基于TLS的多變量灰色模型在大壩變形預報中的應用

盧辰龍，匡翠林，陳曉林，魯鶴松

(1.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南長沙410083;2.鄭州市市政工程勘測設計研究院,河南鄭州450000;3.中南勘測設計研究院有限公司，湖南長沙410014)

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基于TLS的多變量灰色模型在大壩變形預報中的應用

盧辰龍1,2，匡翠林1，陳曉林1，魯鶴松3

(1.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南長沙410083;2.鄭州市市政工程勘測設計研究院,河南鄭州450000;3.中南勘測設計研究院有限公司，湖南長沙410014)

摘要：傳統多變量灰色模型MGM(1,n)的背景值誤差會使得求解的灰色參數精度降低。總體最小二乘是一種可以同時顧及到觀測誤差與模型系數矩陣誤差的數學方法。基于此，引入TLS對傳統MGM(1,n)模型的灰色參數進行修正。通過對某大壩變形數據試算，驗證表明，該方法能夠有效地提高變形預報精度。

關鍵詞：大壩變形預報；多變量灰色模型；背景值優化；總體最小二乘

大壩在供水、能源、航運供給以及防洪等方面起著重要的作用，為社會經濟的快速發展保駕護航，而大壩的貢獻是建立在良性運行的基礎之上，因此，對大壩開展安全監測工作具有重要意義[1]。為了提高大壩水平位移預報的精度與可靠性，國內外學者展開了廣泛的研究并取得了一些有益的成果。目前，對大壩水平位移預報主要有神經網絡法[2-4]、時間序列分析法[5]、灰色預測法[6-11]，支持向量機法[12-13]等。但上述方法大部分都是采用單點數據進行建模與預報，并未考慮不同監測點之間相互聯系。但在實際中，每個監測點的變形并不都是孤立的，而是彼此間相互作用、相互影響。基于此，翟軍在單點GM(1,1)模型的基礎上，將其擴展為多變量灰色模型[14-17]。由于灰色模型參數直接影響模型的擬合與預報精度，而背景值又是影響灰色模型參數精度的關鍵因素，但傳統MGM(1,n)模型的背景值的構造仍采用單點GM(1,1)模型背景值的方法，因此，對于數據序列急劇變化時，其模型預報誤差較大。針對這一問題，不同學者提出了不同的背景值構造方法，提高模型擬合與預報的精度，如動態定權法[18]、向量連分式理論法[19]、非齊次指數函數擬合法[20-21]等，但上述背景值優化方法并不能保證對所有情況都適用。為此，本文在計算灰色模型參數時，考慮到由背景值求解得到的灰色參數存在誤差，引入TLS[22-23]對其進行求解，并通過對湖南省某大壩實測數據計算表明，該方法的預報精度優于傳統的MGM(1,n)模型與優化的MGM(1,n)模型。

1MGM(1,n)模型建立與背景值誤差分析及優化

1.1　傳統MGM(1,n)模型的建立

(1)

(2)

式中：j=1,2,…,m；i=1,2,…,n。

顧及到n個引張線點相關影響，對生成序列建立n元一階常微分方差組：

(3)

將式(3)寫成矩陣形式：

(4)

式(4)的時間響應式為

(5)

將式(4)離散化可得灰色微分方程為

(6)

其中

(7)

式中:i=1,2,…,n；k=2,3,…,m。

根據最小二乘法計算多變量灰色模型的參數A與B，

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

MGM(1,n)模型的時間響應函數為

(12)

將式(12)做累減還原，其模型為

(13)

1.2　背景值的誤差分析

在區間[k-1,k]上對式(4)中n個白化方程進行積分可得

(14)

化簡可得

(15)

式中：i=1,2,…,n，k=2,3,…,m。

圖1　第i個變量的傳統背景值誤差來源

2基于TLS的MGM(1,n)模型及預報精度評價指標

2.1　TLS迭代解算

在TLS[24]中，求解MGM(1,n)模型灰色參數的函數模型為

(16)

式中:ΔL為系數矩陣中存在誤差，ΔY是觀測誤差，其誤差方程式的形式為

(17)

而誤差方程式(17)表示為

(18)

(19)

(20)

于是TLS的目標函數

vec(EL)Tvec(EL)+eTe=min.

(21)

等價于

(22)

求解目標函數的自由極值得

(23)

轉置整理得

(24)

將式(19)與式(20)代入式(24)得

(25)

(26)

將式(19)代入式(26)整理，得到參數的估值為

(27)

式(25)可以通過迭代解算得到參數估值，計算步驟如下：

根據上述的迭代解算，即可得到參數的估值。

2.2　預報精度評價指標

為驗證模型的預報結果是否可靠與穩健，分別選用平均相對誤差E、均方差比值C以及小誤差概率P三種指標進行評價，三種指標的定義如下：

1)平均相對誤差E，E反映了預報殘差占原始數據的平均比例，因此，E越小越好，其定義如下：

(28)

2)均方差比值C，越小越好，因為指標C反映了原始數據離散程度大，而殘差離散程度小，

(29)

其中,S1是原始序列的標準差，S2是殘差序列的標準差，原始序列與預報序列的差值序列稱為殘差序列。

3)小誤差概率P，指標P越大越好，殘差與殘差均值之差小于給定值，

(30)

表1　模型精度評定標準

3實例分析

為驗證本文算法的有效性與可靠性，以某大壩三個引張線點上14期的徑向水平位移數據為例，分別選用傳統MGM(1,3)模型、背景值優化的MGM(1,3)模型以及TLS-MGM(1,3)模型進行模擬預報。表2是14期的觀測數據，以10 d為一個周期。

圖2是以前11期數據進行建模，后3期數據用于檢核，其圖2中(a)、(c)與(e)分別與表2中的點A、B、C相對應，圖2中(b)、(d)與(f)分別是其相對誤差。從圖2中可以明顯看出，背景值優化的

圖2　不同模型的擬合預報值與相對誤差

MGM(1,3)模型的預報精度并未顯著提高，而是與傳統MGM(1,3)模型的預報精度基本相當，而TLS-MGM(1,3)模型的預報精度則明顯優于上述兩種模型。為進一步說明本文方法的可靠性，又采用不同的指標進行多角度的評價，其結果如表3所示。從表3中可以看出，不同指標的結果均能明顯地反映出TLS-MGM(1,3)模型優于另外兩種模型。綜合上述實例數據分析表明，TLS改進MGM(1,3)模型可以削弱多變量灰色模型的背景值誤差，從而提高其預報精度。在實際應用中，采用TLS-優化MGM(1,3)模型，獲取更好的模擬和預報效果。

表3　多種評價指標的可靠性檢驗

4結論

MGM(1,n)模型綜合不同監測點之間的相關信息，從整體上對多測點原始觀測數據進行正確的處理，建立合理地預報模型，進而做出準確地預報，但傳統MGM(1,n)模型的背景值構造限制了更精確的預報。本文通過分析傳統MGM(1,n)模型誤差產生的根本原因，引入TLS對其灰色模型參數矩陣修正，使得建模更加合理，從而有效地提高MGM(1,n)模型的預報精度。對于背景值優化的MGM(1,n)模型，克服因原始數據序列一階累加生成序列非齊次指數函數而造成其預報精度不能改善的限制，使得MGM(1,n)模型更加穩健與可靠。因此，TLS-MGM(1,n)模型具有廣泛的應用前景，同時，在實際應用中，也可先對背景值優化，然后再采用TLS解算灰色參數，進而提高其預報精度。

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[責任編輯：李銘娜]

The multivariable grey model based on total least squares applicable for the dam deformation forecast

LU Chen-long1，2,KUANG Cui-lin1,CHEN Xiao-lin1,LU He-song1

(1.School of Geosciences and Info-Physics,Central South University,Changsha 410083,China;2.Zhengzhou City Municipal Engineering Design & Research Institute,Zhengzhou 450000,China;3.Zhongnan Engineering Corporation Ltd.,Co.,Changsha 410014,China)

Abstract：The background value error of traditional multivariable grey model MGM (1,n) will make the precision of grey parameters decline.The total least square is a kind of mathematical method which can simultaneously consider the observation error and model coefficient matrix error.Based on this,the MGM(1,n) model grey parameters are modified by introducing the total least square (TLS) method in this paper.Through the trial of a dam deformation data,the results show the proposed method can effectively improve the prediction accuracy.

Key words：dam deformation forecast；multivariable grey model；background value optimization；total least square

作者簡介：盧辰龍(1987-)，男，碩士，助理工程師.

基金項目：國家973計劃子課題(2013CB733303);湖南省國土資源廳科技項目(2012-41)

收稿日期：2014-09-30

中圖分類號：TU196+.1

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2015)12-0048-05