一類無(wú)理函數(shù)的上、下界問題

【摘要】 本文給出了在x+y+z=P（P為常數(shù)，x，y，z均為正數(shù)）的條件下，求無(wú)理函數(shù)y= n Ax+λ + n Ay+λ + n Az+λ （n∈N+且n≥2；A、λ均為常數(shù)且大于零）的上界、下界問題.

【關(guān)鍵詞】 無(wú)理不等式；上、下界；上凸（下凸）函數(shù)

性質(zhì)1 若f（x）是區(qū)間I內(nèi)下凸函數(shù)（或上凸函數(shù)），則對(duì)x1，x2，…，xn∈I，有f x1+x2+…+xn n ≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xn） n ①

（或f x1+x2+…+xn n ≥ f（x1）+f（x2）+…+f（xn） n ） ②

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)成立.

此性質(zhì)可由琴生不等式直接得到.

性質(zhì)2 連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的嚴(yán)格下凸函數(shù)的 充分必要條件：對(duì)任意a，b，c∈I且a

連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的嚴(yán)格上凸函數(shù)的充分必要條件是：對(duì)任意a，b，c∈I且a f（c）-f（b） c-b ④

證明 僅證③式，必要性：令t= c-b c-a ，由于a

b= b-a c-a ·c+ c-b c-a ·a= 1-t c+ta

及下凸函數(shù)定義，f tx1+ 1-t x2 ≤tf（x1）+ 1-t f（x2） .

有f（b）=f 1-t c+ta < b-a c-a ·f（c）+ c-b c-a ·f（a）.

即： c-a + b-a ·f（b）< b-a ·f（c）+ c-b ·f（a）.

亦即： c-b f（b）-f（a） < b-a f（c）-f（b） .

故 f（b）-f（a） b-a < f（c）-f（b） c-b .

充分性，反推上去即可（略）.

兩個(gè)重要的結(jié)論：

結(jié)論1 函數(shù)f（x）= x x≥0 是上凸函數(shù)，且當(dāng)0≤x1 x1 + x2 - x1 x2-x1 x-x1 ⑤

證明 由0≤x1 1 x2 + x1 > 1 x2 + x .

亦有： x - x1 x-x1 > x2 - x1 x2-x1 > x2 - x x2-x .

由上式中第一、三項(xiàng)及性質(zhì)2（即④式）知：f（x）在區(qū)間 0，+∞ 上是上凸函數(shù).

由第一、二項(xiàng)整理，即得⑤式.

例 已知a，b，c且a+b+c=1，求證：2+ 14 ≤ 13a+1 + 13b+1 + 13c+1 ≤4 3 .

證明 顯然有0≤a≤1，因此易得：1≤13a+1≤14.

由⑤式（取x1=1，x=13a+1，x2=14），得

13a+1 ≥1+ 14 -1 a.

同理： 13b+1 >1+ 14 -1 b； 13c+1 >1+ 14 -1 c.

將以上三個(gè)不等式左、右兩邊相加，得2+ 14 < 13a+1 + 13b+1 + 13c+1 .

又由②式，有： 13a+1 + 13b+1 + 13c+1 ≤3 13 a+b+c +3 3 =4 3 .

從而有2+ 14 < 13a+1 + 13b+1 + 13c+1 ≤4 3 .

可類似于結(jié)論1得結(jié)論2

結(jié)論2函數(shù)f（x）= n x （x≥0，n∈N+且n≥2）是上凸函數(shù)，當(dāng)0≤x1

n x > n x1 + n x2 - n x1 x2-x1 x-x1 ⑥

【參考文獻(xiàn)】

[1]甘義寧.一個(gè)無(wú)理不等式猜想的推廣及其證明[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（03）：62-63.

[2]邵志華，張小明.關(guān)于A-H上下界的幾個(gè)結(jié)果[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013（06）：206-214.

[3]安振平.一類無(wú)理不等式的深入探究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（12）：55-60.