兩級行星齒輪傳動非線性嚙合力頻率耦合與動態特性研究

兩級行星齒輪傳動非線性嚙合力頻率耦合與動態特性研究

劉輝1,2，蔡仲昌3，項昌樂1,2

(1.北京理工大學機械與車輛學院，北京100081； 2.北京電動車輛協同創新中心，北京100081；3.中國航天三江集團特種車輛技術中心，武漢430023)

摘要：利用拉格朗日方程推導了兩級行星齒輪傳動的平移-扭轉非線性振動模型，模型考慮了齒側間隙、時變嚙合剛度及其相位差、綜合嚙合誤差、行星輪位置角時變性以及各行星排級間連接件的彎曲和扭轉剛度。從行星排級間連接軸的力與變形耦合關系出發，研究了兩個行星排嚙合力產生的嚙合頻率耦合現象。通過數值仿真對不同激勵條件下嚙合頻率耦合的表現形式進行了研究，對不同行星排的動載系數、均載系數、連接軸轉矩的動態特性進行了分析，為多級行星齒輪傳動系統動力學分析與設計提供指導。

關鍵詞：行星齒輪傳動；非線性；嚙合力；嚙頻耦合；動載系數；均載系數

中圖分類號:TH132.41； TB123

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.003

Abstract:Based on Lagrange’s equation, the translational-torsional coupled nonlinear dynamic model of two stage planetary gears was established considering backlash, time-varying mesh stiffness and its phase difference, gear mesh composite errors, time-varying planet wheel position angle, and torsional and bending stiffnesses of connectors among different stages. According to the relationship among torques of connection shafts and vibration displacements of parts, the meshing frequency coupling phenomenon of mesh force for different stages was studied. Under different excitation conditions, the forms of meshing frequency coupling were analyzed. At the same time, the dynamic load coefficient and the load sharing coefficient of meshing force for different stages, and the dynamic characteristics of torques of connection shafts were calculated. The results provided a reference for design and dynamic analysis of multi-stage planetary gears.

基金項目：國家自然科學基金(11232003, 91315302); 國家基礎性發展規劃項目(2010CB832704); 國家高技術研究發展計劃(2012AA050901)資助; 教育部博士點基金(20130041110050)

收稿日期：2014-06-30修改稿收到日期：2014-10-17

Frequency coupling and dynamic characteristics of nonlinear meshing force for two-stage planetary gears

LIUHui1,2,CAIZhong-chang3,XIANGChang-le1,2(1. School of Mechanical and Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;2. Collaborative Innovation Center of Electric Vehicles in Beijing, Beijing 100081, China;3. Special Vehicle Technology Center of China Space Sanjiang Group, Wuhan 430023, China)

Key words:planetary gears; nonlinear; meshing force; meshing frequency coupling; dynamic load coefficient; load sharing coefficient

多級行星齒輪傳動在車輛、船舶、航空、風力發電、工程機械等各種工業領域的傳動系統中得到了廣泛應用。在動態條件下，當動力在各級行星排中傳遞時，振動也在不同行星排、不同部件之間傳遞并相互影響，造成各行星排之間動力學的耦合。目前研究以單級行星齒輪傳動為主，多級行星齒輪傳動振動特性研究尚不夠深入，分析行星排級間耦合原因和表現形式是研究多級行星齒輪傳動振動特性區別于單級行星傳動的一個重要內容。

近幾十年來，國內外學者對多級行星齒輪動力學開展了許多有益的研究。Kahraman[1]建立了用于功率流分析的行星傳動系統轉速轉矩分析模型。Deur等[2]建立了包含離合器摩滑過程控制模型的某車輛行星傳動系統動力學模型。Kiracofer[3]、Kahraman[4]、Guo[5-6]、李瑰賢[7]、蔡仲昌[8]各自針對不同形式的多級行星傳動對固有振動的建模方法、振動模式特點、參數靈敏度特性進行了研究。Inalpolat等[9-10]在線性振動范圍內分析了車輛多級行星傳動在不同擋位下的共振轉速和振幅響應。秦大同等[11-12]研究了盾構機三級行星齒輪減速器在外部激勵作用下構件振動位移和動態嚙合力的動態響應和頻譜特性。Al-shyyab等[13]采用一種改進的諧波平衡法推導了兩級行星齒輪傳動純扭模型的半解析解，并研究了系統非線性響應特性。朱自冰等[14]研究了兩級星型齒輪傳動的非線性振動響應以及分岔、混沌特性。孫智民等[15]研究了兩級輪系組成的封閉行星齒輪傳動的嚙合力動載荷特性和中心輪浮動軌跡。劉輝等[16-17]建立了多間隙、多時變參數的單級行星傳動非線性動力學模型，研究了其在不同外界激勵條件下嚙合力、扭振角位移的頻譜特性。目前有關多級行星齒輪傳動的動力學研究以振動響應特性為主，對行星排之間動力學耦合特性的研究還不夠深入。

本文以兩級受載行星傳動非線性振動模型為基礎，分析了兩個受載行星排之間嚙合力在頻域內產生耦合的原因，對定值驅動轉矩和單頻時變驅動轉矩作用下兩個行星排的嚙合力進行了頻譜特性分析，研究了嚙合頻率耦合現象的各種存在形式。對不同行星排嚙合力的動載特性、均載特性、連接軸轉矩動態特性進行了分析，為車輛行星齒輪傳動動態性能分析與設計提供了參考。

1動力學建模

1.1模型描述與假設

本文研究對象是車輛自動變速箱中常用的一種兩級行星傳動，其結構簡圖見圖1。系統有兩個普通行星排，每個行星排包含四個行星輪，動力從一排太陽輪軸輸入，從二排行星架輸出。當一排齒圈制動時，兩個行星排都處于受載狀態。

圖1　行星傳動簡圖 Fig.1 Sketch map of planetary transmission

本文采用以統一固定參考系為基準的方法描述各部件振動位移。對于中心旋轉部件，直接采用固定參考系下的絕對位移描述其平移運動和旋轉運動；對于行星輪，其固定參考系中的絕對運動分解為與行星架同步運動的動坐標系的牽連運動和相對于該動坐標系的相對運動的矢量和。該描述方法在一個統一的固定參考系中進行動力學分析，避免了不同旋轉參考系間的坐標轉換。

本文采用集中參數法建模，采用如下假設：

(1)軸承剛度、制動件切向支承剛度、行星排連接件剛度均為線性，行星排連接件具有扭轉和彎曲彈性，齒輪本體、行星架、行星輪軸為剛體；

(2)忽略嚙合線方向由于齒輪軸系振動引起的瞬態變化，嚙合力的方向始終沿著嚙合線方向；

(3)每個部件有三個自由度，分別是在垂直于自身旋轉軸線的平面內的平移振動和繞自身旋轉軸線的扭轉振動；

(4)各行星輪沿行星架圓周方向均勻分布，其質量、慣量、誤差、支撐剛度等參數均相同；

(5)系統阻尼與部件的相對運動速度成正比。

圖2　兩級行星齒輪傳動動力學模型 Fig.2 The dynamic model of two stage planetary transmission

兩級行星傳動中各行星排的集中參數模型如圖2所示。圖中OXY為系統公用的固定坐標系，OiXiYi為第i級行星排自己的旋轉坐標系，OijXijYij為第i級行星排中第j個行星輪的坐標系。下標si、ri、ci、pij分別為第i級太陽輪、齒圈、行星架以及第i級中第j個行星輪。xa、ya、θa分別為部件a在各自相關坐標系中沿橫、縱坐標軸的微小平移位移以及繞該坐標原點旋轉軸的微小角位移，a=si、ri、ci、pij。太陽輪、齒圈、行星架的微小振動位移是相對固定參考系的絕對運動量,行星輪的微小振動位移是相對行星架旋轉參考系的相對運動量。ksipij、csipij、bsipij分別為第i級行星排中太陽輪和第j個行星輪之間輪齒的時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒側間隙一半，kripij、cripij、bripij的含義與此類似，不再贅述。kur1為第1級齒圈沿旋轉方向的切向支承剛度，kxa、kya為各部件在各自坐標系中沿橫、縱坐標軸的軸承支承剛度，kxhiql、kyhiql、kuhiql為第i級行星排中部件h與第l級行星排中部件q的連接件的彎曲剛度和扭轉剛度，i、l為整數，i≠l；h、q=s，r，c。ψij為第i級行星排中第j個行星輪在固定坐標系中的位置角，ψij=ωcit+2π(j-1)/n，n為第i級中行星輪個數。Ja、ma、Ra分別為部件a的轉動慣量、質量、等效半徑。α為壓力角。

綜合嚙合誤差是隨時間變化的函數，由制造誤差、安裝誤差、齒形誤差組成。各誤差在內、外嚙合線上產生的當量累積嚙合誤差為

(1)

式中:Ea、Aa分別為各部件制造誤差幅值、安裝誤差幅值，Esipij、Eripij分別為各嚙合副的齒形誤差幅值，ωa分別為各部件理論角速度，ωmi、Ti分別為第i級行星排的嚙合頻率、嚙合周期，βa、γa分別為各誤差的相位角，γsipij、γripij為各行星輪外、內嚙合副之間的嚙合相位差，γsri為同一個行星輪上外嚙合副與內嚙合副之間的嚙合相位差，t為時間。

時變嚙合剛度通常假設為周期矩形波，它們之間的相位差計算方法見文獻[18]。將時變嚙合剛度展成Fourier級數，取六次諧波項時其表達式為

(2)

嚙合阻尼較為復雜，其影響因素很多，不易準確求得，本文采用的嚙合阻尼經驗公式為

(3)

式中:ma為各齒輪等效質量，ζ為阻尼比，取為0.07。

齒側間隙是輪齒嚙合力描述中的強非線性項，齒側間隙非線性函數f的表達式為

(4)

式中:Lsipij為嚙合線變形量,bsipij為單邊齒側間隙。內嚙合情況與此類似。

各外、內嚙合線變形量Lsipij、Lripij包括各部件扭轉振動、平移振動引起的線位移變形量和綜合嚙合誤差引起的等效變形量，其表達式為

(5)

式中:Ra為各部件的等效半徑。

第i級行星排第j個行星輪與太陽輪、齒圈在各自嚙合線上的嚙合力Fsipij、Fripij分別為

(6)

各部件的軸承支反力Fxa、Fya為

(7)

一排太陽輪與二排太陽輪連接軸的扭轉轉矩Ts1s2和彎曲平面內的橫向力Fxs1s2、Fys1s2為

(8)

一排行星架與二排齒圈連接軸的扭轉轉矩Tc1r2和彎曲平面內的橫向力Fxc1r2、Fyc1r2為

(9)

發動機波動轉矩是車輛行星傳動的動力來源，本文中發動機為V型12缸4沖程柴油機，通過簡諧分析得出主要諧次[17]，為對比分析發動機轉矩波動對系統響應的影響，將驅動轉矩劃分為定值驅動轉矩、單頻時變驅動轉矩兩種，其表達式分別為

Tin=T0

(10)

Tin=T0+μT0sin(2πfet+φe)

(11)

式中:T0為發動機輸出轉矩平均值，fe為發動機波動轉矩頻率，取為曲軸6倍轉頻，φ為波動轉矩的初始相位，μ為波動轉矩幅值與平均值之比，取0.3。

本文采用定步長四階Runge-Kutta法求解系統非線性方程組的數值解，系統主要參數如表1～表3所示。

表1　兩級行星傳動系統主要參數

表2　兩級行星傳動系統嚙合剛度和齒形制造誤差

表3　兩級行星傳動系統彎曲剛度和扭轉剛度

1.3動力學模型

將非線性嚙合力和輸入軸驅動轉矩視為廣義作用力，根據Lagrange方程，推導得系統各部件的動力學方程見式(12)至式(19)。

一排太陽輪的振動微分方程為

Fxs1+Fbxs1s2=0

(12a)

Fys1+Fbys1s2=0

(12b)

(12c)

一排齒圈的振動微分方程為

(13a)

(13b)

(13c)

式中:Tur1為第一排齒圈所受到的制動轉矩。

一排行星架的振動微分方程為

(14a)

(14b)

一排行星輪的振動微分方程為

sinαFr1p1j+Fxp1j=0

(15a)

cosαFr1p1j+Fyp1j=0

(15b)

(15c)

二排太陽輪的振動微分方程為

Fxs2-Fbxs1s2=0

(16a)

Fys2-Fbys1s2=0

(16b)

(16c)

二排齒圈的振動微分方程為

Fxr2-Fbxc1r2=0

(17a)

Fyr2-Fbyc1r2=0

(17b)

(17c)

二排行星架的振動微分方程為

(18a)

(18b)

(18c)

二排行星輪的振動微分方程為

(19a)

(19b)

(19c)

2兩級行星排嚙合力特性分析

2.1不同行星排嚙合力頻率耦合成因

本文以一排太陽輪與二排太陽輪連接軸為例，從連接軸內力與變形耦合關系出發，說明兩個行星排嚙合力產生嚙合頻率耦合現象的原因，其耦合過程示意圖見圖3。圖中實線箭頭為耦合前的嚙合頻率傳遞方向，虛線表示耦合后增加的嚙合頻率傳遞方向。連接軸兩端的太陽輪具有各自不同的振動頻率，包括各自轉頻、行星排嚙頻、外激勵頻率以及它們的倍頻。連接軸的扭轉內力、彎曲內力分別把不同頻率的振動位移耦合到一起，再以作用力與反作用力的形式分別作用到兩個被連接部件上。耦合后的被連接部件將含有新頻率的振動位移以等效嚙合線變形量的形式反饋回該級行星排嚙合力，從而造成不同級行星排嚙合力之間的相互耦合。本文將不同行星排嚙頻及其相關頻率同時出現在嚙合力中的耦合振動稱為雙嚙頻耦合振動現象，相對于本級行星排嚙頻而“新”出現的其它級行星排嚙頻稱為耦合嚙頻。

圖3　嚙合力頻率耦合過程示意圖 Fig.3 Schematic diagram of meshing force frequency coupling process

2.2定值驅動轉矩時嚙合力頻譜

T0=500N·m的定值驅動轉矩下嚙合力頻譜瀑布圖見圖4。與單級行星排嚙合力的最大區別是，在一排嚙合力頻譜圖中出現了兩個二排嚙頻：fm2和2fm2，而在二排嚙合力頻譜圖中一排嚙頻卻只出現在一部分轉速中，說明不同行星排嚙合力之間的嚙頻耦合關系并不是對等的，其產生的影響是強弱不同的。本文中每個行星排有四個外嚙合力和四個內嚙合力，從計算結果可以看出，不僅四個外(內)嚙合力的頻譜是相似的，而且內、外嚙合力的頻譜也是相似的。本文以各級行星排第一個行星輪的外嚙合力為例作分析，其他嚙合力的情況類似，限于篇幅不再贅述。

圖4　T 0=500N·m時定值驅動轉矩下嚙合力頻譜瀑布圖 Fig.4 The meshing force spectrum waterfall chart under the action of constant torque T 0=500N·m

部分轉速下的嚙合力頻譜見圖5和圖6。在一排嚙合力頻譜中，二排嚙頻的存在形式較復雜，主要有倍頻、分數頻、倍頻與轉頻的調制邊頻、以及二排嚙頻與一排嚙頻的組合頻率，在5000r/min時存在諸如μfm1+4(fm1-fm2),μ=2,8,10,這樣的復雜組合形式。在二排嚙合力頻譜中，3000r/min和4000r/min時沒有出現一排嚙頻，5000r/min時才出現兩個一排嚙頻：2fm1和3fm1，說明轉速升高引起頻率耦合作用增強。

圖5　T 0=500N·m的定值驅動轉矩下不同轉速的一排嚙合力頻譜圖 Fig.5 The meshing force spectrum of the first planetary under the action of constant torque T 0=500N·m and different rotating speed

圖6　T 0=500N·m的定值驅動轉矩下不同轉速的二排嚙合力頻譜圖 Fig.6 The meshing force spectrum of the second planetary under the action of constant torque T 0=500N·m and different rotating speed

T0=2000N·m的定值驅動轉矩下嚙合力頻譜瀑布圖見圖7。與T0=500N·m時的區別是在一排嚙合力頻譜中出現了更高諧次的二排嚙頻：4fm2，在二排嚙合力頻譜中新增了兩個一排嚙頻：2fm1和4fm1，說明載荷增大也會導致頻率耦合作用增強。

部分轉速下的嚙合力頻譜見圖8和圖9。與T0=500N·m時相比，耦合嚙頻的存在形式相對簡單，但出現了更高諧次的耦合嚙頻，如8倍頻和10倍頻。不同嚙頻的組合形式也發生改變，μ(fm1+fm2),μ=2,3,成為主要組合形式。

圖7　T 0=2000N·m時定值驅動轉矩下嚙合力頻譜瀑布圖 Fig.7 The meshing force spectrum waterfall chart under the action of constant torque T 0=2000N·m

圖8　T 0=2000N·m的定值驅動轉矩下不同轉速的一排嚙合力頻譜圖 Fig.8 The meshing force spectrum of the first planetary under the action of constant torque T 0=2000N·m and different rotating speed

圖9　T 0=2000N·m的定值驅動轉矩下不同轉速的二排嚙合力頻譜圖 Fig.9 The meshing force spectrum of the second planetary under the action of constant torque T 0=2000N·m and different rotating speed

2.3單頻時變驅動轉矩時嚙合力頻譜

T0=500N·m的單頻時變驅動轉矩下嚙合力頻譜瀑布圖見圖10。與定值驅動轉矩時的主要區別是在一排、二排嚙合力頻譜中都沒有明確地出現耦合嚙頻的軌線。當時變驅動轉矩平均值較小時，外激勵頻率和本級行星排嚙頻是嚙合力的主要頻率，耦合嚙頻的影響是次要的。

T0=500N·m的單頻時變驅動轉矩下部分轉速的嚙合力頻譜圖見圖11和圖12。與定值驅動轉矩時的主要區別是，在一排、二排嚙合力頻譜中耦合嚙頻零星分布，其作用十分有限。外激勵頻率分別與不同行星排嚙頻、各部件轉頻發生調制關系。由于二排同時從太陽輪和齒圈輸入動力，且它們都是一排非線性嚙合力作用后的結果，所以其頻譜中存在更高諧次嚙頻和外激勵頻率的調制頻率。

圖10　T 0=500N·m時單頻時變驅動轉矩下嚙合力頻譜瀑布圖 Fig.10 The meshing force spectrum waterfall chart under the action of single frequency time-varying torque T 0=500N·m

圖11　T 0=500N·m的時變驅動轉矩下不同轉速的一排嚙合力頻譜圖 Fig.11 The meshing force spectrum of the first planetary under the action of time-varying torque T 0=500N·m and different rotating speed

圖12　T 0=500N·m的時變驅動轉矩下不同轉速的二排嚙合力頻譜圖 Fig.12 The meshing force spectrum of the second planetary under the action of time-varying torque T 0=500N·m and different rotating speed

T0=2000N·m的單頻時變驅動轉矩下嚙合力頻譜瀑布圖見圖13。與T0=500N·m時的區別是在一排、二排嚙合力頻譜中不僅明確地出現耦合嚙頻、不同嚙頻的組合頻率，還有耦合嚙頻與外激勵頻率的調制頻率。這說明時變驅動轉矩平均值增大時，嚙合力頻譜出現了新的耦合形式，不僅不同行星排嚙頻的耦合作用增強，而且各嚙頻與外激勵頻率的調制作用也增強。

部分轉速下的嚙合力頻譜見圖14和圖15。在一排嚙合力頻譜中出現了2(fm1+fm2)形式的組合頻率，2fm2±2fe1、2fm2±2fc1形式的調制頻率。在二排嚙合力頻譜中，耦合頻率形式則以μfm1,μ=2,3,4,為主要。這說明嚙頻耦合作用對一排嚙合力的影響大于對二排嚙合力。

通過以上在定值驅動轉矩、時變驅動轉矩不同工況下的嚙合力頻譜分析可以看出，耦合后嚙合力除了本級行星排各部件的轉頻與嚙頻之外，還出現四種新頻率：非本級行星排嚙頻、兩個行星排嚙頻的組合頻率、非本級行星排嚙頻與本級行星排部件轉頻的調制頻率、非本級行星排嚙頻與外激勵頻率的調制頻率。

圖13　T 0=2000N·m時單頻時變驅動轉矩下嚙合力頻譜瀑布圖 Fig.13 The meshing force spectrum waterfall chart under the action of single frequency time-varying torque T 0=2000N·m

圖14　T 0=2000N·m的時變驅動轉矩下不同轉速的一排嚙合力頻譜圖 Fig.14 The meshing force spectrum of the first planetary under the action of time-varying torque T 0=2000N·m and different rotating speed

圖15　T 0=2000N·m的時變驅動轉矩下不同轉速的二排嚙合力頻譜圖 Fig.15 The meshing force spectrum of the second planetary under the action of time-varying torque T 0=2000N·m and different rotating speed

2.4動載特性與均載特性

在多級行星齒輪傳動中，不僅嚙合狀態不同會造成同一級行星排的多個外、內嚙合力之間存在差異，而且各連接軸質量、剛度特性的不同也會形成每一級行星排嚙合力不同的動態特性。本文采用動載系數和均載系數評價嚙合力的動態特性。

外嚙合力動載系數Gsipij定義為

(20)

不同行星排連接軸的動載系數Thiql定義為

(21)

外嚙合力的均載系數Bsipij定義為

(22)

內嚙合力的均載系數與外嚙合力的定義類似。

本文將一排嚙合力Fs1p11、二排嚙合力Fs2p21、一排太陽輪與二排太陽輪連接軸扭矩Ts1s2、一排行星架與二排齒圈連接軸扭矩Tc1r2的動態特性進行對比分析。不同定值驅動轉矩下各嚙合力、轉矩的動載系數見圖16和圖17，可以看出，動載系數從大到小依次是：一排嚙合力，二排嚙合力，一排行星架與二排齒圈連接軸，

一排太陽輪與二排太陽輪連接軸。在兩個行星排中，內嚙合動載系數大于外嚙合。從整體看，在T0=500N·m時的系統動載系數大于T0=2000N·m時。在T0=500N·m時，各嚙合力在ns1=3000r/min出現共振，從ns1=4000r/min開始隨轉速升高有增大趨勢；而連接軸轉矩在ns1=3700r/min時出現共振。在T0=2000N·m時，各嚙合力和扭矩同時發生共振，共振轉速為ns1=3800r/min，共振最明顯的是一排行星架與二排齒圈連接軸的扭轉轉矩。

圖16 T0=500N·m的定值驅動轉矩下系統動載系數Fig.16ThedynamicloadcoefficientundertheactionofconstanttorqueT0=500N·m圖17 T0=2000N·m的定值驅動轉矩下系統動載系數Fig.17ThedynamicloadcoefficientundertheactionofconstanttorqueT0=2000N·m圖18 T0=500N·m的定值驅動轉矩下嚙合力均載系數Fig.18ThemeshingforceaverageloadcoefficientundertheactionofconstanttorqueT0=500N·m

不同定值驅動轉矩下嚙合力均載系數見圖18和圖19，可以看出，二排嚙合力均載系數大于一排嚙合力。各行星排的內、外嚙合力均載系數變換趨勢基本一致。在T0=2000N·m時的系統均載系數小于T0=500N·m時的均載系數。驅動轉矩平均值增大有利于改善行星輪載荷分配情況。在T0=500N·m時，一排嚙合力均載系數在ns1為2900r/min和3700r/min時出現峰值。在T0=2000N·m時，一、二排嚙合力均載系數在ns1為3500r/min和4000r/min時出現峰值。

圖19　T 0=2000N·m的定值驅動轉矩下 嚙合力均載系數 Fig.19 The meshing force average load coefficient under the action of constant torque T 0=2000N·m

3結論

本文考慮齒側間隙、時變嚙合剛度及其相位差、制造誤差、安裝誤差、行星輪位置角時變性以及各行星排級間連接件的彎曲和扭轉剛度，在統一的固定參考系中建立了兩級行星齒輪傳動的平移-扭轉非線性振動模型。

以一排太陽輪與二排太陽輪連接軸為例，從連接軸內力與變形耦合關系出發，闡述了兩個行星排嚙合力產生嚙合頻率耦合的過程。解釋了不同行星排嚙頻及其相關頻率同時出現在嚙合力頻譜中的雙嚙頻耦合振動現象。

通過數值方法計算了兩級行星排在不同形式驅動轉矩作用下的動態嚙合力。從頻譜分析看出，嚙合頻率耦合的表現形式與外激勵條件有密切關系。時變驅動轉矩作用時的耦合頻率表現形式比定值驅動轉矩時的更加復雜。轉速升高、平均載荷增大都會引起頻率耦合作用增強。耦合后的嚙合力除了本級行星排各部件的轉頻與嚙頻之外，還出現了四種新頻率：非本級行星排嚙頻、兩個行星排嚙頻的組合頻率、非本級行星排嚙頻與本級行星排部件轉頻的調制頻率、非本級行星排嚙頻與外激勵頻率的調制頻率。同時，嚙頻耦合產生的影響對各級行星排嚙合力頻譜并不是對等的，其對一排嚙合力的影響大于對二排。

對各行星排嚙合力、連接軸轉矩的動態特性進行了分析。動載系數從大到小依次是：一排嚙合力，二排嚙合力，一排行星架與二排齒圈連接軸，一排太陽輪與二排太陽輪連接軸。而二排嚙合力均載系數大于一排嚙合力均載系數。

參考文獻

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第一作者陳玉震男，博士，1987年生

通信作者陳飆松男，博士，教授，1973年生