薄壁圓柱殼構件受迫振動的響應特征研究

第一作者王宇男，博士生，1979年生

通信作者羅忠男，副教授，1978年生

薄壁圓柱殼構件受迫振動的響應特征研究

王宇1, 2， 羅忠1

(1.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819； 2.遼寧科技大學機械工程學院，遼寧鞍山114051)

摘要：針對固支-自由約束條件下受徑向諧波激勵或徑向沖擊激勵的薄壁圓柱殼構件，開展其受迫振動下的響應特征分析。首先基于Love殼體理論建立了薄壁圓柱殼構件的動力學模型，然后，根據固支-自由約束條件特點，采用軸向梁函數和周向三角函數組合的振型函數以及振型疊加法，獲得了考慮粘性阻尼的薄壁圓柱殼模態坐標振動方程，進而求解受徑向諧波激勵或沖擊激勵的振動響應。通過一個具體算例，進行了不同位置上的響應幅度與相位的變化分析，并對比了模態阻尼比和激勵力幅值對響應幅值的影響。

關鍵詞：薄壁圓柱殼；響應特征；諧波激勵；沖擊激勵

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51105064)；教育部基本科研業務費專項資金資助項目(N130503001)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-05-20

中圖分類號:O241.82；O327

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.017

Abstract:The forced vibration response characteristics of a clamp-free cylindrical shell under radial harmonic excitation force or radial impact excitation force were analysed. A dynamic model of thin cylindrical shell was constructed according to Love’s shell theory. Taking damping into account, the dynamic equations were solved based on the modal superposition method and the vibration equations in modal coordinates were acquired, so as to get the vibration response results when the cylindrical shell was subjected to radial harmonic excitation force or radial impact excitation force. Through a specific example, the variation of response amplitudes and phases at different locations of the cylindrical shell was analysed and the influences of different modal damping ratio and different excitation force on the responses were discussed.

Forced vibration response characteristics of thin cylindrical shell

WANGYu1, 2,LUOZhong1(1.School of Mechanical Engineering and Automation, Northeast University, Shenyang 110819, China;2.School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051, China)

Key words:thin cylindrical shell; response characteristics; harmonic excitation; impact excitation

薄壁短圓柱殼通常是指軸向半波數等于1，且壁厚與其他最小特征尺寸(直徑、長度)之比在1/80和1/5之間的圓柱筒體[1]。該類結構廣泛應用于航空、宇航、造船和化工機械等諸多領域，是旋轉機械中起到連接軸段、傳遞扭矩的重要組件，常常由于處于復雜的工作環境中而容易產生共振和失穩等。對于固支-自由邊界約束條件的薄壁圓柱殼構件，當受到單點徑向諧波激勵或沖擊激勵作用時，其受迫振動響應的振幅與激振力和結構阻尼等因素有關。

薄壁圓柱殼的固有特性研究已經非常充分，針對薄壁圓柱殼的振動響應特征，也已經做了大量的工作。如Huang等[2]研究了兩端簡支旋轉有限長圓柱殼的自由振動和諧波激勵響應。Christoforou等[3]利用解析法分析了兩端簡支圓柱殼在徑向沖擊載荷的振動響應問題。Li等[4]給出了基于Kirchhoff-Love假設的有限長兩端簡支圓柱殼體受橫向沖擊瞬態響應的一個封閉解析解。Lee等[5]利用振型疊加法分析了兩端簡支層合圓柱殼在脈沖激勵下的動力學響應。黃承義等[6]分析了兩端簡支圓柱殼在徑向脈沖激勵下的動力學響應。李學斌等[7-8]使用Flügge殼體理論和振型疊加法，分析了兩端簡支圓柱殼在軸向壓力下的穩定性和徑向沖擊載荷時的瞬態動力響應問題。姚熊亮等[9]以Donnell殼體理論為基礎，利用微分求積單元法，研究了圓柱殼穩態諧響應問題。紀沖等[10]基于有限元法及隨動塑性模型，對兩端固支薄壁圓柱殼經受側向沖擊的動力響應問題進行數值模擬，獲得了變形及破壞模態?，F有的研究大部分是針對兩端簡支的圓柱殼的振動分析結果，對于固支-自由約束條件下的薄壁圓柱殼的振動響應規律認識不清楚。事實上，由于約束條件的不同，薄壁圓柱殼表現出的振動響應特征具有很大的差異。

本文針對固支-自由約束條件下的薄壁圓柱殼，基于Love殼體理論建立動力學方程，利用振型疊加法進行求解，分析受到徑向諧波激勵或沖擊激勵下薄壁圓柱殼在不同位置上的振動響應規律，對比分析模態阻尼比和激勵幅值對振動響應幅值的影響。

1薄壁圓柱殼的振動響應求解方法

1.1力學模型

如圖1所示的固支-自由約束條件下在Q(x*,θ*,z*)點受到徑向激勵作用的薄壁圓柱殼結構模型圖，建立柱坐標系Oxθz，其中，坐標原點O為薄壁短圓柱殼固支端面上的圓心；x軸與圓柱殼軸線重合且正方向豎直向上；z軸在圓柱殼固支端面上，且正方向水平向右；θ為圓柱殼端面上偏離z軸初始位置的偏轉角。u(x,θ,t)，v(x,θ,t)和w(x,θ,t)分別表示薄壁圓柱殼的中面上的任意一點在軸向x、切向θ和徑向z三個方向上的位移。L，H和R分別為圓柱殼的長度、壁厚和中面半徑。

圖1　受徑向激勵的固支-自由 約束條件下的薄壁圓柱殼 Fig.1 A cylindrical shell under clamp-free boundary condition subjected to a radial excitation force

基于Love殼體理論，考慮結構阻尼的影響，薄壁圓柱殼的振動微分方程為[11]

(1)

式中，‘·’表示位移對時間的求導，c為等效粘性阻尼系數，ρ為材料密度，P為外部激振力。L算子的表達式為

(2)

式中，激勵力項P的元素為px,pθ,pz,Lij微分算子的表達式見附錄Ⅰ。

1.2固有特性

對固支-自由約束條件下的薄壁圓柱殼，為求解無阻尼固有頻率，不考慮結構阻尼的影響，采用軸向梁函數和周向三角函數組合的振型函數。對于式(1)所表示的薄壁圓柱殼動力學方程，其位移解為[12]

(3a)

(3b)

(3c)

(4)

式中，ωmn為固有頻率。

(5)

式中，λ1、σ1和ai(i=1,2,3,4)的值由邊界條件確定，對于固支-自由邊界條件，λ1=3.926 6，σ1=0.734 1，a1=a3=1，a2=a4=-1。

求解固有頻率時，把式(3)代入式(1)，進行Galerkin離散，得

(6a)

(6b)

(6c)

對式(6)進行積分運算，得到薄壁圓柱殼的固有頻率特征方程為

(7)

式中，cij(i,j=1,2,3)的具體表達式見附錄Ⅱ。

由式(7)的非平凡解條件可以得到固有頻率的求解公式為

(8)

式中，

β0=c11c23c32+c12c21c33+c13c22c31-

c12c23c31-c13c21c31-c11c22c33

β1=c11c22+c11c33+c22c33-c12c21-c13c31-c23c32

β2=-c11+c22+c33

(9a)

(9b)

1.3徑向諧波激勵時的振動響應分析方法

當薄壁圓柱殼在Q點受徑向諧波激勵時，激勵力的表達式為

px(x,θ,t)=0

(10a)

pθ(x,θ,t)=0

(10b)

pz(x,θ,t)=f0sin(ωt)δ(θ-θ*)δ(x-x*)

(10c)

將式(3)代入式(1)可得

根據空間與時間變量分離法，并且振型Umn，Vmn，Wmn滿足振型方程組，可得關于某一主共振模態下的模態坐標Tmn(t)的二階常微分方程為

(12)

Fmnsin(ωt)

(13)

根據式(12)和式(13)，對于零初始條件，可得在徑向諧波激勵作用下薄壁圓柱殼的穩態振動響應解為

Tmn(t)=Acos(ωt-α)

(14)

將式(14)代入式(3)中，再根據式(8)和式(9)求得的固有頻率和振型比，可得到徑向位移。

1.4徑向沖擊激勵時的振動響應分析方法

對于受徑向沖擊激勵作用時的薄壁圓柱殼，設其沖擊激勵函數為

pz(x,θ,t)=-f(t)δ(θ-θ*)δ(x-x*)

(15)

此時，模態坐標下的外激勵力Gmn(t)為

Gmn(t)=

(16)

在零初始條件下，根據Duhamel積分，由式(12)可以求得徑向沖擊激勵作用下薄壁圓柱殼的振動響應為

(17)

式(17)的計算可以采用Simpson數值積分法。再將式(17)代入式(3)中，可求得徑向位移。

2徑向諧波激勵的振動響應

如圖1所示的薄壁圓柱殼構件，設其材料參數和尺寸參數如表1所示。

表1　薄壁圓柱殼的材料參數和尺寸參數

先進行薄壁圓柱殼的模態分析，得到了軸向半波數等于1和周向波數小于10的八階固有頻率，從小到大排列依次為(1,6)、(1,7)、(1,5)、(1,8)、(1,4)、(1,9)、(1,10)和(1,3)對應的模態。

取前八階模態進行構造振型函數求解薄壁圓柱殼的振動響應，激勵頻率取(1,6)階固有頻率1 668 Hz，模態阻尼比取為0.3%[12]。

2.1不同點的共振響應

設徑向諧波激勵作用在薄壁圓柱殼的自由端相位為θ=0°的點(L,0°,R)處，激勵幅值為2N，以激勵點所處相位為基準，取不同相位差分別為θ=0°、15°、30°、45°、60°、90°、120°的拾振位置，穩態時域響應曲線如圖2所示，相位為θ=0°時，穩態響應是一條正弦曲線，在非激勵點處響應曲線均呈現穩態正弦變化。當θ=0°、60°和120°時，響應曲線接近重疊，相位基本一致；當θ=0°、30°和90°時，響應曲線正好和激勵點的相反，相位差為90°；當θ=0°、15°和45°時，響應曲線的相位及位移幅值和激勵點的相位及位移幅值不同，相位差為90°。

圖2　不同位置的穩態時域響應 Fig.2 Steady time response in different positions

2.2不同激勵位置相同拾振點的響應對比

當薄壁圓柱殼的激勵力在不同位置時，在同一個拾振點進行拾振，激勵幅值為2 N，計算得到薄壁圓柱殼自由端的36個點的共振響應，響應幅值分布如圖3所示，可以看出為周向波數為6的共振情況，激勵點在θ=0°、15°、30°和45°時，都為激起共振點位置，各點的相位和幅值呈周期性變化。例如當激勵位置在0°時，最大幅值和相位相同的位置共有6個，相鄰兩點沿圓周方向分布的角度相差60°。

2.3模態阻尼比的影響

當薄壁圓柱殼的模態阻尼比ξ分別為0.003、0.006和0.009時，激勵點相位為θ=0°，拾振點相位分別選擇在θ=0°、30°、60°和90°時，第(1,6)階的穩態共振響應曲線如圖4所示，可看出，不同模態阻尼比引起的振動響應值變化不同，阻尼值越小時響應振幅越大，反之亦然，但響應幅值和模態阻尼比的變化比例并不相同。

圖3　不同激勵點的共振響應幅值分布圖 Fig.3 Resonance response amplitude in different excitation positions

2.4激勵幅值的影響

在激勵幅值分別為1 N、2 N和3 N，激勵點相位為θ=0°，拾振點相位分別為θ=0°、30°、60°和90°時，第(1,6)階的穩態共振響應曲線如圖4所示，薄壁圓柱殼的穩態響應如圖5所示，由圖4和圖5可看出，隨著激勵幅值的變大，其對應響應峰值也變大，且響應幅值和激勵幅值的變化的比例基本相同。

圖5　激振幅值對振動響應的影響 Fig.5 The influences of excitation amplitudes on vibration response

3徑向沖擊載荷的振動響應

薄壁圓柱殼構件的性能參數如表1所示，采用式(15)形式的徑向沖擊載荷，激勵幅值為2 N，模態阻尼比為0.3%，激勵頻率為(1,6)階固有頻率1 668 Hz，取前八階模態振型進行疊加，激勵和拾振位置選在自由端(L,0°,R)，當載荷持續時間t≤0.05 s時，分析其受迫響應。

薄壁圓柱殼的瞬態時域響應曲線如圖6所示，在起始階段的振動響應值變化很小，由于結構阻尼的作用，徑向振動響應值隨著阻尼逐漸衰減。不同拾振點的響應曲線如圖7所示為θ=0°、30°、60°處的時域響應曲線，由圖可知，在非激勵位置θ=30°和60°處響應的相位與激勵位置θ=0°處響應的相位不同，激勵位置θ=0°時的位移響應峰值最大，在離激勵點遠處的響應出現延遲現象，振動能量也會減小。

當不同模態阻尼比時，瞬態振動響應曲線如圖8所示，模態阻尼比分別為0.003、0.006和0.009，可以看出，振動響應幅值變化很小，曲線基本重合。當激勵幅值分別為1 N、2 N和3 N時，薄壁圓柱殼的瞬態響應曲線如圖9所示，隨著激勵幅值的增加，響應峰值增大比較明顯。

圖6 徑向沖擊激勵下的瞬態響應Fig.6Transientresponseunderradicalimpactexcitation圖7 不同拾振點的瞬態響應Fig.7Transientresponseindifferentpositions圖8 模態阻尼比對瞬態響應的影響Fig.8Transientresponsewithdifferentdampingratios圖9 激振幅值對振動響應的影響Fig.9Transientresponsewithdifferentexcitationamplitudes

4結論

針對固支-自由約束條件的薄壁圓柱殼，基于Love殼體理論，利用振型疊加法，討論了受徑向諧波激勵和沖擊載荷激勵時的振動響應特性，得到如下結論：

(1)當圓柱殼受諧波激勵時，在激勵點和非激勵點處穩態響應曲線均呈現正弦變化。當相位θ為0°、60°和120°時，響應曲線接近重疊，相位基本一致；當相位θ為0°、30°和90°時，響應曲線正好和激勵點的相反，相位差為90°；當相位θ為0°、15°和45°時，響應曲線的相位及位移幅值和激勵點的相位及位移幅值不同，相位差為90°。

(2)當圓柱殼受到諧波激勵時，激勵位置在相位θ為0°、15°、30°和45°時，都為激起共振點位置，各點的相位和幅值呈周期性變化；當激勵位置相同時，最大正向(或負向)幅值和相位相同的位置共有6個，其中相鄰兩點沿圓周方向分布的角度相差60°。當模態阻尼比越小時響應振幅越大，激勵幅值增加時響應峰值變大，但阻尼和激勵幅值對響應幅值的影響程度不同。

(3)當圓柱殼受到徑向沖擊載荷時，時域響應曲線在起始階段的振動響應值變化很小，由于阻尼的作用，響應幅值逐漸衰減。在非激勵位置處響應相位與激勵位置處響應相位不同，在激勵位置處的響應幅值峰值最大，隨著離激勵點越遠處，其響應幅值的峰值就越來越小。當模態阻尼比不同時，振動響應幅值變化很小，但響應幅值峰值隨著激勵幅值的增加而增大比較明顯。

參考文獻

[1]吳家龍. 彈性力學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[2] Huang S C, Soedel W. On the forced vibration of simply supported rotating cylindrical shells[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1988, 84(1): 275-285.

[3]Christoforou A P, Swanson S R. Analysis of simply-supported orthotropic cylindrical shells subject to lateral impact loads[J]. Journal of Applied Mechanics, 1990, 57(2): 376-382.

[4]Li S M, Zhong H Z, Ruiz C. Transient response of a cylindrical shell of finite length to transverse impact[J]. International journal of solids and structures, 1991, 27(4): 485-503.

[5]Lee Y S, Lee L D. On the dynamic response of laminated circular cylindrical shells under impulse loads[J]. Computers and Structures, 1997, 63(1): 149-157.

[6]黃承義, 鄭際嘉, 劉土光. 兩端簡支圓柱殼在徑向沖擊下的動力響應分析[J]. 華中理工大學學報, 1997, 25(A01): 51-54.

HUANG Cheng-yi, ZHENG Ji-jia, LIU Tu-guang. The dynamic response of a simply supported short cylindrical shells under lateral impulsive loading [J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology, 1997, 25: 51-54.

[7]李學斌. 圓柱殼穩態動力響應分析[J]. 艦船科學技術,2000,6:1-5.

LI Xue-bin. Steady-state dynamic response analysis of a cylindrical shell [J]. Ship Science and Technology, 2000, 6:1-5.

[8]李學斌. 受徑向沖擊載荷圓柱殼瞬態響應的收斂性分析和比較研究[J]. 艦船科學技術, 2006, 28(6): 42-47.

LI Xue-bi. Analysis and comparative study of circular cylindrical shell subjected to radial impact[J]. Ship Science and Technology, 2006, 28(6): 42-47.

[9]姚熊亮，葉曦.求解圓柱殼穩態諧響應的微分求積單元法[J].振動與沖擊,2013, 32(16):158-163.

YAO Xiong-liang, YE Xi. DQEM for solving steady-state harmonic response of a cylindrical shell [J]. Journal of Vibration and Shock, 2013,32(16):158-163.

[10]紀沖,龍源,方向,等.鋼質圓柱殼在側向局部沖擊荷載下的變形及失效破壞[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(15):121-155.

JI Chong，LONG Yuan，FANG Xiang, et al. Dynamic response and perforation failure of cylindrical shell subjected to lateral local impulsive loading [J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(15):121-155.

[11]Hua Li, Lam K Y, Ng T Y. Rotating shell dynamics[M]. Elsevier, 2005.

[12]Soedel W. Vibrations of shells and plates [M].New York: Marcel Dekker Inc, 2004.

附錄

附錄Ⅰ：

附錄Ⅱ：

T1=21.053,T2=95.096,T3=1.5e5