坐標轉換Partial-EIV總體最小二乘方法

王樂洋，鄭玄威，申興林，許光煜，于冬冬

(1.東華理工大學測繪工程學院，江西南昌330013;2.流域生態與地理環境監測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西南昌330013；3.江西省數字國土重點實驗室，江西南昌330013)

?

坐標轉換Partial-EIV總體最小二乘方法

王樂洋1,2,3，鄭玄威1，申興林1，許光煜1，于冬冬1

(1.東華理工大學測繪工程學院，江西南昌330013;2.流域生態與地理環境監測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西南昌330013；3.江西省數字國土重點實驗室，江西南昌330013)

摘要：在測量數據處理過程中，針對系數矩陣中同時存在隨機元素和固定元素的情況，Xu等通過將隨機元素分離使EIV模型推廣到Partial-EIV模型，并給出基于Partial-EIV模型的總體最小二乘(TLS)算法。文中介紹該算法，并將其應用在平面及空間的坐標轉換中，通過與最小二乘(LS)、總體最小二乘(TLS)及加權總體最小二乘(WTLS)方法的比較和分析，驗證該算法有效性。

關鍵詞：總體最小二乘；Partial-EIV模型；函數模型；系數矩陣；坐標轉換

在大地測量數據處理中，經典最小二乘方法用的最為普遍。該方法僅考慮了觀測向量的噪聲，而認為觀測方程的系數矩陣中元素為非隨機量，然而系數矩陣含有隨機誤差的情況在測量數據處理實踐中是存在的。在某些測量數據的處理中，系數矩陣中元素并不總是由固定元素組成，往往包含一些觀測量。如大地測量反演[1,2]、坐標轉換[3]等數學模型中，觀測向量和系數矩陣均由觀測數據組成，兩者都包含隨機誤差，這類平差模型被稱之為EIV模型。此時，利用經典最小二乘對其進行處理顯然不恰當。針對此類模型的求解,Adcock于1877年首次提出了所有觀測數據的殘差的平方和最小化的總體最小二乘平差準則[4]。1980年Golub和Van Loan針對EIV模型提出了SVD(singular value decomposition)算法，即奇異值分解算法，并首次采用Total Least Squares(TLS)命名總體最小二乘[5]。針對系數矩陣中元素的多樣性，專家學者紛紛提出各種對應的解決方案，如針對EIV模型中系數矩陣含有特殊結構的混合總體最小二乘法(LS-TLS)[6,7];系數矩陣出現重復元素的多元整體最小二乘法[8];采用特定的定權方法固定不需要修正的常數元素的加權整體最小二乘法[9]。對于系數矩陣中隨機和固定元素同時存在的一般情況，Xu等通過將系數矩陣中的隨機元素與常數元素相分離的方法，將EIV模型擴展為更為一般的表現形式的Partial-EIV模型，并推導基于Partial-EIV模型的總體最小二乘解，且給出在有限樣本下的總體最小二乘解的精度評定計算式[10]?；赑artial-EIV模型的總體最小二乘算法，并將其應用在坐標轉換中，通過平面坐標和空間坐標轉換兩個算例，證明該算法在坐標轉換中的適用性和有效性。

1總體最小二乘法

總體最小二乘方法相比于傳統最小二乘方法不僅考慮觀測向量中的誤差，也考慮系數矩陣中存在的誤差，其函數模型為[11-13]

(1)

式中:A是n×m的系數矩陣且Rank(A)=m

假設系數矩陣及觀測向量之間相互獨立且為不等精度觀測，則其隨機模型為

(2)

2基于Partial-EIV模型的總體最小二乘算法

當系數矩陣A中出現非隨機性的固定元素，將導致其協因數陣奇異，因此必須對其進行特殊的處理才能得到唯一的加權TLS解。而針對這種情況，Xu等將EIV模型改寫并稱之為Partial-EIV模型[10]

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式(8)中

(9)

式(6)可寫成

(10)

于是由式(10)可得[10]

(11)

3算例及分析

3.1　平面坐標轉換

平面坐標轉換的四參數模型為[14]

當控制點個數為i(i≥2)時，四參數轉換模型為

分別用最小二乘(LS)、總體最小二乘(TLS)、加權總體最小二乘(WTLS)和基于Partial-EIV模型的TLS方法(以下簡述為P-TLS)求取坐標轉換參數β的估值及參數估值與真值差值的二范數‖Δβ‖，其結果如表2所示。

表1　模擬數據及相應權值

表2　不同方法結果列表

通過表2結果看出，P-TLS方法和WTLS方法得到結果一致且最好，離真值最為接近；LS方法得到的結果最差；TLS方法得到的結果要稍好于LS方法而差于其他兩種方法。上述結果從以下幾個方面解釋：①LS法只考慮了觀測向量的誤差，而忽略系數矩陣中存在的誤差，得到的結果與參數真值偏差較大；②TLS法考慮觀測向量和系數矩陣中的誤差，結果優于LS法，但與參數真值相比，偏差還是較大；③在P-TLS和WTLS方法中，著重考慮了觀測向量和系數矩陣中元素不等精度的情況，所以結果優于TLS法，得到更加接近真值的結果。

3.2　空間三維坐標轉換

在空間三維坐標轉換中，當旋轉角是小角度或初始已知，且控制點數不小于3個時，布爾沙轉換模型可寫成：

利用算例1中4種方法分別求解參數的估值，得到的結果如表4所示。

表3　模擬數據及相應權值

表4　不同方法求解結果

詳細介紹幾種方法之間的差異，在表3中隨機選取5個點，將其坐標設為起始坐標，分別利用表4中4種方法求解得到的7個參數值求得這5個點的目標坐標的估值。每種方法得到的5個點坐標的估值與真值的差值范數圖如圖1所示。

圖1　預測點坐標真值與估值的差值范數

從表4中結果可以得出，基于Partial-EIV模型的TLS法所求參數結果和加權總體最小二乘(WTLS)方法得到的結果一致，且優于其他兩種方法，得到的參數估值與真值的差值范數最小，這與算例1中得到的結論相一致。從圖1也可以看出，在4種方法當中，利用P-TLS和WTLS方法得到的轉換參數求得的5個點的估值相比TLS和LS方法要更為接近真值。綜合算例1和算例2的結果可以得出，在系數矩陣和觀測向量同時含有誤差的情況下，基于Partial-EIV模型的總體最小二乘方法在解決坐標轉換問題中能夠得到更加理想的結果，驗證了該方法在坐標轉換問題中的適用性和有效性。

4結束語

本文詳細地介紹當觀測方程的系數矩陣和觀測向量同時存在誤差時基于Partial-EIV模型下的總體最小二乘算法，通過平面坐標轉換和空間坐標轉換兩個算例，表明該算法在解決坐標轉換問題中的可靠性和有效性。對于該算法在其他方面的適用性和有效性還需進一步研究。

參考文獻：

[1]鮑建寬,李永利,李秀海.大地坐標轉換模型及其應用[J].測繪工程,2013,22(3)：56-60.

[2]楊娟，陶葉青.穩健估計下的坐標系統轉換總體最小二乘算法[J].測繪科學，2015,40(4)：15-18.

[3]楊強,黨亞民,章傳銀,等.地殼運動動力響應模型構建研究[J].測繪工程,2014,23(4)：6-9.

[4]ADCOCK R J.Note on the Method of Least Squares[J].The Analyst,1877,4(6)：183-184.

[5]GOLUB G H,VAN LOAN C F.An Analysis of the Total Least Squares Problem[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,1980,17 (6)：883-893.

[6]陸玨,陳義，鄭波.總體最小二乘方法在三維坐標轉換中的應用[J].大地測量與地球動力學,2008,28(5)：77-81.

[7]馮劍橋，黃張裕，徐秀杰，等.總體最小二乘法在坐標轉換中的應用[J].測繪與空間地理信息，2014，37(7)：205-206.

[8]SCHAFFRIN B,FELUS Y A.On The Multivariate Total Least-squares Approach to Empirical Coordinate Transformations.Three Algorithms[J].Journal of Geodesy,2008,82(6)：373-383.

[9]SCHAFFRIN B,WIESER A.On Weighted Total Least-squares Adjustment for Linear Regression[J].Journal of Geodesy,2008,82(7)：415-421.

[10]XU P L,LIU J N,SHI C.Total Least Squares Adjustment in Partial Errors-in-variables Models：Algorithm and Statistical Analysis[J].Journal of Geodesy,2012,86(8):661-675.

[11]王樂洋.基于總體最小二乘的大地測量反演理論及應用研究[D].武漢：武漢大學,2011.

[12]王樂洋,許才軍,溫揚茂.利用STLN和InSAR數據反演2008年青海大柴旦Mw6.3級地震斷層參數[J].測繪學報,2013,42(2)：168-176.

[13]王樂洋.測邊網坐標的總體最小二乘平差方法[J].大地測量與地球動力學,2012,32(6)：81-85.

[14]JAZAERI S,AMIRI-SIMKOOEI A R,SHARIFI M A.Iterative algorithm for weighted total least squares adjustment.Survey Review,2014,46(334):19-27.

[責任編輯：李銘娜]

Partial-EIV total least squares method for coordinate transformation

WANG Le-yang1,2,3,ZHENG Xuan-wei1,SHEN Xing-lin1,XU Guang-yu1,YU Dong-dong1

(1.School of Geomatics,East China Institute of Technology,Nanchang 330013,China；2.Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring,NASG，Nanchang 330013,China；3.Jiangxi Key Lab for Digital Land,Nanchang 330013,China)

Abstract：In geodetic data processing,the situation that the random and fixed elements exist simultaneously in coefficient matrix will be common.To solve this problem,Xu (Xu et al,2012) expands the EIV model to Partial-EIV model and proposes a total least squares method to the new adjustment model.In this paper,the algorithm proposed by Xu is introduced and applied to the plane and space coordinate transformation.The examples compare four methods (LS,TLS,WTLS and the introduced algorithm) and the effectiveness is tested through the result.

Key words：total least squares；Partial-EIV model；function model；coefficient matrix；coordinate transformation

作者簡介：王樂洋(1983-)，男，副教授，博士，碩士生導師.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(41204003,41161069,41304020)；測繪地理信息公益性行業科研專項項目(201512026)；江西省自然科學基金資助項目(20132BAB216004)；江西省教育廳科技項目(GJJ13456,KJLD12077,KJLD14049)；地理空間信息工程國家測繪地理信息局重點實驗室項目(201308)；東華理工大學博士科研啟動金(DHBK201113)

收稿日期：2014-12-08；修回日期：2015-05-08

中圖分類號：P207

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2015)12-0012-05