黏彈性地基中基于虛土樁模型的樁頂縱向振動(dòng)阻抗研究

第一作者吳文兵男，博士，副教授，1988年生

黏彈性地基中基于虛土樁模型的樁頂縱向振動(dòng)阻抗研究

吳文兵1，蔣國(guó)盛1，鄧國(guó)棟2，謝邦華1

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院，武漢430074；2.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410075)

摘要：基于虛土樁模型，對(duì)均質(zhì)黏彈性地基中樁土縱向耦合振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。首先，假定樁側(cè)土為各向同性的線(xiàn)性黏彈性材料，并考慮土體的豎向波動(dòng)效應(yīng)，結(jié)合Euler-Bernoulli桿件理論，建立了樁土縱向耦合振動(dòng)的定解問(wèn)題；其次，采用分離變量法求解樁側(cè)土縱向振動(dòng)的控制方程，得到了樁側(cè)土與樁身接觸面上的剪切動(dòng)剛度，將所得的剪切動(dòng)剛度代入到樁身振動(dòng)控制方程，采用Laplace變換技術(shù)，進(jìn)一步求得了任意荷載作用下樁頂縱向振動(dòng)阻抗的解析解。基于所得解，詳細(xì)討論了不同樁身設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂縱向振動(dòng)阻抗的影響。最后，將虛土樁模型與其他樁端土支承模型進(jìn)行了對(duì)比研究，結(jié)果表明，對(duì)虛土樁模型選用合適的材料參數(shù)和樁端土厚度，其得到的樁端支承復(fù)剛度值介于現(xiàn)有多種模型的計(jì)算值之間。

關(guān)鍵詞：虛土樁模型；縱向振動(dòng)阻抗；黏彈性地基；豎向波動(dòng)效應(yīng)；Laplace變換；解析解

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(51309207)；中國(guó)博士后科學(xué)基金特別資助項(xiàng)目(2013T60759)；中國(guó)博士后科學(xué)基金面上項(xiàng)目(2012M521495);中央高校基本科研業(yè)務(wù)貴專(zhuān)項(xiàng)資金-搖籃計(jì)劃(CUGL150411)

收稿日期：2013-10-21修改稿收到日期：2014-04-16

中圖分類(lèi)號(hào):TU435

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.030

Abstract:Based on fictitious soil pile model, the vertical dynamic response of pile embedded in homogeneous viscoelastic soil was investigated. Assuming the surrounding soil of pile to be isotropic viscoelastic material and considering its vertical wave effect, the definite problem of soil-pile system subjected to arbitrary dynamic force was established based on the Euler-Bernoulli rod theory. The shear dynamic stiffness at the interface of soil and pile was derived by means of separation of variables to solve the governing equation of surrounding soil. Substituting the shear dynamic stiffness acquired into the governing equation of pile, the analytical solution of vertical dynamic impedance was deduced by virtue of Laplace transform technique. Based on the obtained solution, the influence of depth of pile end soil on the vertical dynamic impedance was studied in detail with different design parameters of pile. Constrast analysis was made between the fictitious soil pile model and other pile end soil supporting models. It is shown that the complex supporting stiffness calculated by fictitious soil pile model is in the middle of the supporting stiffnesses calculated by other existing models if adopting appropriate material parameters and proper depth of pile end soil in the fictitious soil pile model.

Vertical dynamic impedance of pile embedded in viscoelastic soil based on fictitious soil pile model

WUWen-bing1,JIANGGuo-sheng1,DENGGuo-dong2,XIEBang-hua1(1. Engineering Faculty, China University of Geosciences, Wuhan, Hubei 430074, China; 2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha, Hunan 410075, China)

Key words:fictitious soil pile model；vertical dynamic impedance；viscoelastic soil；vertical wave effect；Laplace transform；analytical solution

樁與土體的動(dòng)力相互作用問(wèn)題包括兩個(gè)方面，一是樁與樁側(cè)土的動(dòng)力相互作用，二是樁與樁端土的動(dòng)力相互作用。現(xiàn)有成果關(guān)于樁與樁側(cè)土動(dòng)力相互作用模型的研究已經(jīng)比較豐富，如動(dòng)態(tài)Winkler模型[1-6]、平面應(yīng)變模型[7-12]、三維連續(xù)介質(zhì)模型[13-17]。相比之下，由于對(duì)樁與樁端土動(dòng)力相互作用建立嚴(yán)格耦合模型的難度較大，現(xiàn)有成果關(guān)于該課題的研究顯得比較薄弱。現(xiàn)有樁與樁端土的動(dòng)力相互作用模型歸納起來(lái)有剛性支承模型[3,10,17]和黏彈性支承模型[4-6, 11, 16, 18-21]兩大類(lèi)。剛性支承模型人為的將樁端土當(dāng)作剛性邊界，這對(duì)端承樁具有足夠的精度，但對(duì)摩擦樁卻存在明顯的不足。對(duì)于摩擦型樁只能采用黏彈性支承模型，然而大部分的黏彈性性支承模型都將土體假設(shè)為半無(wú)限空間體，如模擬公式法[18]、常數(shù)取值法[19]、Q-z曲線(xiàn)方程式法[20]及極限承載力理論法[21]等，與土體的實(shí)際情況存在差異，而且支承參數(shù)大多根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取得，嚴(yán)格耦合的情況較少。因此，為了更加合理地模擬樁與樁端土的動(dòng)力相互作用，筆者及合作者們提出了虛土樁模型[22-23]。虛土樁模型的主要思想是把樁端正下方至基巖之間的圓柱形土體看成“土樁”，將樁端土對(duì)樁的支承作用轉(zhuǎn)化為“土樁”與樁之間的相互作用問(wèn)題。吳文兵等[24]利用虛土樁模型求解了半空間地基上剛性圓板的垂直振動(dòng)問(wèn)題，并將虛土樁模型解與現(xiàn)有精確解得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了虛土樁模型具有比較高的精度。虛土樁模型能夠充分考慮樁端以下土體的成層性及材料性質(zhì)等因素，可以避免假設(shè)樁端支承，對(duì)于摩擦型樁的研究不再限制于半無(wú)限空間的假定，又可退化為樁底端承的狀態(tài)，因此該模型具有減少假設(shè)條件，與實(shí)際場(chǎng)地相吻合的先進(jìn)性，是一個(gè)較為嚴(yán)格的理論模型。

基于虛土樁模型，本文在考慮土體豎向波動(dòng)效應(yīng)的條件下，結(jié)合Laplace變換技術(shù)，推導(dǎo)得到了任意荷載作用下均質(zhì)黏彈性地基中樁頂縱向振動(dòng)阻抗的解析解，并詳細(xì)討論了樁端土參數(shù)對(duì)樁頂縱向振動(dòng)阻抗的影響。在本文工作的基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步研究復(fù)雜工況下樁基的縱向振動(dòng)問(wèn)題，這對(duì)樁基振動(dòng)理論應(yīng)用于樁基動(dòng)力設(shè)計(jì)有著重要的理論意義。

1數(shù)學(xué)模型

1.1計(jì)算模型

圖1　計(jì)算模型 Fig.1 Calculating model

樁土系統(tǒng)動(dòng)力相互作用的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示，樁長(zhǎng)為Hp，樁身截面半徑為r0，樁頂作用有任意激振力q(t)，樁側(cè)土層厚度為H，其中樁端土厚度(虛土樁長(zhǎng)度)為Hs。根據(jù)樁、虛土樁樁身材料性質(zhì)的差異，以樁端為界將虛土樁與樁分別編號(hào)為1、2。

1.2假設(shè)條件

假設(shè)下列條件成立：

(1)樁側(cè)土為均質(zhì)、各向同性的線(xiàn)性黏彈性材料，土體材料阻尼為粘性阻尼，阻尼力與應(yīng)變率成正比，比例系數(shù)為ηs；

(2)土層上表面為自由邊界，無(wú)正應(yīng)力、剪應(yīng)力，土層底部為剛性支承邊界；

(3)樁土系統(tǒng)縱向振動(dòng)時(shí)，考慮樁側(cè)土豎向波動(dòng)效應(yīng)，樁側(cè)土徑向位移可忽略；

(4)樁及虛土樁均為完全彈性、豎直、圓形均勻截面樁，樁與虛土樁交界面處應(yīng)力應(yīng)變連續(xù)；

(5)樁土系統(tǒng)振動(dòng)為小變形振動(dòng)，樁(虛土樁)與樁側(cè)土完全連續(xù)接觸。

2定解問(wèn)題的建立

取土體中任意一點(diǎn)的縱向振動(dòng)位移為w=w(r,z,t)，根據(jù)黏彈性動(dòng)力學(xué)理論，考慮土體縱向位移，建立軸對(duì)稱(chēng)黏彈性土體動(dòng)力平衡方程如下：

(1)

式中，λs、Gs為土體Lame常數(shù)，且有λs=Esμs/[(1+μs)(1-2μs)]，Gs=ρs(Vs)2，Es為土體的彈性模量，μs為土體的泊松比，Vs為土體的剪切波速，ηs為土體的粘性阻尼系數(shù)，ρs為土體的密度。

(2)

令uj=uj(z,t)為樁(虛土樁)身質(zhì)點(diǎn)縱向振動(dòng)位移，根據(jù)Euler-Bernoulli桿件理論，可得樁(虛土樁)作縱向振動(dòng)的控制方程如下：

(j=1,2)

(3)

結(jié)合假設(shè)條件，建立樁土系統(tǒng)邊界條件和初始條件如下：

(1)土層的邊界條件

土層頂面：

(4a)

土層底面：

(4b)

水平無(wú)窮遠(yuǎn)處：

σ(∞,z)=0、w(∞,z)=0

(4c)

(2)樁頂、虛土樁底及樁與虛土樁分界處的邊界條件

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

(3)樁土接觸面上的邊界條件

w(r0,z,t)=uj(z,t)(j=1,2)

(6)

(4)樁土系統(tǒng)的初始條件

土層部分：

(7a)

樁(虛土樁)身部分：

(7b)

3定解問(wèn)題的求解

3.1土層振動(dòng)問(wèn)題求解

令W(r,z,s)為w(r,z,t)的Laplace變換形式，結(jié)合初始條件(7a)，對(duì)土層動(dòng)力平衡方程(1)進(jìn)行Laplace變換并化簡(jiǎn)可得：

(8)

由于式(8)左邊的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別為關(guān)于縱向和徑向的微分式，因此可將其分離為兩個(gè)常微分方程：

(9)

(10)

式中，β和ξ為常數(shù)，且滿(mǎn)足如下關(guān)系式：

(11)

方程(9)、(10)分別為一個(gè)Bessel方程和二階常微分方程，可分別得到相應(yīng)通解，然后利用分離變量法性質(zhì)可進(jìn)一步得到土體位移W(r,z,s)的表達(dá)式如下：

W(r,z,s)=[AK0(ξr)+BI0(ξr)]·

[Csin(βz)+Dcos(βz)]

(12)

式中，I0(·)、K0(·)分別為零階第一類(lèi)、第二類(lèi)虛宗量Bessel函數(shù)，A、B、C和D是由邊界條件確定的待定系數(shù)。

由虛宗量Bessel函數(shù)的性質(zhì)可知：r→∞時(shí)，In(·)→∞，Kn(·)→0，結(jié)合邊界條件(4c)可以得到：B=0。由邊界條件(4a)可以得到：C=0。對(duì)邊界條件(4b)進(jìn)行Laplace變換，并將式(12)代入可得：

cos(βH)=0

(13)

(14)

式中，An為一系列由邊界條件決定的待定系數(shù)，反映樁土振動(dòng)各模態(tài)的振動(dòng)耦合作用。ξn是當(dāng)β=βn時(shí)可由式(11)確定的一系列參數(shù)。

3.2樁振動(dòng)問(wèn)題求解

令U(z,s)為u(z,t)的Laplace變換形式，對(duì)式(3)進(jìn)行Laplace變換，并結(jié)合式(2)和(14)，將式(3)化簡(jiǎn)可得：

(j=1,2)

(15)

(16)

根據(jù)虛土樁法的基本思想，先求得虛土樁頂?shù)淖杩购瘮?shù)，然后將其作為樁的樁端支承剛度代入到樁中進(jìn)行分析，因此，接下來(lái)分為兩步求解：

第一步：求解虛土樁樁頂位移阻抗函數(shù)

對(duì)邊界條件(6)進(jìn)行Laplace變換，并將式(14)和式(16)代入，同時(shí)，根據(jù)固有函數(shù)系cos(βnz)在[0,Hs]上的正交性，在變形后的邊界條件(6)兩邊乘以cos(βkz)并在樁端土厚度范圍[0,Hs]內(nèi)積分可得：

(17)

將式(17)代入式(16)可得虛土樁的位移幅值表達(dá)式如下：

(18)

式中，

χ″1n=

(20)

(21)

(22)

(23)

對(duì)邊界條件(5b)進(jìn)行Laplace變換，并將式(18)代入Laplace變換后的邊界條件可得：

(24)

由位移阻抗函數(shù)的定義可得虛土樁樁頂?shù)膹?fù)阻抗函數(shù)為：

(25)

第二步：求解樁頂位移阻抗函數(shù)值。

類(lèi)似第一步的求解方法，可得下式：

(26)

將式(26)代入式(16)可得樁頂?shù)奈灰品当磉_(dá)式如下：

(27)

式中，

χ″2n=

(29)

(30)

φ2n=K0(ξnr0)+

(31)

(32)

將虛土樁樁頂阻抗函數(shù)(25)作為樁端的支承剛度代入到樁的方程，由邊界條件(5c)、(5d)可得：

(33)

由位移阻抗函數(shù)的定義可得樁頂?shù)膹?fù)阻抗函數(shù)為：

(34)

Z2(s)=K+iC

(35)

4分析計(jì)算與討論

基于樁頂復(fù)阻抗的解析解，本節(jié)將詳細(xì)討論不同樁身設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂縱向振動(dòng)阻抗的影響，其中均質(zhì)地基土的計(jì)算參數(shù)如無(wú)特別說(shuō)明，均取為：密度為1 800 kg/m3，剪切波速為180 m/s，泊松比為0.4，粘性阻尼系數(shù)為1 000 N·m-3·s。

4.1不同樁長(zhǎng)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響

樁長(zhǎng)是影響樁基礎(chǔ)承載力的重要參數(shù)之一，且現(xiàn)有研究表明，樁長(zhǎng)也是影響樁土振動(dòng)特性的主要參數(shù)。因此，首先討論不同樁長(zhǎng)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響。用于計(jì)算的樁身參數(shù)為：樁長(zhǎng)分別為10 m和20 m，截面半徑為0.5 m，密度為2 500 kg/m3，彈性縱波波速為3 800 m/s。定義樁身截面直徑為d，樁端土厚度分別為：Hs=0.5d,1d,3d,5d。

圖2 不同樁長(zhǎng)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.2Influenceofdepthofpileendsoiloncompleximpedanceatpilehead圖3 不同樁徑時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.3Influenceofdepthofpileendsoiloncompleximpedanceatpilehead圖4 不同樁身混凝土等級(jí)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.4Influenceofdepthofpileendsoiloncompleximpedanceatpilehead

圖2反映了在樁基礎(chǔ)動(dòng)力設(shè)計(jì)關(guān)注的低頻范圍內(nèi)，不同樁長(zhǎng)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響。由圖2(a)可以看出，動(dòng)剛度隨著頻率的增大呈增大趨勢(shì)。在同一頻率處，動(dòng)剛度隨著樁端土厚度的增大而逐漸減小，但當(dāng)樁端土厚度大于一定值之后，動(dòng)剛度將不再受樁端土厚度增大的影響。由圖2(b)可以看出，當(dāng)頻率超過(guò)5Hz以后，動(dòng)阻尼隨著頻率的增大基本呈現(xiàn)線(xiàn)性增大的趨勢(shì)。隨著樁端土厚度的增大，同一頻率處的動(dòng)阻尼也逐漸增大，但當(dāng)樁端土厚度大于一定值之后，動(dòng)阻尼將不再受樁端土厚度增大的影響。由圖2還可以看出，當(dāng)樁越長(zhǎng)，動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼隨著樁端土厚度變化的幅度越小。

4.2不同樁徑時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響

討論不同樁徑時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響時(shí)，用于計(jì)算的樁身參數(shù)為：樁長(zhǎng)為15 m，截面半徑分別為0.3 m和0.5 m，密度為2 500 kg/m3，彈性縱波波速為3 800 m/s。樁端土厚度分別為：Hs=0.5d,1d,3d,5d。

圖3反映了在樁基礎(chǔ)動(dòng)力設(shè)計(jì)關(guān)注的低頻范圍內(nèi)，不同樁徑時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響。由圖可以看出，樁徑較小時(shí)，隨著樁端土厚度的增大，動(dòng)剛度逐漸減小，動(dòng)阻尼逐漸增大，但兩者的變化幅度均較小，且當(dāng)樁端土厚度增大到一定值之后，動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼將不再受到樁端土厚度繼續(xù)增大的影響。當(dāng)樁徑較大時(shí)，動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼隨著樁端土厚度增大的變化規(guī)律與樁徑較小時(shí)一致，但變化幅度要比樁徑較小時(shí)的變化幅度大。

4.3不同樁身混凝度等級(jí)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響

討論不同樁身混凝土等級(jí)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響時(shí)，根據(jù)單因素分析原則，可通過(guò)變化樁身混凝土縱波波速來(lái)反映其等級(jí)的變化。用于計(jì)算的樁身參數(shù)為：樁長(zhǎng)為15m，截面半徑為0.5 m，密度為2 500 kg/m3，彈性縱波波速分別為3 600 m/s和4 000 m/s。樁端土厚度分別為：Hs=0.5d,1d,3d,5d。

圖4反映了在樁基礎(chǔ)動(dòng)力設(shè)計(jì)關(guān)注的低頻范圍內(nèi)，不同樁身混凝土等級(jí)時(shí)樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響。由圖可以看出，隨著樁端土厚度的增大，動(dòng)剛度逐漸減小，動(dòng)阻尼逐漸增大，且當(dāng)樁端土厚度增大到一定值之后，動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼曲線(xiàn)將趨于一致。由圖還可以看出，樁身混凝土等級(jí)對(duì)動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼隨樁端土厚度的變化幅度基本沒(méi)有影響。

5不同樁端支承模型的對(duì)比研究

目前已有的樁基振動(dòng)理論研究中，不管是樁端剛性支承，還是樁端黏彈性支承，均可以用樁端土支承復(fù)剛度來(lái)表示，寫(xiě)成如下形式：

Zb=kb+ηb·iω

(36)

式中，kb為樁端支承剛度系數(shù)，ηb為樁端支承阻尼系數(shù)，可以通過(guò)調(diào)整kb和ηb來(lái)反映樁端土對(duì)樁的支承情況。接下來(lái)，將虛土樁模型與現(xiàn)有樁端支承模型進(jìn)行對(duì)比分析，計(jì)算參數(shù)為：樁長(zhǎng)為15 m，截面半徑為0.5 m，密度為2 500 kg/m3，彈性縱波波速為3 800 m/s，樁端土厚度分別為Hs=0.01d,0.1d,0.5d,2d。圖中kb、ηb值的大小表示了其他樁端土支承模型，kb=∞，ηb=∞時(shí)為固定支承，kb=0，ηb=0時(shí)為自由支承，kb=15，ηb=15時(shí)為黏彈性支承。

圖5　樁端土支承模型對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響 Fig.5 Influence of bearing stiffness on complex impedance at pile head

圖5反映了在樁基礎(chǔ)動(dòng)力設(shè)計(jì)關(guān)注的低頻范圍內(nèi)，樁端土支承模型對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響。由圖可以看出，由黏彈性樁端支承模型和虛土樁模型得到的動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼介于樁端自由和樁端固定支承模型所得值之間，且當(dāng)樁端土厚度從小到大逐漸變化時(shí)，所得到動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼逐漸從樁端固定支承狀態(tài)過(guò)渡到樁端自由支承狀態(tài)。因此，針對(duì)樁端土質(zhì)條件，對(duì)虛土樁模型選用合適的材料參數(shù)和樁端土厚度，其得到的樁端支承剛度值介于現(xiàn)有多種模型的計(jì)算值之間。但虛土樁模型能考慮樁端土的成層性及施工擾動(dòng)效應(yīng)，且虛土樁模型的參數(shù)直接可取樁端土的材料參數(shù)，而不必通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，能更加準(zhǔn)確的反映樁端土對(duì)樁的支承作用，因此理論上更加嚴(yán)密。

6結(jié)論

本文通過(guò)綜合分析樁端土厚度對(duì)樁頂復(fù)阻抗的影響，在樁基礎(chǔ)動(dòng)力設(shè)計(jì)關(guān)注的低頻范圍內(nèi)得到如下結(jié)論：

(1)隨著樁端土厚度的增大，同一頻率處的動(dòng)剛度逐漸減小，同一頻率處的動(dòng)阻尼則逐漸增大。但當(dāng)樁端土厚度增大到一定值之后，樁端土厚度的繼續(xù)增大將不會(huì)對(duì)動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼產(chǎn)生影響。這說(shuō)明，樁身動(dòng)力響應(yīng)只能影響到有限厚度的樁端土層，當(dāng)樁端土層厚度超過(guò)一定值之后將不再受到樁身動(dòng)力響應(yīng)的影響，即樁端土對(duì)樁身動(dòng)力響應(yīng)的影響存在一個(gè)臨界影響厚度，在臨界影響厚度范圍內(nèi)，樁端土厚度的變化將會(huì)對(duì)樁身動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生很大影響。

(2)當(dāng)樁越長(zhǎng)或樁徑越小時(shí)，動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼隨著樁端土厚度變化的幅度越小，反之則越大。樁身混凝土等級(jí)對(duì)動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼隨著樁端土厚度變化的幅度基本沒(méi)有影響。

(3)通過(guò)將虛土樁模型與現(xiàn)有其他理論模型對(duì)比發(fā)現(xiàn)，針對(duì)相應(yīng)樁端土質(zhì)條件，對(duì)虛土樁模型選用合適的材料參數(shù)，其得到的樁端支承剛度值介于現(xiàn)有多種模型的計(jì)算值之間。但虛土樁模型能考慮樁端土的成層性及施工擾動(dòng)效應(yīng)，且虛土樁模型的參數(shù)直接可取樁端土的材料參數(shù)，而不必通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，能更加準(zhǔn)確地反映樁端土對(duì)樁的支承作用，因此理論上更加嚴(yán)密。因此，虛土樁模型能夠較真實(shí)地反映樁與樁端土相互作用機(jī)理，是一個(gè)比較嚴(yán)格的理論分析模型。

參考文獻(xiàn)

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