具有初始幾何缺陷加勁板的動態屈曲

具有初始幾何缺陷加勁板的動態屈曲

馬牛靜1,王榮輝1,2，韓強1

(1華南理工大學土木與交通學院;2亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州510640)

摘要：針對工程中常用的加勁板，研究了動態屈曲的求解方法。將加勁板分為母板與加勁肋兩個部分考慮，其中母板按經典薄板理論計算，加勁肋視為Euler梁。假定加勁板的位移，利用Hamilton原理結合系統能量和振型疊加法建立了加勁板的動態屈曲特征方程。最后，選擇四邊簡支加勁板進行數值分析，分析中考慮初始幾何缺陷的影響，并討論了初始幾何缺陷、加勁肋的數量及其剛度的變化對動態屈曲臨界荷載的影響。結果表明：一階模態的初始幾何缺陷對加勁板的臨界荷載影響很大，而增加加勁肋的數量及其剛度可以提高加勁板的抗動態屈曲能力。研究結果也為加勁板的結構設計方法提供一定的參考。

關鍵詞：加勁板；初始幾何缺陷；動態屈曲；臨界荷載；Hamilton原理

中圖分類號:O322文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金(51277186)

收稿日期：2013-07-24修改稿收到日期：2013-12-04

Dynamicalbucklingofstiffenedplateswithinitialgeometricalimperfection

MA Niu-jing1,WANGRong-hui1,2, HAN Qiang1(1.SchoolofCivilEngineeringandTransportation,SouthChinaUniversityofTechnology; 2.StateKeyLaboratoryofSubtropicalBuildingScience,Guangzhou510640,China)

Abstract:An approach was presented to study the dynamical buckling of stiffened plates. The stiffened plate was divided into one plate and some stiffeners, with the plate analyzed based on the classical thin plate theory, and the stiffeners taken as Euler beams. Assuming the displacements of the stiffened plate, the Hamilton principle and modal superposition method were used to derive the eigenvalue equations of the stiffened plate according to the energy of the system. Numerical examples of simply supported stiffened plates were presented to study the critical loads with the initial geometrical imperfection considered. A detailed discussion on how the initial geometrical imperfection, the number and the flexural rigidity of stiffeners influence the critical load was carried out. The results show the initial geometrical imperfection in the 1st mode shape has a great effect on the critical load, and the increase of the number and the flexural rigidity of stiffeners can strengthen the dynamical buckling capacity. These conclusions can also provide references to the engineering design of stiffened plates.

Keywords:stiffenedplates;initialgeometricalimperfection;dynamicalbuckling;criticalloads;Hamiltonprinciple

加勁板在船舶、土木、機械和宇航工程上有著廣泛的應用，由于加勁板在許多情況下要承受動荷載，因此在加勁板設計中需要考慮一定的面內動荷載。在均布與非均布面內動荷載作用下，加勁板的動力行為對工程設計人員非常重要。加勁板在面內周期動荷載作用下可能發生參數共振，從而引起結構動力失穩破壞，動力失穩破壞荷載可能遠遠低于結構的靜力屈曲荷載。

國內外學者對于加勁板的研究主要集中在靜力屈曲問題上[1-4]，而對于加勁板在動荷載作用下屈曲問題的研究成果卻比較少。Leipholz[5]提出了廣義自共軛的概念，建立了廣義的Hamilton原理，用拓展的伽遼金法解出矩形板在隨從力作用下，不同邊界條件下的臨界力。Srivastava等[6]運用有限元法研究了加勁板在非均布面內諧波激勵下的加勁板的動力穩定。Patel等[7]運用有限元法研究了加勁殼的靜力與動力穩定。Srivastava等研究中均未考慮結構初始缺陷的影響，因此計算結果并不能準確地反映實際情況。張濤等[8]分析了流固沖擊下加筋板的非線性彈性動態屈曲，但并未得到加勁板的動態屈曲臨界荷載。此外：Huang等[9]研究了軸向時變荷載作用下功能梯度殼的非線性動力屈曲；Yang等[10]運用平均法研究了軸線加速運動Timoshenko梁的動力穩定性；Banichuk等[11]討論了軸向運動傳送帶的穩定性問題；Chen[12]研究了軸向周期荷載作用下扭轉Timoshenko梁的動力穩定性；程昌鈞等[13]求解出粘彈性環形板的臨界載荷并得出了動力穩定性的判據；莫宵依等[14]討論了矩形薄板在非保守力作用下的動力穩定性問題；周銀鋒等[15]研究了隨從力作用下粘彈性板的動力穩定性。韓大偉等[16]基于雙特征參數法和應力波理論，求解了三邊簡支一邊固支矩形薄板在面內軸向沖擊載荷作用下動力屈曲位移的解析解。鄧磊等[17]將臨界應力和屈曲慣性項指數參數作為雙特征參數求解，研究了面內階躍載荷作用下矩形薄板的塑性動力屈曲問題。以上學者對梁、板、殼的動力穩定問題作了大量的研究工作，但并未涉及加勁板動力穩定的研究。

鑒于目前加勁板動態屈曲的研究成果并不多見，且各種方法均存在一定的缺點，本文針對四邊簡支加勁板，提出了動態屈曲臨界荷載的求解方法，運用Hamilton原理建立加勁板動態屈曲特征方程。分析中考慮初始幾何缺陷的影響，并討論了初始幾何缺陷、加勁肋的數量及其剛度的變化對動態屈曲臨界荷載的影響。研究結果也為加勁板的結構設計方法提供一定的參考。

1參數說明與控制方程的建立

1.1參數說明

1.2加勁板的位移函數及初始幾何缺陷的考慮

考慮四邊簡支加勁板，則簡諧振動板的橫向位移函數可以表示為：

(1)

板件在加工及制作中，不可避免地存在誤差導致板件出現各種面外的變形，這些面外變形稱為初始幾何缺陷。初始幾何缺陷在加勁板的制作和安裝過程中是無法避免和估計其大小的，初始幾何缺陷的形狀通常可以根據板的屈曲模態確定[18]：

(2)

圖1　加勁板計算示意圖 Fig.1 Geometry of a stiffened plate

1.3控制方程的建立

分析中作以下兩點假設：第一，將加勁肋視為Euler梁，同時考慮扭轉效應；第二，母板按經典薄板理論計算。下面分別計算縱肋、橫肋及母板的動能與應變能，并運用Hamilton原理建立加勁板動態屈曲特征方程。加勁肋的應變能包括拉壓應變能、彎曲應變能與扭轉應變能，母板的應變能包括彎曲應變能與膜應變能。為了得到加勁肋應變能中的拉壓應變能以及母板應變能中的膜應變能，首先應確定縱肋、橫肋中性軸及母板中性面x與y方向的應變，根據圖1所示加勁板的幾何參數經過簡單的幾何運算可以得到縱肋、橫肋中性軸及母板中性面的應變分別為：

(3)

(4)

(5)

另外，母板中面應力與應變的關系為：

(6)

(7)

(8)

根據以上各式可以確定縱肋、橫肋及母板的動能與應變能。

工程中通常不考慮面內慣性效應[18]，因此加勁板動能的計算只考慮橫向運動的動能。第k條縱肋的動能與應變能分別為：

(9)

(10)

第k條橫肋的動能與應變能分別為：

(11)

(12)

母板的動能與應變能分別為：

(13)

(14)

根據式(9)~式(14)可以得到加勁板總的動能與應變能分別為：

T=Tsx+Tsy+Tp

(15)

V=Vsx+Vsy+Vp

(16)

考慮加勁板沿x與y方向分別作用有均勻面內隨從壓力px與py，并且令：

py=λpx=λp

(17)

式中：λ為一常數，表示py與px的比例關系。

外力所做的功為：

(18)

根據式(15)、(16)和(18)，并運用Hamilton原理可以得到關于加勁板動態屈曲的一組線性齊次方程組，用矩陣形式可表示為：

(19)

給定不同的p值，式(19)成為關于ω2的廣義特征值問題。隨著p增大，ω2可能出現兩種情況：其一是ω2由正變負，使ω2=0時的p值為發散失穩臨界荷載，簡稱發散荷載；其二為ω2由一對相鄰的值彼此接近到相等，然后成為一對共軛復數，使一對相鄰的ω2相等時的p值為顫振失穩臨界荷載，簡稱顫振荷載。運用MATLAB編制相應的計算程序可以方便地實現這一計算過程。

2算例分析

2.1加勁板參數

選擇如下參數對加勁板動態屈曲臨界荷載進行討論：ρ=7.85×103kg/m3、E=2.1×1011Pa、μ=0.3、G=8.1×1010Pa、a=1.5m、b=1.2m、hp=0.005m、hs1=hs2=0.09m、D=2.404×103N·m2/m、EAsx=EAsy=7.56×107N、λ=0.5。

2.2方法驗證

由表1可以看出，對于前兩種加勁板，當級數項數取到7×7時，發散荷載已經收斂；對于第三種加勁板，當級數項數取到8×8時，發散荷載收斂。這說明只需選取8×8項級數即可滿足計算要求。另外，文獻[7]的有限元方法的計算結果與本文方法的計算結果比較接近，但均偏高，一方面驗證了本文方法的正確性，另一方面是由于文獻[7]中的有限元方法計算中未考慮初始幾何缺陷的原因，而初始幾何缺陷的存在會使得加勁板的臨界荷載降低，因此本文的方法更具有實用性。

表1　四邊簡支加勁板的發散荷載(單位：kN/m)

2.3動態屈曲的影響因素分析

為了分析加勁板動態屈曲的影響因素，針對以下四種情況分別討論初始幾何缺陷、加勁肋的數量及其剛度的變化對動態屈曲臨界荷載的影響：

根據前面的分析結果，為了保證計算精度，以下計算中取M=N=8即可。根據以上三種情況計算得到的臨界荷載同樣是發散荷載，圖2~圖4分別是初始幾何缺陷、加勁肋的數量及其剛度的變化對荷載-頻率曲線的影響。

圖2　初始幾何缺陷的變化對荷載-頻率曲線的影響 Fig.2 The influence on load-frequency curves of the initial geometrical imperfections

圖3　加勁肋的數量的變化對荷載-頻率曲線的影響 Fig.3 The influence on load-frequency curves of the numbers of stiffeners

圖4　加勁肋的抗彎剛度的變化對荷載-頻率曲線的影響 Fig.4 The influence on load-frequency curves of the flexural rigidities of stiffeners

圖5　加勁肋的扭轉剛度的變化對荷載-頻率曲線的影響 Fig.5 The influence on load-frequency curves of the torsional rigidities of stiffeners

圖2給出了三種缺陷形式下，加勁板的荷載-頻率曲線。可以看出，當初始缺陷形式含有一階模態時，加勁板一階模態在動態屈曲模態中絕對占優，且使得屈曲易于發生，也就是說，不含一階模態的初始幾何缺陷有利于提高加勁板抵抗動態屈曲的能力。

圖3給出了三種不同數量加勁肋情況下，加勁板的荷載-頻率曲線。可以看出，隨著加勁肋數量的增加，加勁板的動態屈曲臨界荷載迅速增加，另外可以發現，在x與y方向同時設置3個加勁肋的臨界荷載大約是在兩個方向同時設置1個加勁肋的2倍，這也進一步說明加勁肋的設置可以有效提高加勁板的抗動態屈曲能力。

圖4給出了加勁肋抗彎剛度不同的五種情況下，加勁板的荷載-頻率曲線。可以看出，當抗彎剛度由2.85×103N·m2增加到3×103N·m2時，加勁板的臨界荷載的增幅大約500 kN/m，而當抗彎剛度由3.3×103N·m2增加到3.45×103N·m2時，加勁板的臨界荷載的增幅大約只有200 kN/m，這說明隨著加勁肋抗彎剛度的提高，加勁板的動態屈曲臨界荷載亦隨之增加，但是增幅逐漸變小。

圖5給出了加勁肋扭轉剛度不同的五種情況下，加勁板的荷載-頻率曲線。可以看出，當扭轉剛度由115 N·m2增加到130 N·m2時，加勁板的臨界荷載的增幅大約250 kN/m，而當扭轉剛度由160 N·m2增加到175 N·m2時，加勁板的臨界荷載的增幅大約只有100 kN/m，這說明隨著加勁肋扭轉剛度的提高，加勁板的動態屈曲臨界荷載亦隨之增加，但是增幅逐漸變小。

3結論

本文運用Hamilton原理建立了具有初始幾何缺陷加勁板動態屈曲的特征方程。選取一個數值算例，對四邊簡支加勁板的動態屈曲臨界荷載進行分析，主要得到以下幾點結論：

(1)本文方法的正確性通過文獻[7]有限元方法的計算結果得到驗證，同時由于考慮了初始幾何缺陷，并且采用比較少的級數項數便可以收斂，因此本文的方法更具有實用性；

(2)對于本文的各種形式的四邊簡支加勁板，動態屈曲臨界荷載均為發散荷載；

(3)一階模態的初始幾何缺陷對加勁板的臨界荷載影響很大，而不含一階模態的初始幾何缺陷有利于提高加勁板抵抗動態屈曲的能力；

(4)增加加勁肋的數量可以顯著提高加勁板的抗動態屈曲能力；

(5)隨著加勁肋抗彎剛度的提高，加勁板的動態屈曲臨界荷載亦隨之增加，但是增幅逐漸變小。

(6)隨著加勁肋扭轉剛度的提高，加勁板的動態屈曲臨界荷載亦隨之增加，但是增幅逐漸變小。

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第一作者嚴波男，博士，教授，博士生導師，1965年5月生