圓柱滾子軸承多體接觸動力學研究

第一作者姚廷強男，博士，副教授，碩士生導師，1979年生

通信作者黃亞宇男，教授，碩士生導師，1962年生

圓柱滾子軸承多體接觸動力學研究

姚廷強,黃亞宇,王立華

(昆明理工大學機電工程學院,昆明650093)

摘要：考慮滾子和套圈、滾子和保持架、保持架和引導套圈的動態接觸關系，提出了機械系統中圓柱滾子軸承多體動力學分析的新方法?；趫A柱套圈滾道的三角網格模型，實現了圓柱滾子和套圈滾道的動態接觸力的預測搜索算法，進而建立了計及潤滑摩擦作用和Hertz接觸作用的圓柱滾子軸承的三維多體接觸全動力學模型。運用廣義-α方法計算分析了不同工況條件下圓柱滾子軸承的動態特性和保持架的穩定性，獲得了不同工況下軸承的運動軌跡、角速度、滾子和傾斜扭轉振動、動態接觸力，拖動力和相軌跡等動態響應的變化規律。計算結果表明低速或較小徑向力下，滾子和保持架的拖動力相對較小且不穩定，滾子和保持架側梁、外圈擋邊之間存在明顯的頻繁接觸沖擊作用，內圈中心的振動位移相對較大，保持架中心的徑向平面運動軌跡形成不穩定的近似圓周運動，圓柱滾子軸承的運動穩定性相對較差。隨著轉速或旋轉徑向力的增加，保持架中心的徑向平面運動軌跡為圓周運動和單周期的相軌跡運動，保持架中心的軸向振動明顯，滾子傾斜扭轉振動相對較小。

關鍵詞：接觸動力學；圓柱滾子軸承；多體系統動力學；保持架

基金項目：國家自然科學基金項目(11002062,11462008); 云南省應用基礎研究基金項目(KKSA201101018)

收稿日期：2013-12-11修改稿收到日期：2014-03-27

中圖分類號:TB115

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.003

Abstract:Considering the dynamic contact relationship between rollers, rings and cage, a new method was brought out for multibody dynamics analysis and dynamic design of cylindrical roller bearings in mechanical systems. Based on triangular mesh models of ring races, a searching algorithm for prediction of dynamic contact force was introduced. A three dimensional multibody contact dynamics model of cylindrical roller bearing was constructed in consideration of lubrication friction and Hertz contact.The dynamic characteristics and stability of cage were calculated by using generalized-α algorithms under different conditions. The results of trajectory of motion, angular velocity, tilt and torsional vibration of rollers, dynamic contact-impact force, drag force and phase diagram were presented. Under low speed or small radial force, the motion of cylindrical roller bearing is unstable. The drag force is relatively small and unstable, there’re frequent contact-impact between rollers, cage and rings, the vibration displacement of inner’s center is relatively large, the radial plane motion of cage is unstable and in approximate circular form. With the gradual increase of the angular speed or rotating radial force the radial plane motion of cage becomes a motion with stable circle and single period phase locus, the axial vibration of cage is obvious and the tilt and torsional vibration of rollers are relatively small.

Multibody contact dynamics for cylindrical roller bearing

YAOTing-qiang,HUANGYa-yu,WANGLi-hua(School of Mechanical and Electric Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093,China)

Key words:contact dynamics; cylindrical roller bearing; multibody system dynamics; cage

圓柱滾子軸承內部運動學、動力學關系復雜，尤其是圓柱滾子與保持架、保持架與套圈引導面之間的動態接觸關系，具有典型的線接觸非線性特點。機械系統動力學研究中通常將圓柱滾子軸承簡化為等效彈簧阻尼單元的結合部力學模型，如何處理系統中各軸承處的剛度和阻尼、動載荷是一個難題。如何深入分析研究考慮保持架的圓柱滾子軸承的動態性能及系統動力學特性成為進一步提高滾動軸承系統的工作性能及可靠性的關鍵所在[1-3]。

國內外學者基于套圈控制理論假設，主要運用擬動力學方法和有限元方法，研究分析圓柱滾子軸承的靜、動態載荷特性和保持架的徑向平面運動軌跡。通常將圓柱滾子軸承簡化為二維平面模型或三維有限元模型，忽略圓柱滾子和保持架的傾斜和動態接觸沖擊，與軸承實際運轉狀態有一定的差異。張志華等[4-5]建立了圓柱滾子軸承的二維擬動力學模型，分析研究了保持架運動規律。蘇敏等[6]運用二維擬靜力學模型，研究了薄壁圓柱滾子軸承的載荷特性。陳於學等[7-8]采用二維擬靜力學模型，研究了圓柱滾子軸承在徑向載荷作用下的動載荷分布。Harris[9]系統地討論了Hertz接觸理論在靜載、動載、局部變形和游隙是否存在等條件下在圓柱滾子軸承分析中的應用。Zhao等[10-11]建立了圓柱滾子軸承的2D有限元模型，計算了軸承內部的載荷分布。Rubio等[12]利用Algor分析了忽略保持架接觸沖擊的圓柱滾子軸承的動態特性。徐弘毅等[13]運用ANSYS/LS-DYNA研究了圓柱滾子軸承的雙線性材料塑性變形模型和應力狀況。童寶宏等[14]利用ANSYS/LS-DYNA分析了不同軸頸傾斜角下圓柱滾子軸承的動態接觸特性。Gupta等[15]建立考慮因素眾多的圓柱滾子軸承動力學模型，分析了動態載荷和保持架的質心運動軌跡。劉秀海[16]在Gupta研究的基礎上計算分析圓柱滾子軸承的保持架的打滑和穩定性。張風琴等[17-19]運用ADAMS多體動力學仿真軟件，開發建立了考慮柔性保持架的圓柱滾子軸承擬動力學模型，仿真分析了軸承的動態載荷和保持架的運動軌跡等結果。陳小安等[20]考慮套圈結構彈性變形，分析了電主軸用角接觸球軸承的動剛度特性。姚廷強等[21-22]基于系統動力學理論，在忽略和考慮保持架和潤滑影響的兩種情況下，建立球軸承三維多體接觸動力學模型，分析研究了球軸承動力學特性。

大多數研究模型主要考慮圓柱滾子軸承的平面運動，較少運動自由度或忽略保持架接觸沖擊影響。作者從系統動力學觀點出發，考慮各零件的全部運動自由度，圓柱滾子、套圈和保持架的三維動態實際接觸關系，建立圓柱滾子軸承多體接觸全動力學模型，計算分析其動力學特性，為考慮圓柱滾子軸承的機械系統動力學分析和動態設計提供一種有效的新方法。

1圓柱滾子軸承動態接觸關系

1.1廣義坐標的選擇

1.2套圈滾道表面的三角網格模型

圓柱滾子軸承的套圈滾道方程與圓柱表面方程相同，套圈滾道表面的運動相對于套圈中心是不變的。套圈滾道表面上的任意點參數方程為

(1a)

(1b)

式中:lc為滾道有效長度，nc為滾道有效長度的分段數，k為有效長度的第k段，di，De分別為內外套圈的滾道直徑，φ為套圈滾道的圓周分布角。

圓柱滾子軸承的套圈滾道三角網格模型與球軸承的類似[21]，此處不再累述。忽略軸承的結構彈性變形，在套圈體坐標系下，套圈滾道表面的三維坐標離散點的位置和方向是不變的，由此構成三角網格單元的相對位置和方向也是不變的。

1.3圓柱滾子和套圈的動態接觸關系

圓柱滾子軸承中滾子和套圈滾道的動態接觸關系是潤滑摩擦作用和Hertz線接觸關系。當運轉狀態下滾子在滾道上發生傾斜時，滾子與套圈滾道的相互作用力沿著滾子母線方向是變化的。運用切片法將滾子分成m個圓片，由線接觸計算公式，分別計算每個圓片段與套圈滾道的相互作用力和力矩。

圖1　圓柱滾子與外圈滾道的接觸力學模型 Fig.1 The contact model for rollers and outer race

圖1為圓柱滾子與外圈滾道的相互作用示意圖。在外圈體坐標系下滾動體j與外圈滾道表面的三角單元s幾何中心Pn的相互作用關系為

(2a)

(2b)

由式(2a)和式(2b)得滾動體j質心與外圈滾道表面的三角單元s的相對位置矢量為

(3a)

(3b)

由圓柱滾子與套圈滾道的相對位置矢量可知，圓柱滾子與三角網格單元的相互作用實質上轉換為圓柱滾子與內圈、外圈的相互作用關系。

(4a)

(4b)

為方便討論，定義r?w為圓柱滾子與套圈的三角網格單元s的法向相對距離，rw為圓柱滾子的參數化半徑。當r?w≥rw時，圓柱滾子與套圈滾道無接觸作用，接觸預測程序跳過接觸力計算程序；當r?w

δ=rw-r?w

(5a)

圓柱滾子軸承中滾子與外圈擋邊的最小間隙為

(5b)

(5c)

1.4滾動體和保持架的動態接觸關系

圖2圓柱滾子與保持架的動態位置關系。在保持架兜孔坐標系下，滾子質心與矩形兜孔中心的位置矢量為

(6)

圖2　圓柱滾子與保持架 的動態位置關系 Fig.2 The contact model for balls and cage

圓柱滾子軸承中滾子與矩形兜孔的最小間隙為

(8a)

滾子和保持架受到的流體動壓產生的接觸切向作用力分量分別為

(8b)

式中η0為潤滑油在大氣壓下的動力粘度，Dr為滾子直徑，va，vb分別為滾子和保持架的切向速度。h為圓柱滾子與保持架兜孔間的油膜厚度。

(9)

(10a)

(10b)

1.5保持架和套圈的動態接觸關系

圖3　保持架與外圈引導面的關系 Fig.3 The relationship of cage and outer guidance surface

由于考慮滾子、保持架和套圈的動態接觸關系的圓柱滾子軸承動力學性能，保持架具有六個自由度，要比二維平面簡化模型分析復雜得多。在圓柱滾子軸承運轉過程中，外圈引導面與保持架的外圓柱面在潤滑油作用下將產生流體動壓作用和Hertz接觸作用，可將套圈與保持架間的相互作用等效處理為短滑動軸承問題[16,21]。

圖3為保持架與外圈的引導模型。在慣性坐標系下外圈與保持架的質心位置關系為

對于圓柱滾子軸承而言，在徑向平面內外圈的引導面與保持架的外圓柱面間的相對位置變動量為

(12)

外圈的引導面與保持架的外圓柱面間的間隙為

hco=Cg-Δco

(13)

式中hco為外圈的引導面與保持架的外圓柱面間的間隙，Cg為圓柱滾子j與保持架兜孔的半徑間隙，Cg=(Dgo-Dgc)/2，Dgo、Dgc分別為外圈引導面和保持架引導面的直徑。

當hco≥Δ0時，引導面與保持架的外圓柱面間僅存在流體動壓作用，而無Hertz接觸作用，可將引導面與保持架的外圓柱面間的流體動壓作用力等效為短滑動軸承作用力。

(14)

式中Vco為保持架與外圈的相對速度，Lg為引導面的寬度。

當hco<Δ0時引導面與保持架的外圓柱面間同時存在流體動壓作用力和Hertz接觸作用力。此時Hertz接觸彈性變形為

δco=hco-Δ0

(15)

2圓柱滾子軸承動力學模型

在套圈體坐標系下，基于罰函數法的動態接觸力顯示表達式，可得圓柱滾子與套圈之間發生Hertz接觸作用時的接觸力表達式。

(16a)

(16b)

在潤滑摩擦下，圓柱滾子和套圈滾道之間的摩擦力為潤滑油的拖動力，可由接觸區域內的拖動系數和法向接觸力來計算摩擦力。

(17)

在保持架體坐標系下，滾子與兜孔的法向接觸力和切向摩擦力為

(18)

(19)

式中μcr為滾動體和保持架兜孔的摩擦系數，由于滾動體和保持架兜孔的滑動較大，μcr可取為常數。

采用切片法處理保持架傾斜，計算各個接觸的分段圓的作用力。在保持架體坐標系下，保持架定心表面與外圈引導面的法向接觸力和摩擦力為

(20a)

(20b)

則保持架定心表面受到外圈引導面的作用力為

(21)

由圓柱滾子軸承各零件的動態作用力可以計算出在不同坐標系下的作用力矩，由于篇幅限制，此處省略。

(23)

(24a)

(24b)

(24c)

(24d)

首先確定軸承零件的幾何結構參數和運動條件的初始值，滾子軸承各零件由集中質量和慣量描述，幾何結構參數由相應的表面方程描述。計算滾子的分段圓和套圈滾道的三維離散點坐標值，由此可以計算以離散點為頂點的三角網格單元的法向矢量和位置。由于三維離散點是在剛性套圈的體坐標系計算的，所以在動態接觸計算過程中，無需更新三角網格單元相對于體坐標系的位置。通過各零件的相對位置及運動參數的計算，獲得各零件的相互接觸時的相對滲透量表達式，對相對滲透量進行偏微分計算，得到接觸力和阻尼力的作用方向，由動態接觸關系式計算作用在各零件上的作用力和力矩。根據軸承的約束代數方程，運用Matlab軟件編制動力學分析的廣義-α法，計算約束雅可比矩陣和拉格朗日乘子，軸承零件的新位置和加速度等結果，對圓柱滾子軸承動力學的微分代數方程組(DAE)進行積分求解，得到各瞬時點的位置和運動參數，可得圓柱滾子軸承的動態結果，計算流程如圖4所示。

圖4　滾子軸承計算流程圖 Fig.4 The algorithm flowchart of roller bearing

3圓柱滾子軸承動力學分析實例

考慮滾子和套圈、滾子和保持架、保持架和引導套圈的動態接觸關系，建立圓柱滾子軸承三維多體接觸全動力學模型，分析研究不同工況條件下滾子傾斜扭轉，保持架的運動軌跡和接觸沖擊等復雜的動力學特性，為考慮滾動軸承動態性能的機械系統的動態設計和動力學分析提供新的方法。

3.1計算邊界條件

以NU306為例，外圈宏觀靜止，內圈旋轉且受徑向力，內外圈滾道直徑分別為40.587 mm和66.613 mm，滾子直徑和數目為13 mm和12個，圓柱滾子有效長度11.5 mm。保持架外徑為59 mm，內徑為51 mm，外圈引導的保持架引導間隙值為0.6 mm，兜孔為10.2×11.18 mm。圓柱滾子與套圈的接觸剛度為Kci=Kco=7.2E5 N/mm1.1，徑向游隙為26 um。潤滑油為4109航空潤滑油[21]，動力粘度η0為0.033 pas，粘壓系數α為1.28E-8 Pa-1。

3.2圓柱滾子軸承多體接觸動力學計算結果

圖5~圖7為內圈受旋轉徑向力Fr=300 N，轉速為ni=1 800 r/min，有、無保持架的圓柱滾子軸承的動力學計算結果。圖5為有、無保持架的圓柱滾子軸承內圈中心的運動軌跡和動態接觸力結果。對比分析可知，內圈中心運動軌跡是圓形的，考慮保持架全自由度和動態接觸關系的圓柱滾子軸承內圈中心的運動軌跡波動較為明顯，動態接觸力也存在著較為明顯的接觸沖擊特性，說明保持架對圓柱滾子軸承的動態性能有著重要的影響。無保持架的接觸力計算結果與文獻[7]的計算結果具有較好的一致性。圖6為滾子自轉角速度和保持架的角速度。未考慮保持架時圓柱滾子軸承運動平穩，滾子有穩定打滑運動，角速度無波動變化。滾子公轉角速度為708.8 r/min，理論公轉角速度為711.6 r/min自轉角速度的仿真結果3405.2 r/min，由套圈控制假設計算的理論角速度為3 482 r/min，打滑率為2.21%。由于潤滑油的拖動，旋轉徑向力作用和保持架的接觸碰撞的影響，考慮六自由度的保持架的影響時，圓柱滾子有周期變化的打滑運動，自轉角速度是周期變化的，圓柱滾子的自轉角速度在-3 404.3 r/min到-3 115.2 r/min之間周期變化。幅值在±145 r/min內變化，且最大值接近無保持架的角速度值。保持架穩定運動時公轉角速度為682.5 r/min到712.6 r/min之間微幅近似周期變化。保持架運動還存在明顯的沖擊振動現象，公轉角速度存在明顯的沖擊波動變化，角速度較低(約為583.4 r/min)，相對于理論公轉角速度711.6 r/min，瞬時打滑較為嚴重。

圖7為滾子和套圈、保持架側梁的作用力。摩擦力相對較小，與滾子和套圈滾道的動態接觸力的變化規律相似。滾子和保持架兜孔的拖動力相對較小且不穩定，滾子和保持架側梁、外圈擋邊之間存在明顯的頻繁接觸沖擊作用，且作用力較大，說明圓柱滾子的運動存在傾斜、扭轉振動和打滑現象，直接影響圓柱滾子軸承的運動精度和壽命等方面。

圖5　內圈中心的運動軌跡和動態接觸力 Fig.5 The trajectory of inner center and dynamic contact force

圖6　滾子自轉角速度和保持架角速度 Fig.6 The angular velocity of roller and cage

不同工況條件對圓柱滾子軸承的動態性能有著重要的影響，保持架的穩定性是高速圓柱滾子軸承突然失效的關鍵問題之一。圖8-圖15為計及保持架的影響，不同工況下圓柱滾子軸承的動態特性。本文計算如下4種工況條件：

(1)固定徑向力Fr=500 N，ni=0-14 400 r/min；

(2)固定徑向力Fr=0-8 000 N，ni=6 000 r/min；

(3)旋轉徑向力Fr=500 N，ni=0-14 400 r/min；

(4)旋轉徑向力Fr=0-8 000 N，ni=6 000 r/min；

圖7　滾子和套圈、保持架側梁的作用力 Fig.7 The force of roller, rings and cage

其中變轉速以1 800 r/min為基礎，變旋轉徑向力以500 N為基礎，以step(…)函數實現等比2倍關系的階梯遞增。固定徑向力為內圈中心所受的外力Fex=Fr，且作用力方向與重力方向相同。旋轉徑向力為內圈中心所受的外力Fexx=Fr·sinωit，Fexy=Fr·cosωit，方向隨著內圈轉動而變化。

Fr=step(time,0.2,0,0.21,500)+

step(time,0.4,0,0.41,500)+

step(time,0.6,0,0.61,1 000)+

step(time,0.8,0,0.81,2 000)+

step(time,1,0,1.1,4 000)。

ni= step(time,0.05,0,0.1,1 800)+

step(time,0.3,0,0.35,3 600)+

step(time,0.6,0,0.65,7 200)+

step(time,0.9,0,0.95,14 400)

圖8為不同工況下圓柱滾子的自轉角速度和保持架的角速度。徑向力的大小一定，轉速增加時，圓柱滾子自轉角速度和保持架角速度增加，且變化規律也隨轉速和徑向力的方向變化而改變。轉速一定(ni=6 000r/min)時，徑向力的方向對圓柱滾子自轉角速度和保持架角速度的變化規律的影響較大，而徑向力大小的影響較小。

圖9和圖10為不同工況條件對內圈中心的運動軌跡的影響。分析可知，受固定徑向力時，無初始轉速和較低轉速時，或無初始徑向力和較小徑向力時，內圈中心的振動位移相對較大些，穩定性相對較差。隨著轉速的增加，內圈中心穩定在一定區域內微幅振動；隨著固定徑向力的增加，內圈中心的振動位移先減小后略微增加?？紤]旋轉徑向力的圓柱滾子軸承的動力學特性比只有定值的徑向力時的要復雜。常值旋轉徑向力時，內圈中心的運動軌跡是圓周運動，且隨著轉速的增加，振動位移略微增加，以±0.024 mm至±0.026 mm為半徑，形成平面圓形的帶狀或三維柱狀的運動軌跡。變旋轉徑向力時，內圈中心的運動軌跡也是圓周運動，且隨著徑向力的增加，振動位移明顯增加，分別以0.023 mm、0.031 mm、0.045 mm、0.071 mm、0.119 mm為半徑，形成平面圓環狀或三維錐狀的運動軌跡。

圖8　工況條件對圓柱滾子和保持架的角速度的影響 Fig.8 The rule of angular velocity of roller and cage under different conditions

圖9　不同工況下內圈中心的徑向平面運動軌跡 Fig.9 The radial trajectory of inner under different conditions

圖10　工況條件對內圈中心的徑向平面運動軌跡的影響 Fig.10 The rule of radial trajectory of inner under different conditions

圖(11-12)為不同工況條件對保持架中心的運動軌跡的影響。對照分析可知，轉速對保持架的穩定性有著較大影響。轉速相對較低(ni=1 800 r/min)時，由于保持架和滾子的打滑，接觸沖擊的影響，保持架中心的徑向平面運動軌跡形成不穩定的近似圓周運動。隨著轉速的增加，受旋轉徑向力時比受固定徑向力時的保持架中心的徑向平面運動軌跡要更加穩定些，且更快達到穩定的、半徑為0.6 mm的圓周運動。當轉速ni=6 000 r/min時，保持架中心的徑向平面運動軌跡同樣是以半徑為0.6 mm的穩定圓周運動，此時徑向力大小和方向對保持架中心的徑向平面的圓周運動的影響較小。

圖11　不同工況下保持架中心的徑向平面運動軌跡 Fig.11 The radial trajectory of cage under different conditions

圖12　工況條件對保持架中心的運動軌跡的影響 Fig.12 The rule of radial trajectory of inner under different conditions

圖13　不同工況下保持架中心的三維空間運動軌跡 Fig.13 The rule of three-dimensional space trajectory of cage under different conditions

圖14　工況條件對保持架相軌跡的影響 Fig.14 The rule of the space trajectory of cage under different conditions

圖15　工況條件對圓柱滾子的傾斜扭轉振動的影響 Fig.15 The tilt and torsional vibration of roller

圖13為不同工況條件對保持架中心的空間三維運動軌跡。受固定徑向力時，保持架中心的空間三維運動軌跡為近似圓周形態，軸向竄動較小，保持架的運動較為穩定。受旋轉徑向力時，保持架中心的空間三維運動軌跡為近似圓柱形態，軸向竄動較大，說明存在頻繁的滾子和保持架，滾子和外圈擋邊的接觸沖擊，保持架的運動穩定相對較差。圖14為不同工況條件對保持架相軌跡的影響。初始時低速或低徑向力時，保持架的運動為不穩定的混沌響應，相軌跡較為混亂。當轉速或徑向力增加并穩定在一定的數值下，保持架的運動為單周期的圓周形或橢圓形的相軌跡。圖15為不同工況條件對圓柱滾子的傾斜扭轉振動的影響。初始時低速或低徑向力時，圓柱滾子的傾斜和扭轉振動相對較大，容易引起滾子和保持架側梁，滾子和外圈擋邊的接觸沖擊，從而影響軸承的動態性能和保持架的穩定性。當轉速或徑向力增加，軸承處于穩定運動狀態，圓柱滾子的傾斜和扭轉振動很小。受固定徑向力時比受旋轉徑向力時的滾子傾斜和扭轉振動要小，且更加穩定。

4結論

考慮保持架全自由度和動態接觸關系的圓柱滾子軸承三維全動力學模型更為真實地計算軸承的動態特性。為進一步參數化研究結構參數和工況條件等因素對保持架穩定性的影響奠定了理論基礎。

(1)內圈中心的圓周運動軌跡和動態接觸力出現較為真實的沖擊波動特性。圓柱滾子自轉角速度是周期變化的，存在明顯的打滑現象。滾子和保持架側梁、外圈擋邊之間存在接觸沖擊作用。

(2)徑向力的大小和方向直接影響內圈的運動軌跡。受固定徑向力時，轉速或徑向力增加到一定程度后，變轉速或變固定徑向力對內圈中心的振動位移幅值的影響相對較小。受旋轉徑向力時，變旋轉徑向力對內圈中心的運動軌跡的影響較大。

(3)低速或較小徑向力下，滾子和保持架兜孔的拖動力相對較小且不穩定，保持架中心的徑向平面運動軌跡形成不穩定的近似圓周運動，圓柱滾子的傾斜和扭轉振動相對較大，保持架的運動為不穩定的混沌響應，相軌跡較為混亂。保持架穩定運動后，其中心徑向平面運動為圓周運動和單周期的圓周形或橢圓形的相軌跡，此時徑向力大小和方向對保持架中心的徑向平面的圓周運動的影響很小。

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