目少根，如果使用了已知條件的必要不充分條件，則可能導致題目產(chǎn)生增根.

已知含參函數(shù)在某區(qū)間的單調性，求參數(shù)取值范圍的問題中，我們多利用導函數(shù)的符號來解決.學生們很困惑，如果利用導數(shù)大于零，可能因為缺少端點值導致錯誤，如果利用導數(shù)大于等于零，則可能因為多了端點值而導致錯誤.為什么有時產(chǎn)生了增根，有時又少根，就其根本還是產(chǎn)生增根或少根的原因是什么.先看一道例題.

例1 （1）已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2-x-1在 R 上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

（2） 函數(shù)f（x）= ax+1 x+2 在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

錯解 （1）f′（x）=-3x2+2ax-1，

∵f（x）在R上是減函數(shù)，

∴f′（x）<0在R上恒成立，

即Δ=4a2-12<0

解得- 3

（2）f′（x）= 2a-1 （x+2）2 .

∵y=f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上遞增，

∴f′（x）= 2a-1 （x+2）2 ≥0（x∈（-2，+∞））.

∴2a-1≥0，即a∈ 1 2 ，+∞ .

錯因分析 在函數(shù)連續(xù)的前提下，若函數(shù)y=f（x）的導數(shù)滿足f′（x）>0（x∈D），則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是單調增函數(shù)，但是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是單調增函數(shù)，不能得到f′（x）>0（x∈D），因為即便x0∈D，f′（x）=0，只要在x=x0左右導函數(shù)符號一致，仍然有函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上 是單調增函數(shù).即函數(shù)y=f（x）的導數(shù)滿足f′（x）>0（x∈D），是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是 單調增函數(shù)的充分不必要條件.在解題過程中，使用了已知條件的充分不必要條件，可能導致題目少根.由前面分析可知，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是單調增函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的導數(shù)滿足f′（x）≥0（x∈D），但是由f′（x）≥0（x∈D），也不能得到函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是單調增函數(shù)，因為當函數(shù)y=f（x）（x∈D）是常函數(shù)時，滿足f′（x）≥0（x∈D），但是函數(shù)y=f（x）不是區(qū)間D上的單調增函數(shù).即函數(shù)y=f（x）的導數(shù)滿足f′（x）≥0（x∈D），是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是單調增函數(shù)的必要不充分條件，在解題過程中，使用了已知條件的必要不充分條件，可能導致題目增根.

事實上，對于（1），當a= 3 時，f′（x）=- 3 x-1 2，則：當x∈ -∞， 3 3 時，f′（x）<0； 當x∈ 3 3 ，+∞ 時，f′（x）<0.而函數(shù)f（x）在x= 3 3 處連續(xù)，因此f（x）在R上是減函數(shù).同理可知當a=- 3 時，f（x）在R上是減函數(shù)，所以a的取值范圍為[- 3 ， 3 ].對于（2），當a= 1 2 時，f（x）= 1 2 x+1 x+2 = 1 2 ，是常函數(shù)，即y=f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上不是單調增函數(shù)，故a的取值范圍為（ 1 2 ，+∞）.

總之，在區(qū)間（a，b）上，f′（x）>0f（x）為增函數(shù)f′（x）≥0，這三者之間不存在充要關系，因此不能認為使f′（x）≥0或f′（x）>0恒成立的參數(shù)范圍為最終答案，需要對“等號”具體分析.

例2 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處取極值10，求a，b值.

錯解 f′（x）=3x2+2ax+b，

由題意 f（1）=10f′（1）=0 ，即 1+a+b+a2=103+2a+b=0 .

解得 a=-3b=3 或 a=4b=-11 .

錯因分析 在x=1處取極值可以得到f′（1）=0，但是，當f′（1）=0時，如果在x=1左右兩側導函數(shù)符號相反，則說明函數(shù)y=f（x）在x=1處取極值，如果在x=1左右兩側導函數(shù)符號相同，則說明函數(shù)y=f（x）不能在x=1處取極值.即f′ x0 =0是可導函數(shù)y=f（x）在x=x0處有極值的必要條件而非充分條件.解題過程中，用了已知條件的必要不充分條件使得本題產(chǎn)生了增根c=3.

事實上，當a=-3時，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，故不存在極值，經(jīng)檢驗只有a=4，b=-11符合題意.

總之，可導函數(shù)在極值點處導數(shù)為零，在極值點兩側導數(shù)符號相反，即函數(shù)在x=a處取極值f′（a）=0，但是反之不成立.需要利用f′（a）=0求出參數(shù)的值之后，再將參數(shù)值代入原函數(shù)，檢驗原條件是否成立，即函數(shù)是否在x=a處取極值.