邊坡非線性位移的Verhulst-ARMA組合預測模型研究

楊　帆，周紅滿，謝佳君

(遼寧工程技術大學,測繪與地理科學學院，遼寧阜新123000)

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邊坡非線性位移的Verhulst-ARMA組合預測模型研究

楊帆，周紅滿，謝佳君

(遼寧工程技術大學,測繪與地理科學學院，遼寧阜新123000)

摘要：針對ARMA模型中時序變量自身變化的復雜性及其預測的不確定性，利用Verhulst提取非平穩時間序列中的趨勢項，再對剩下部分采用平穩時間序列建模，建立Verhulst-ARMA組合預測模型。運用文中組合模型對三峽某邊坡滑移的實測數據進行分析，驗證Verhulst-ARMA組合模型在邊坡非線性位移預測中的可靠性和適用性。

關鍵詞：Verhulst模型；GM(1,1)模型；時間序列；組合模型；位移預測

邊坡位移作為邊坡內部多因子相互作用的宏觀表現，具有很強的不確定性。邊坡變形預測一直是邊坡工程的重大難題；而時間序列預測模型是諸多預測模型的核心和基礎。近年來，國內外不少知名學者提出了對ARMA模型的改進與使用范圍的研究，并取得了許多成功的經驗[1-5]。同時，灰色理論等預測方法也得到了長足的發展。

然而，通過實踐分析可以發現，各種方法都有其優缺點。例如：時間序列對于中長期預測有較好的擬合效果，但它要求數據平穩、正態和零均值[6]，這在工程中很難滿足。因此，本文提出了Verhulst-ARMA組合模型的思路，綜合利用Verhulst和ARMA模型的優勢，利用Verhulst模型提取趨勢項，進而利用ARMA模型模擬平穩隨機序列，充分利用數據，達到較好的擬合和預測效果。

1基本原理

1.1　ARMA(n,m)模型

對于平穩、零均值的時間序列{xt}，若xt的取值不僅與前n步的各個取值有關，還與前m步的各個干擾項有關，則有一個n階自回歸m階滑動平均模型ARMA(n,m)

(1)

1.2　Verhulst模型

設X(0)為原始數據，做一次累加生成(1-AGO)序列X(1)，X(1)的緊鄰均值生成序列[7]為

(2)

(3)

2Verhulst-ARMA組合模型的建立

2.1　建模思路

邊坡非線性序列{xt}的趨勢項為{dt}，平穩隨機部分為{εt}，則稱xt=dt+εt為Verhulst+ARMA組合模型。dt為Verhulst趨勢項，εt為提取了趨勢項后的隨機項。

2.2　提取趨勢項

在實際邊坡變形問題中，常遇到原始數據本身呈飽和S型的過程，其流程如下：

1)取原始數據為X(1)，對其做一次累減，生成1-IAGO序列X(0),并構造緊鄰均值Z(1)。

2)構造如下矩陣：

(4)

3)按照最小二乘法估計a,b參數。

(5)

4)原始數據的預測公式

(6)

顯然，式(7)描述了{xt}隨時間t的變動趨勢dt。即可以用Verhulst來提取非平穩時間序列{xt}中的趨勢項

目前，我國各大高校都在加強與韓國高校的學習與交流，一些學生也會選擇去韓國留學進行學習與交流，通過對韓國文化以及風土人情的直接接觸使其韓語學習得到很大幫助，提高了韓語交流水平。但獲得出國交流機會的畢竟只有少部分人，大多數學生只能在學校進行韓語知識的學習，教師通過韓語知識的部分講解，致使學生對韓國文化以及語言文化的了解與認知較為淺顯、片面，導致學生的韓語交流能力得不到提高。

(7)

2.3　平穩隨機序列分析

由原始序列減去趨勢項即可得到剩余部分的隨機序列{εt}。

(8)

在將隨機序列輸入時間序列模型之前，必須對其進行標準化處理，使之滿足平穩、零均值、正態的要求。標準化處理方法為

(9)

利用時序的自相關函數和偏相關函數估計值的截尾性和拖尾性來判斷時間序列是否滿足AR或MA模型，否則認為滿足ARMA模型。但是，若截尾性和拖尾性有時表現不明顯，很難用上述方法判斷[8]。根據文獻[9]可知，當用于預測時，宜采用AR模型。

2.3.3　AR模型階數和參數的估計

對于AR(p)模型中p的選擇，必須根據實測數據，采用合理的方法來確定。本文分別采用Akaike[10]建立的AIC準則、BIC準則、FPE準則來選擇出合適的階數估計值。

(10)

按式(11)預測出來的是預處理后的正態零均值序列，因此必須將其還原，由式(10)可知

(11)

2.4　Verhulst-ARMA(n,m)組合模型的建立

由2.2和2.3可知：利用Verhulst模型得到非平穩時間序列的趨勢項，利用平穩時間序列ARMA(n,m)模型得到隨機項，由此兩部分組成的組合模型為

(12)

3工程驗證

3.1　數據來源

本文利用長江三峽水利樞紐工程永久船閘巖石邊坡[11]TP26GP03號位移監測點的監測數據對Verhulst-ARMA(n,m)模型進行了驗證。具體數據見表1，

表1　監測點的觀測值

3.2　模型分析

3.2.1　Verhulst-AR模型的分析

由表1可以看出，該段時間內的數據類似于“S”型，具有指數序列的一般性質。

因此，根據上述原理建立Verhulst-AR模型，利用Matlab編程擬合與預測數據，其結果見圖1~圖3。

圖1　Verhulst-AR模型的擬合情況

圖2　AR模型的擬合情況

圖3　Verhulst-AR模型的殘差情況

從圖1~圖3可以看出，單一的Verhulst模型和AR模型的擬合和預測精度都不高，而組合模型Verhulst-AR的精度卻大大提高了。

3.2.2　GM(1,1)-AR模型的分析

由于監測點在該段時間內呈“S”型，具有指數曲線的一般特征，因此可以利用GM(1,1)進行預報，其預報結果見圖4。

由圖4可以看出，在本文數據下，GM(1,1)的預報精度過低，并不適合預報。

類似地，先采用GM(1,1)提取趨勢項[12-13]，再利用ARMA處理剩余部分，結果如圖4、圖5所示。

圖4　GM(1,1)-AR模型的擬合情況

圖5　GM(1,1)-AR模型的預測情況

從圖4、圖5可以看出，單一的GM(1,1)模型的擬合和預測精度都不高，而組合模型GM(1,1)-AR的精度卻大大提高了。

3.2.3　兩種組合模型的分析

兩種組合模型的擬合與預報結果見圖6、圖7。

圖6　兩種組合模型的擬合情況

圖7　兩種組合模型的殘差情況

從圖6、圖7可以看出，兩種模型都能很好地擬合出呈“S”型趨勢的位移序列，但是Verhulst-AR模型的擬合與預測精度比GM(1,1)-AR模型的精度高。

4結束語

1)ARMA模型無法揭示序列的發展趨勢和動態特征，但Verhulst-ARMA模型充分利用了兩種預測方法各自的優點，不僅能說明序列的發展趨勢，而且還能進行短中期預報，并且具有較高的精度，能夠較好地解決邊坡位移(呈“S型”或“單峰型”)的預測問題。

2)對于呈“S”型或“單峰”型的邊坡位移序列，Verhulst-AR模型的擬合與預測精度比GM(1,1)-AR模型要高。

參考文獻：

[1]劉志平,何秀鳳.穩健時序分析及其在邊坡監測中的應用[J].測繪科學,2007,32(2)：73-80.

[2]節斌.綜合運用非線性回歸和時間序列分析研究邊坡變形[J].測繪科學，2003,28(3)：52-54.

[3]劉沐宇,池秀文,魏文暉,等.時間序列分析法與邊坡位移預報[J].武漢工業大學學報,1995,17(3)：46-49.

[4]黃志全,樊敬亮,王思敬.混沌時間序列預測的局域法在邊坡變形分析中的應用[J].工程地質學報,2005,13(2)：252-256.

[5]楊永貴,劉明貴.滑坡預測預報的研究現狀與發展[J].土工基礎,2005,19(2)：61-65.

[6]唐佑輝,黃騰,趙兵帥.GOM和時間序列組合模型在地表沉降預測中的應用[J].測繪工程,2014,23(2)：70-80.

[7]王勁松,陳正陽.公路路基沉降灰色預測方法之探討[J].測繪科學,2008,33(3)：25-33.

[8]許國輝,于春林.時間序列分析方法的研究[J].廣州大學學報(自然科學版)，2006,6(2)：556-559.

[9]楊叔子,吳雅,軒建平，等.時間序列分析的工程應用[M].武漢：華中理工大學出版社，1991.

[10]謝瑞,劉小強，李勇.基于時序模型的變形預報研究[J].測繪科學,2012,37(4)：96-98.

[11]劉祖強，張正祿.工程變形監測分析淵博的理論與實踐[M].北京：中國水利水電出版社,2008.

[12]趙鑫,郭嘉,吳建川.ARMIA模型和GM(1,1)與ARMA(p,q)組合模型在滑坡短期預報中的對比分析[J].安全與環境工程,2012,19(3)：24-29.

[13]唐爭氣,譚志強.灰色時序組合模型在基坑監測中的運用[J].測繪工程，2014，23(2)：49-53.

[責任編輯：劉文霞]

Research on Verhulst-ARMA combination forecasting model of slope nonlinear displacement

YANG Fan,ZHOU Hong-man,XIE jia-jun

(School of Geomatics,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,China)

Abstract：For the complexity of timing variables’ self-variation and uncertainty of prediction in the ARMA model，Verhulst is used to extract the trend item of non-stationary time series， and the remaining parts are modeled in stationary time series. A Verhulst-ARMA combination forecasting model is established. This model is used to analyze the measured data of slope sliding on the three gorges and the reliability and applicability of the model in slope nonlinear displacement prediction are confirmed.

Key words：Verhulst model；GM(1,1) model;time series；combined model；displacement prediction

作者簡介：楊帆(1972-)，男，教授，博士.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(50604009)；遼寧省“百千人才工程”人選資助項目(20100921099)；對地觀測技術國家測繪地理信息局重點實驗室經費資助項目(K201106)

收稿日期：2014-09-20

中圖分類號：P642.22

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2015)12-0017-04