小口訣，大用途

【摘要】 在高等數(shù)學(xué)諸多重難點(diǎn)問題中，無窮和式極限的求解無疑應(yīng)當(dāng)算作其中的一個.如果運(yùn)用定積分概念和牛頓萊布尼茨定理，巧借 “等分，右端點(diǎn)，夾擠定理求極限”這個口訣，就能夠比較容易地求解某些無窮和式的極限難題.

【關(guān)鍵詞】 無窮和式極限問題；研究

實(shí)踐教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生們在計(jì)算一些復(fù)雜函數(shù)的極限，尤其是解答無窮和式極限問題時，常常不得要領(lǐng)，無從下手，該問題自然而然地成為了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)重難點(diǎn)內(nèi)容.

眾所周知，定積分概念中蘊(yùn)藏著無窮和式極限思想.從定積分概念的引入和定積分定義式的根本內(nèi)涵分析來看，無窮和式極限可以被轉(zhuǎn)化為定積分，如果再結(jié)合牛頓萊布尼茨定理，對轉(zhuǎn)化后得到的定積分式進(jìn)行簡單計(jì)算，便可以很好地解決無窮和式極限的求解難題.

一、定積分概念與無窮和式極限的密切關(guān)系

定積分概念源自于曲邊梯形面積的計(jì)算.如何去求這個由y=0，x=a，x=b，和y=f（x）（x≥0）三直一曲四條線圍成的不規(guī)則圖形面積呢？

早在公元250年左右，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽，就開始了用三角形近似替代扇形求圓面積的嘗試，研究發(fā)明了割圓術(shù)，并證明了圓周率.受此啟發(fā)，后人們通過不斷探索與研究，逐步形成了“大化小，常代變，近似和，取極限”的微積分思想.

在高等數(shù)學(xué)的各類教材中，一般都沿循上述思路，以矩形近似替代相應(yīng)的曲邊梯形，通過分割、近似替代、求和、取極限四個步驟的運(yùn)算，最后得到曲邊梯形的面積公式：S=lim λ→0 ∑ni=1f（ξi）Δxi.并以此為根據(jù)引入了定積分概念，同時還得到了定積分定義式：lim λ→0 ∑ni=1f（ξi）Δxi=∫baf（x）dx，其中，Δxi是[a，b]將任意劃分成n個小區(qū)間后，第i個小區(qū)間[xi-1，xi]的長度，ξi是[xi-1，xi]中的任意點(diǎn)，λ=maxi≤i≤n{Δxi}.這里的∫baf（x）dx只是無窮和式極限的lim λ→0 ∑ni=1f（ξi）Δxi的簡寫形式，僅僅是一個記號.注意到當(dāng)λ→0時，即n→+∞，因此定積分定義式的左端極限式恰為一個無窮和式極限lim n→+∞ ∑ni=1f（ξi）Δxi.也就是說定積分是無窮和式極限的代名詞.

二、無窮和式極限轉(zhuǎn)化為定積分的實(shí)用技巧

仔細(xì)觀察定義式lim λ→0 ∑ni=1f（ξi）Δxi=∫baf（x）dx不難發(fā)現(xiàn)，在ξi與自變量x，f（ξi）與f（x），Δxi與dx以及和式極限符號與積分號之間，存在著一系列的對位關(guān)系，如果技巧性地將閉區(qū)間[a，b]任意劃分成n等分，特殊地取ξi為[xi-1，xi]的右端點(diǎn)xi（即ξi=xi），我們便可以根據(jù)這些對位關(guān)系，利用定積分定義式來簡化表示無窮和式極限了.實(shí)踐教學(xué)中，為方便學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化技巧及方法，可按照以下的“n等分，右端點(diǎn)，夾擠定理求極限”實(shí)用口訣來幫助解題.將閉區(qū)間[a，b]劃分成n等分，使每個小區(qū)間長度都是Δxi= b-a[]n ，再取ξi為[xi-1，xi]的右端點(diǎn)（即ξi=xi=a+ b-a[]n i），就是我們所講的“n等分，右端點(diǎn)”技巧了，由此一來便可輕松得到lim n→+∞ ∑ni=1f（ξi）Δxi=lim n→+∞ ∑ni=1 b-a[]n f a+ b-a[]n i =∫baf（x）dx.達(dá)到化簡無窮和式極限的目的.特別地，閉區(qū)間為[0，1]時，將[0，1]劃分成n等分后，Δxi= 1[]n ；再取ξi為右端點(diǎn)（即ξi=xi= i[]n ），此時公式就簡化為：lim n→+∞ ∑ni=1f（ξi）Δxi=lim n→+∞ ∑ni=1 1[]n f i[]n =∫10f（x）dx.可以看到，使用該技巧后，無窮和式極限變成了簡單易求的定積分式.

在求解無窮和式極限問題時，常常需要用到夾擠定理（也稱夾逼準(zhǔn)則）.夾擠定理的實(shí)質(zhì)，是對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行放大和縮小處理，如果大函數(shù)和小函數(shù)極限都存在且相等，那么可以斷定夾在中間的目標(biāo)函數(shù)也就自然與它們的極限相同.該原理雖然很簡單，但實(shí)際應(yīng)用中須注意要先將大、小函數(shù)的無窮和式極限轉(zhuǎn)化成定積分，再用合適的辦法計(jì)算定積分值，以此來確定大、小函數(shù)的極限值.

三、牛頓萊布尼茨定理在無窮和式極限計(jì)算中的作用

牛頓、萊布尼茨兩位數(shù)學(xué)家，借助不定積分的計(jì)算方法，同時融合微分中值定理和積分中值定理的思想和結(jié)論，推出了計(jì)算定積分的基本方法：設(shè)F（x）是連續(xù)函數(shù)F（x）在區(qū)間[a，b]的一個原函數(shù)，則∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.此即著名的牛頓萊布尼茨定理.牛頓萊布尼茨公式在解決了定積分計(jì)算方法的同時，也為求解無窮和式極限難題提供了技術(shù)保證.

實(shí)踐證明，無窮和式極限在被轉(zhuǎn)化為定積分后，利用牛頓萊布尼茨定理將極大地簡化題目的計(jì)算.

四、應(yīng)用舉例

在應(yīng)用口訣將無窮和式極限轉(zhuǎn)化為定積分時，須重點(diǎn)關(guān)注和式極限中的“ 1[]n 和f i[]n ”，或“ b-a[]n 和 a+ b-a[]n i ”，這兩對函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，必要時需對無窮和式極限進(jìn)行針對性地變形處理，此外還要特別注意 1[]n 和f i[]n 所對應(yīng)的積分區(qū)間為[0，1]，而 b-a[]n 和 a+ b-a[]n i 所對應(yīng)的積分區(qū)間則是[a，b]，熟記以上特征，會對明確轉(zhuǎn)化思路和順利解題大有幫助.

五、小結(jié)與反思

從實(shí)際教學(xué)反饋來看，口訣能幫助學(xué)生迅速地掌握這類題型的解題原理和方法，課后作業(yè)的正確率很高，學(xué)習(xí)效果良好，既加深了他們對定積分概念的更深理解，又對“無窮多個無窮小的和未必是無窮小”這一結(jié)論有了進(jìn)一步認(rèn)識，與此同時，還為下一步能更好地學(xué)習(xí)定積分應(yīng)用方面的知識打下了良好基礎(chǔ).從教學(xué)角度思考，如果能借助簡單易記的口訣，幫助學(xué)生理解晦澀難懂的理論問題，掌握復(fù)雜題目的計(jì)算方法，一有助于理解，二能方便學(xué)習(xí)，三又增強(qiáng)了課堂的趣味性，這的確不失為改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量的良方妙藥.

【參考文獻(xiàn)】

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