理清來龍去脈，把握教學節點，促進有效建構

朱杰濤

[摘 要]面積的概念是抽象的，而且面積的教學涉及長方形、正方形、平行四邊形和三角形等平面圖形面積的計算，是學生建立空間觀念的重要內容，具有承上啟下的建構意義。因此，教師應合理利用學生已有的知識和經驗，優化教學內容的選擇和過程的安排，將面積概念的教學最優化。

[關鍵詞]面積 學情 教材 有效建構 認知起點 教學節點

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）35-018

“面積”作為小學數學進行幾何初步知識教學、建立空間觀念的重要內容，是學生的思維從一維空間轉向二維空間的開始，許多教師在展示課和研討課中都選擇此內容進行教學。但面積的概念具有較強的抽象性，學生初次接觸時一般都難以理解面積是怎么一回事，學習存在一定困難，教師在教學這一課時也會出現許多的困惑與問題。我有幸參加市高研班學習，在觀摩專家的課堂教學后，對本課的教學進行了再研究。

把握起點·分析學情·立足教學之本源

為更好地進行教學，我對自己學校的三年級學生開展關于面積認識的前測，以此了解學生對面積有著怎樣的前概念。而在此之前，我重新梳理了學生的認知起點，以便更好地設計前測問題。

一、從關聯內容看學生的認知起點

二、從校內前測看學生的前概念

有了以上的認識，我設計3個問題來對學生進行前測。

問題1：你認為什么是面積？

設計意圖：了解大約有多少學生已經知道了面積。

測試結果：

測試結論：三年級學生對面積并不是一無所知的，但也表現出學生對這一內容的認知十分模糊，所以教師在教學中要幫助學生由對面積的模糊經驗走向逐步清晰。

問題2：用你喜歡的方法表示出該圖形的面積。

設計意圖：考查學生能否表示出一個圖形的面積。

測試結果：

測試結論：即使是三年級的學生，還是有一部分學生對面積所指的區域不清楚，而且周長是影響學生認識面積的一個重要因素。

問題3：哪個圖形的面積最大？

設計意圖：考查學生對圖形表面大小的認識。

測試結果：

測試結論：在比較兩個面積比較相近的圖形時，有一部分學生就束手無策了，不知道該如何是好。因此，課堂教學中，教師要著重設計幫助學生用面積單位來說明面積大小的探索活動。

通過前測分析，我認為面積的教學要遵循學生的認知發展規律。在建立面積概念時，教師需要引導學生對同一封閉圖形的周長和面積進行直觀對比，使學生明確兩者之間的區別，完善學生的認知結構，提高學生的數學思維能力。同時，教師在教學中要繼續加強學生的探索，強化學生的體驗學習，讓學生在認知沖突中發現問題、提出問題，在解決問題中提煉出面積和面積單位的本質屬性。

對比解讀·研究本質·思辨教學之載體

通過前測，我欣喜地發現，學生缺少的、我們在教學中要重點把握的，正是2011版義務教育教科書數學三年級下冊關于“面積的意義”教學所呈現的內容。那么，義務教育教科書相對于實驗教材到底有哪些細節上的變化呢？研究其他版本教材對面積教學的編排有何異同，有助于教學的進一步優化。

一、實驗教材與2011版義務教育教科書（以下簡稱2011版教材）之間的對比

1.主題圖的變化。

與實驗教材相比，2011版教材主要體現以下兩個特點。

1.關注學生對面積概念的真正理解。

刪去面積的定義和采用描述方式說明面積的含義，既避免學生死記硬背定義，又不使教師將工夫用在指導學生敘述面積的定義上，而忽視引導學生對面積含義的真正理解。

2.注重對面積概念認識的全面性。

由于學生常常誤認為只有向上擺放的“面”才有面積，因此2011版教材增加了“做一做”的內容，使學生對面積的認識更加廣泛。同時，為避免學生一提到面積就想到長方形和正方形，2011版教材在練習中還增加了不規則圖形面積的比較，以突出面積概念的本質。

3.加強用統一的面積單位進行測量的辨析比較。

2011版教材全面呈現了利用正方形、三角形和圓拼擺后得到的不同結果，并通過操作、對比，以一種強烈的視覺沖擊來引發學生選擇合適的面積單位進行測量的需求。

二、不同版本教材之間的對比

各版本教材都在三年級下冊安排了“面積的認識”這一內容，但在具體編排上又有所不同。如下表：

由上述比較中不難發現，三個版本的教材在整體編排上呈現了以下的相同點：先認識面積和面積單位，再探究長方形和正方形的面積計算公式，最后學習面積單位之間的進率;通過看一看、比一比的內容，安排兩個圖形比較大小的實踐操作活動，讓學生體會面是有大小之分的;在比較兩個圖形的過程中，都通過重疊和擺一擺的方法來認識面積單位。同時，這三個版本的教材在細節上又各有不同：在材料的呈現上，人教版教材和蘇教版教材都采用了規則的表面為長方形的實物，而北師大版教材將長方形、圓和不規則封閉圖形都呈現出來;在概念的呈現上，人教版教材和蘇教版教材均采用具體描述的方式，北師大版教材依舊采用下定義的方式;在統一面積單位的教學中，人教版教材比較直接，更注重對拼擺結果的比較分析，而蘇教版教材和北師大版教材注重比較的層次性，且將統一面積單位的必要性安排在教學的引入中。

兼容并施·有效建構·豐富教學之內涵

根據本校學生關于面積的學情以及對教材的進一步解讀，我在自己的教學實踐中，主要通過以下幾個方面來組織學生開展對“面積”的研究學習。

一、抓住知識的生長點，拓展關于“面積”的內涵

教師的教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎。學生在平時的生活中已經知道物體有“面”，知道這些“面”有大有小，這是十分寶貴的教學資源，也是讓學生進一步掌握面積知識的基礎。學生能輕松地找到黑板表面、課本封面以及比較出它們的大小，但這僅僅只是生活經驗的再現。為了消除學生因生活經驗而產生的定式，人教版教材安排關于字典的側面的認識，教師在課堂中可按照以下幾個層次進行教學：（1）直接告訴學生“數學書封面的大小就是數學書封面的面積”，并通過板書讓學生模仿著說，規范學生的語言，讓學生逐步內化所學概念。（2）鼓勵學生尋找身邊一些物體的面，先摸一摸，再說一說，前者是讓學生用動作來表示對面積的認識，后者是要學生用含有面積的詞來進行解釋。（3）先通過比一比，引導學生比較各個面積的大小，再讓學生體會每個面都是有大小的。在學生交流舉例時，教師一定要要求學生邊指邊說，形成正確、清晰的知識表征。（4）制造或利用學生的認知沖突，解決面積并非只是物體的封面或底面的問題，并將教材中的字典換成數學書，用比較小的側面來強化學生的認識——原來這里也有面積，完成對物體表面面積概念內涵的一次澄清。

在教學中，學生對鉛筆盒蓋的面積產生了爭論，教師沒有打斷和直接告訴學生到底什么是鉛筆盒蓋的面積，而是給予生生之間足夠多的交流時間，引導學生通過相互間的質疑、解釋，總結出鉛筆盒蓋的面積，最后及時進行評價。

片斷：物體表面的大小是物體表面的面積

師：手掌的大小就是手掌的面積。（板書）輕聲讀一讀這句話，與同桌邊指邊說說什么是手掌的面積。（師示范，學生模仿說什么是黑板表面的面積）

師：在身邊找一個物體，邊摸邊說說什么是這個物體表面的面積。

生1：鉛筆盒的大小是鉛筆盒表面的面積。

師（指鉛筆盒蓋）：鉛筆盒的表面包括六個面，我猜剛才這位同學說的是鉛筆盒上面的大小是它上面的面積，是嗎？

生2：鉛筆盒一圈和上面不是平平的，鉛筆盒底面是平的，所以底面的大小是鉛筆盒底面的面積。

師：關于鉛筆盒某個面的面積，其他同學的意見呢？

生3：我認為鉛筆盒蓋雖然高高低低，但也是有面積的，把它拉平后的大小仍是上面的面積;鉛筆盒下面的大小是它下面的面積。

師：你的總結真好，還能舉例嗎？

……

師：將課桌面的面積和黑板面的面積比比大小。（生動手操作并相互舉例）

師：同學們，我們剛才觀察到各種物體的面，它們有大有小，并且每個面都有它確定的大小。數學上，我們把物體表面的大小稱為物體的表面積。

……

二、抓住知識的矛盾點，促進關于“面積”的內化

盡管修訂后的人教版教材不再用下定義的方式來揭示面積的意義，但教師的教學若停留在此是遠遠不夠的。而且，學生是在認識周長的基礎上來學習面積的意義的，所以教師教學中要通過大量直觀的、日常生活中的實例，引導學生充分感知、認識面積與周長的不同，并用對比的教學手段，幫助學生正確區別周長與面積的不同含義。但對于更加抽象的平面圖形，周長和面積對于學生而言更易混淆。因此，教師需要制造認知矛盾，激發學生主動內化所學知識的欲望。

第一個矛盾點，讓學生用彩色粉筆表示出長方形的面積。學生出現“描邊”和“涂面”兩種不同的意見，但大多數學生選擇“涂面”，說明他們對圖形面積的概念有了一定的認識，沒有受到周長知識的負遷移影響。

第二個矛盾點，為學生準備一個角，讓學生再次來表示出它的面積。此時學生相當一致地認為不能表示出面積，并通過與長方形對比得出角不是封閉的，所以面積無法確定，從而更進一步讓學生感受到封閉圖形的大小就是它的面積。

片斷：封閉圖形的大小叫做面積

師：物體的表面有大小，那平面圖形有大小嗎？（出示長方形）你能用彩色粉筆表示出長方形的面積嗎？（生1用粉筆描出長方形一周的邊線，其他學生不同意，說“描的是長方形一周的長，是周長”;生2用粉筆涂了長方形的面，多數學生贊成）

師：為什么不同意生1的表示？

生3：他描的是邊框，沒有表示出里面的面。

師：用手勢比劃一下，長方形的面在哪里？什么是面積？（板書：長方形的大小是長方形的面積）

師（出示角）：老師這里還有一個圖形，你能表示出它的面積嗎？（生齊聲說“不能”）說說你們的理由。

生4：長方形是封閉的，角是不封閉的，所以面積無法確定。

……

三、抓住認知的層次性，完善關于“統一面積單位”的學習

個人認為，北師大版教材和蘇教版教材中“統一面積單位”這一板塊的內容更加飽滿、充實，遵循了學生的認知規律。因此，在進行“統一面積單位”的教學時，我根據觀察法、重疊法、比較法，設計了三個不同層次的教學活動，使學生在已有經驗的基礎上無法比較出兩個圖形的大小，從而產生認知沖突，激發學生進一步探索比較方法的強烈愿望。這里，教師適時為學生提供所需要的素材，讓學生擺一擺、想一想，再通過不同小組間對成功和失敗的討論，最終使學生深刻認識到必須用形狀相同、大小相同的小圖形去擺，也就是用統一的面積單位來進行測量。這一系列的探究學習活動，有利于學生知識的形成和建構，培養了學生的探索意識和合作能力。

片斷1：統一面積單位

師（出示兩個大小相似的長方形）：現在有兩個長方形，你能看出誰大誰小嗎？

生1：把兩個圖形重疊起來。

生2：我覺得重疊不行，因為重疊后要把兩個圖形多余的部分剪下來再進行比較。

師：看來，有時候用重疊的方法無法比較圖形的大小。有同學想到了剪拼的方法，如果現在不破壞這兩個圖形，有更好的比較方法嗎？

生3：先在兩個圖形上擺一些圖形，然后看看擺的數量就能知道圖形面積的大小了。

師：大家同意嗎？想不想試一試？（生動手操作驗證）有結果了嗎？

生4：我們在一個長方形上面擺了15個小正方形，在另一個長方形上面擺了14個小正方形。

生5：我們組的工具不能用，因為一個是圓形，一個是三角形，不好比較。

生6（將作品展示，用于比較的正方形有大有?。何覀兊墓ぞ咭膊缓糜?。

師：你發現了什么？

生6：要用同樣大小的正方形比較合適。

師：說得真好，在計算面積時就要用面積單位。

……

片斷2：選擇合適的面積單位

（生選擇圖形拼擺，看看能擺多少個同樣的圖形）

師：同學們通過擺一擺，擺出了這樣幾幅作品（如下圖），誰能說說看，你覺得哪一幅作品更棒？

生1：我喜歡第一幅和第四幅作品，因為它們不僅選擇了同一種圖形，而且擺好以后沒有空的地方。

生2：我最喜歡第一幅和第四幅作品，可能有時候沒法用其他圖形擺出來。

師：同學們說得非常棒，既說明了理由，又考慮到了要根據圖形來選擇合適的面積單位。

……

四、彌補認知的不足點，豐富關于“面積”的外延

在整個研究過程中，學生對面積的認識停留在對長方形和正方形的大小上。三個版本的教材都涉及關于圓和其他不規則的封閉圖形，對于剛開始在長方形和正方形周長的基礎上認識面積的學生來說，北師大版教材在一開始時就給出變式，我認為這會對學生建構面積的意義造成新的困難，因此更傾向于在練習中進行突破。

片斷：圖形方向、形狀不同，面積可以相同

出示練習要求：在練習紙上畫一個與這個圖形面積一樣的圖形，并想一想它們的面積為什么相同。

師：為什么這些圖形的面積相同呢？

生1：因為它們都是用了4個小正方形。

師：我們再來看幾個形狀不同的圖形，它們的面積相等嗎？（生答略）老師也畫了兩個圖形（如下圖），你們覺得它們的面積一樣嗎？

師（總結）：形狀的變化，對于圖形的面積沒有影響。任何的封閉圖形都有面積。

……

通過讓學生整體感受度量的學習，體會到所要測量的面的實際意義，勢必對度量的本質有整體認知。這樣的學習方法還將遷移到體積和體積單位的學習，具有舉足輕重的作用。所以，教師要善于從學生的學情出發，為符合學生認知的理解而教;善于確定教材的重、難點，為學習內容的本質而教。

（責編 藍 天）