如何進行矩陣論的教與學

劉文軍

摘要：矩陣論課程的學習，對培養研究生的運算能力、邏輯推理能力、抽象思維能力及創新能力等非常重要。筆者根據多年的矩陣論課程的教學經驗，對教師如何教好矩陣論，學生如何學好矩陣論提出了一些建議與思考，這些建議對矩陣論的教學與學習有較好的指導意義。

關鍵詞：矩陣論；思維能力；創新能力

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）03-0138-02

矩陣論是高等學校理、工科研究生的一門重要的公共基礎課程。作為一門基礎工具，矩陣論在現代科技領域有著廣泛的應用。諸如概率統計、微分方程、力學、電子學、數值分析、優化理論、控制論、網絡等學科領域都與矩陣論有著密切的聯系。甚至在經濟管理、保險、金融、社會科學等領域，矩陣理論也有著十分重要的應用。

矩陣論是線性代數課程的拓廣及延伸，它將線性代數中實數域上的理論推廣到復數域上，給出了矩陣的Smith標準型、Jordan標準型、Hermite二次型的有關理論，并進一步介紹線性空間、歐氏空間與酉空間以及在此空間上的線性映射，深刻地揭示了有限維空間上的線性變換的本質與思想，并通過引入向量范數和矩陣范數在有限維空間上構建了矩陣分析理論。由于矩陣論中很多知識是線性代數的推廣，所以要學好矩陣論，必須要學好它的基礎課程線性代數。由于線性代數一般是大一或者大二開設，而線性代數中概念比較抽象，學生掌握的不是很牢固，雖然有考研前的突擊，但學生對于線性代數的知識大都是單純的記憶，而沒有真正掌握它的實質，所以學習更深層次的矩陣論課程，就更困難了。如何讓學生在較短時間內較好地掌握與理解矩陣論課程的教學內容，更好地掌握矩陣論中的思維方式呢？如何調動學生的學習興趣，激發學生的學習欲望，以提高學生的抽象思維能力呢？如何在已有興趣的基礎上，提高學生的創造性思維能力呢？這些問題是我們矩陣論教學工作者要解決的重要問題。現在的矩陣論的課堂教學有三個顯著的特點：（1）學生基礎差異大。矩陣論是全校理、工科學生的基礎課，選修的學生很多，而開設的班級有限，所以一般是幾個專業的學生合在一個班上課，而不同的專業，他們在大學數學類課程要求不同，從而導致他們的數學基礎有很大的差異。（2）每周學習內容多。大學課堂里的每一堂課一般都是90分鐘，兩節課連上，矩陣論也不例外，并且一般是一周6節，這樣在一周內學的內容比較多，學生學習壓力大。（3）課時少，教學進度快。由于矩陣論的內容較抽象，但學時又非常有限，因此每堂課不僅教學的內容較多，且內容是全新的，教師講課主要是講重點、難點、疑點，講概念、講思路，舉例較少。面對諸多特點，高校的矩陣論任課教師一直在探索一種適合于研究生學習的教學方式與手段。筆者以多年的矩陣論教學經驗，結合學生的學習情況，對教師如何教好矩陣論、學生如何學好矩陣論得出自己的一點心得，現總結如下。

一、教師教學手段與教學方式的改革

研究生的教學與本科生的教學有一定的差異性，其以自主學習為主，但由于公共基礎課的矩陣論教學，我們基本上還是延用大學線性代數那種以傳統的教學方式為主的教學方式，即：以教師為中心、以講臺為中心。教與學的關系不是教師與學生的平等關系，而是指導與被指導、命令與服從的關系，這種關系阻止了學生許多方面的發展。現在的教學活動應該建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應充分調動學生的學習積極性，使學生的被動學習模式變為主動學習模式，并幫助學生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的知識與技能，獲得廣泛的知識與經驗。教師應充分激發學生的創造性。為了培養學生的創新思維，教師必須要探索新的教學方法，針對每個學生的不同情況，針對所教知識的體系對教學方法進行一定的創新。在教學的過程中，做到定向引導教學、啟發式教學、情感教學及對比教學相結合，通過這些教學方式，加深學生對一些抽象概念的理解，從而使其更好地掌握這些知識，進而也會提高教學效果。

二、培養學生積極主動的學習態度及良好的學習方法

矩陣論的知識，將線性代數中的實數域推廣到了復數域，由于許多學生對復數域上的知識掌握不夠，學生一下子很難接受與理解。如果學生僅僅利用課堂的時間學習該門課程，而不利用課余時間主動地去學習的話，要學好這門課程是非常困難的。那么，如何培養學生積極主動的學習態度呢？我們在上課的過程中，以多提問方式教學，讓學生多思考問題。另外，在每堂課的結束之前，給學生準備幾個思考題，讓學生帶著問題去思考，去學習，這樣讓學生慢慢養成主動學習的習慣。學生在學習中保持積極主動的學習態度固然是非常重要的，但僅有積極主動的學習態度，沒有好的學習方法也很難掌握好該門課的實質。那么，何為好的學習方法呢？本人認為，好的學習方法，在學習中應該能做到下列幾點。

（一）牢固掌握該課程的基本概念、基本性質

基本概念、基本性質一直是數學的重點。在矩陣論中，涉及的概念與性質也非常多，如特征值與特征向量、兩矩陣相似、Jordan標準形、酉相似、范數、廣義逆矩陣、矩陣的直積、線性空間與線性變換等基本概念及它們的基本性質一定要很好地理解及掌握。若掌握不夠牢固，理解不夠透徹，在答題中對基本性質的應用就不知如何下手。因此，在學習與復習中一定要重視基本概念、基本性質和基本方法的理解與掌握，多做一些基本題來鞏固基本知識。

（二）牢記基本公式、理解基本定理、熟記基本思路

學習數學，很多知識都是要去理解才能很好地掌握，但一些重要的公式，如一些常用向量范數、方陣范數、方陣的譜半徑、方陣的條件數等計算公式，一定要牢牢記住，一點也不能含糊。一些基本定理，如Hamilton-Cayley定理、Schur定理、Gerschgorin定理等一定要很好地理解，并能實際應用。一些常見的解題思路，如向量特征值與特征向量的求法、方陣Jordan標準形的求解、正規矩陣酉對角化方法、矩陣的各種分解方法等一定要熟記，一點也不能馬虎。

（三）多做練習，鞏固知識

研究生教學與本科生教學的一個重大區別是減少了布置作業的環節，但對于數學類課程的學習，不管是哪個層次，練習都是必須的步驟。矩陣論的學習也不例外，雖然沒有作業環節，但學生在學習過程中一定多做練習，通過反復練習，鞏固與掌握知識。特征值與特征向量的求法；矩陣Jordan標準形的求法；正規矩陣酉對角化方法；矩陣分解等知識。對于這些知識來說，它們的解題思路比較簡單，但是只有通過反復練習，才能很好地掌握。在練習過程中，大家一定要養成認真細心的好習慣。

三、充分利用學生所學知識，采用類比教學法

由于矩陣論中涉及的定義比較多，在教學中，要注意采用類比的教學方法，例如，在講解矩陣相似的概念及性質時，應將它與矩陣的等價進行比較，得出它們的區別與聯系；在講解向量或矩陣序列時，要將它們與已學的數列相比較得出它們之間的聯系；在講解矩陣的微分與積分時，要將它們與函數的微分與積分進行比較；在講解數量函數或矩陣值函數對矩陣變量的求導時，要將它們與函數的求導進行比較等。通過比較，使學生在已有的基礎上更好地理解與掌握矩陣論中所要學的知識。

四、深入淺出地引導式教學

對于本科階段來說，在大一或大二學習“線性代數”時，矩陣的運算雖然運算量大，但只要細心計算，問題還是不大，但學習到后面的向量組的線性相關性、矩陣相似、對角化、二次型、正定矩陣等知識時，很多學生就難以理解，以至于跟不上教學進度，慢慢地落隊了。現在又將這些難理解的知識推廣到復數域上，如Jordna標準形、酉相似、酉對角化、Hermite正定矩陣等知識就更是讓學生望而生畏了。所以我們在教學過程中，要充分認識到這些難點，引導學生從簡單的基礎知識入手，通過感性認識慢慢擴展到理性認識，深入淺出將各知識點展示給學生，這樣會起到事半功倍的效果。

五、充分利用現代化數學軟件

矩陣論中許多內容是有關矩陣方面的知識，而Matlab軟件具有強大的矩陣處理及繪圖功能。在教學中，將Matlab軟件與矩陣論課程教學相結合，給出矩陣理論中的典型計算通過MATLAB實現的實例，通過這樣，為學生更好地學好用好矩陣理論引導進一步學習的方向。作為高等院校來說，理、工科研究生普遍開設的一門必修的重要基礎理論課矩陣論，一方面由于其概念多、內容抽象以及邏輯推理嚴謹等特點，在培養學生邏輯推理及抽象思維方面起到了重要作用；另一方面由于工科學生在邏輯推理及抽象思維方面的能力有待提高，而這個提高的過程需要一段時間的積累，從而導致許多工科學生在學習矩陣論課程時感到吃力。在教學過程中，如何帶領學生盡快跨越這一思維障礙，如何充分挖掘學生的數學創造性思維潛能，使培養的創新性人才更好地適應社會發展的需要，是高等師范院校每一位矩陣論任課教師需要認真思考的問題。

參考文獻：

[1]徐仲，張凱院，陸全，冷國偉.矩陣論簡明教程[M].北京：科學出版社，2014.

[2]林錳.矩陣論教程[M].北京：國防工業出版社，2012.

[3]張紹飛，姚慕生.矩陣論教程[M].北京：機械出版社，2012.