轉子熱致振動現象的瞬態響應特性研究

轉子熱致振動現象的瞬態響應特性研究

徐寧1,2,劉占生1,董延陽1,楊帆1,王慶超1

(1.哈爾濱工業大學能源科學與工程學院，哈爾濱150001； 2. 中國船舶重工集團公司第七〇三研究所，哈爾濱150078)

摘要：針對燃氣輪機轉子在啟停暫態及變工況下的振動過大問題，建立了轉子瞬態動力學特性理論分析模型，基于轉子熱變形現象將轉子熱變形等效為彎曲激勵力，分析了轉子在熱變形激勵下快速啟動過程的瞬態響應特性、熱變形與不平衡耦合激勵下的轉子在不同啟動過程中的瞬態動力學特性，以及熱變形隨啟動過程衰減的轉子瞬態動力學特性，研究成果為燃氣輪機轉子熱致振動特性研究提供理論依據與基礎。

關鍵詞：燃氣輪機轉子；瞬態動力學；熱變形；不平衡；熱致振動

中圖分類號:TB533

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.026

Abstract:Aiming at larger vibration problems of gas turbine rotor in transition states, the transient rotor dynamic model was established. The thermal deformation of the rotor was equivalent to the bending excitation force based on the analysis of rotor thermal deformation. The transient response characteristics of the rotor under the bending excitation force in the process of fast start-up, those under thermal deformation and unbalanced coupling excitation, and the transient response characteristics of the rotor with thermal deformation decaying in the start-up process were analyzed. The study results provided a theoretical basis for studying gas turbine rotor thermal-induced vibration characteristics.

基金項目：111引智計劃(B07018)

收稿日期：2014-05-29修改稿收到日期：2014-09-16

Transient response characteristics of rotor thermal-induced vibrations

XUNing1,2,LIUZhan-sheng1,DONGYan-yang1,YANGFan1,WANGQing-chao1(1. School of Energy Science and Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;2. CSIC Harbin No. 703 Research Institute, Harbin 150078, China)

Key words:gas turbine rotor; transient dynamics; thermal deformation; unbalance; thermal-induced vibration

艦船在訓練和戰斗環境中，其主動力燃氣輪機將頻繁大范圍變換工況。工況的劇烈變化使燃氣輪機轉子表面溫度場發生瞬態變化，由于轉子結構、材料傳熱及熱工質環境的不對稱性最終將導致轉子產生熱變形，這種變形將會引起轉子產生熱致振動[1]。例如美國海軍LM2500型燃氣輪機在快速變工況時，曾多次出現壓氣機轉子周向熱變形不一致產生的振動[2]；歐洲EJ200發動機在快速啟動過程中也曾多次發生振動超標故障，其高壓渦輪轉子在兩次連續快速啟動過程中振動水平嚴重超標，原因也是轉子的熱變形產生振動[3]。隨著我國自主研制燃氣輪機進程的加快，也多次出現由轉子熱變形引起的機組振動超標現象[4]，如國產某型艦用燃氣輪機在試車過程中就曾出現動力渦輪轉子熱變形導致轉子抱死。

當前，不論在新機型的研制、改型設計還是服役期間，對燃氣輪機轉子熱致振動現象的預測和控制都是各方關注的熱點。盡管國內已有學者開展了相關研究，如任平珍、袁惠群等[5-6,7-9]針對熱彎曲轉子的響應特性、非穩態溫度場開展了的理論與試驗研究，何鵬[10]開展了軸向溫度分布、材料熱物性等因素對轉子振動特性的影響等。但與國外燃氣輪機熱致振動問題的研究仍存較大差距[11-12]，缺少針對實際的燃氣輪機轉子結構的考慮，也未考慮變工況或快速啟動中的熱沖擊載荷，及熱變形等激勵對轉子瞬態動力學特性的影響研究。

由此，本文針對某艦船燃氣輪機轉子的復雜結構，依據轉子瞬態動力學理論建立了變工況下熱變形轉子的動力學特性研究模型，結合考慮非對稱周向熱沖擊對轉子變形的影響，分析了轉子在熱變形激勵及熱—不平衡耦合激勵下的瞬態動力學特性，研究了不同瞬態加速工況下熱變形對轉子振動特性的影響機理，分析了快速啟動下熱變形及其衰減現象對轉子瞬態響應特性的影響規律。這避免了傳統穩態動力學預測方法的結果偏保守，與實際工況瞬態變化有一定的偏差的問題，可作為熱致振動機理分析的核心內容。本文研究成果為優化燃氣輪機設計方案，掌握控制燃氣輪機轉子熱致振動故障現象提供理論依據及借鑒。

1轉子瞬態動力學模型

傳統的轉子動力學研究一般均假設轉子的轉速維持在一個恒定的值，當研究轉子系統的不平衡響應時，所獲得的只是在角加速度很低或其對系統動力學響應影響很小的近似解，常采用特征值直接獲得解析解或頻域積分的方法在多個轉速下計算其穩態響應。然而，當轉子快速啟動或快速停機時，轉子角加速度對系統的穩定性影響不可忽略，因此需要研究考慮角加速度的動力學方程建模方法，為軸系轉子瞬態振動分析奠定基礎。

首先從振動機理上研究瞬態轉子動力學的建模方法[13]，建立如圖1所示Jeffcott系統模型。

圖1　Jeffcott轉子瞬態振動示意圖 Fig.1 Sketch of an accelerating Jeffcott rotor

在瞬態轉子動力學特性研究中，轉子系統的轉角θ與時間不再成線性關系，而是與時間和角加速度相關的函數。因此，分析系統瞬態動力學過程中，必須考慮角加速度的影響。

選取C點處坐標為基準，則P點的位移和速度可表示為：

(1)

(2)

當系統質量為m時，其動能可表示為：

(3)

系統剛度為k時，其勢能表示如下：

(4)

因此，運動方程可由拉格朗日方程得到：

(5)

(6)

通過引入復數坐標rC=xC+iyC和非旋轉力Fn=Fx+iFy，式(6)可簡寫為：

(7)

引入系統的旋轉阻尼和非旋轉阻尼，式(7)第一個公式可改寫為：

(8)

式中c=cr+cn是總阻尼。以上，便獲得了瞬態轉子動力學運動方程的表達形式。采用數值積分的方法，即可得到系統的瞬態動力學響應。

當忽略非旋轉力及系統阻尼后，轉子瞬態橫向運動方程可寫為：

(9)

而傳統不考慮角加速度的轉子運動方程為：

(10)

可見不平衡激勵力隨時間越來越大，并且頻率也隨啟動時間逐漸增大。而在傳統的穩態不平衡響應分析中，在某一轉速下，不平衡激勵mεΩ2cos(Ωt)只有轉子轉速的基頻成分，當轉速Ω=100rad/s時，不平衡激勵力隨時間變化見圖3。

圖2　瞬態不平衡激勵項隨時間變化規律 Fig.2 Time history of transient unbalance excitation

圖3　穩態不平衡激勵項隨時間變化規律 Fig.3 Time history of steady unbalance excitation

在某給定轉速下，穩態求解中不平衡激勵力隨時間呈三角函數變化。而不同轉速下其激勵力最大幅值mεΩ2不同，隨轉速的增加呈指數函數形式增大。

2轉子熱變形等效激勵力原理

轉子在停機過程中，周圍環境常處在不均勻的溫度場，如停機后熱氣上升，冷氣下降。在這種環境下，轉子受熱會發生熱變形，此時如果啟動機組，轉子的初始彎曲量將會對系統的動力學響應產生較大影響。此外，在機組實際運行過程中，也可能發生某些極端現象，如轉子與靜子的碰磨等，此時會在轉子表面摩擦產生大量熱，引起轉子運行過程中的熱變形，進而引起轉子故障。因此，考慮轉子在彎曲條件下的動力學響應是十分有必要的。

轉子初始彎曲量可由等效熱變形激勵力表示。假設一個具有初始彎曲δ0的Jeffcott轉子，輪盤質量為m，軸段剛度為k，阻尼為c。具有初始彎曲量δ0的Jeffcott轉子的動力學方程可表示為：

(11)

式中kδ0ei(ωt)為初始彎曲激勵力，與轉速ω相關。

式(11)表明熱彎曲對Jeffcott轉子的臨界轉速及振型等固有振動特性沒有影響，只是形成了一個與轉速相關的激勵力。具有初始彎曲的Jeffcott轉子的穩態響應幅值為：

(12)

式中Ω為轉速與臨界轉速比Ω=ω/ωn；ξ為阻尼比ξ=c/(2mωn)。

而不平衡激勵下Jeffcott轉子的響應幅值為：

(13)

式中eu為輪盤上的偏心距。

圖4　熱彎曲和不平衡下Jeffcott轉子響應幅值的對比 Fig.4 Amplitude for Jeffcott rotor with bow and unbalance

對比式(12)和(13)，可以發現熱彎曲轉子的振動特性與不平衡響應類似。圖4為Jeffcott轉子的熱變形響應和不平衡響應隨轉速變化過程的對比。隨著轉速的增加，熱變形Jeffcott轉子的響應幅值是從初始彎曲量出發，在靠近臨界轉速過程中逐漸增加，在臨界轉速以后響應幅值迅速趨向0。可見Jeffcott轉子熱變形響應和不平衡響應的主要差別出現在低轉速和高轉速區域。

3熱變形激勵下轉子瞬態動力學仿真分析

根據上述理論，對某燃氣輪機轉子進行瞬態動力學分析，并與穩態結果進行對比，本文假設整個轉子為連續性轉子，不考慮非連續性結構參數對轉子系統動力學特性的影響。

根據燃氣輪機轉子的復雜結構，建模時考慮將等徑軸段采用Timoshenko梁單元建立，而對具有軸向變結構參數的轉轂，則考慮采用錐形梁單元模型建模法建立。因此離散及簡化后的轉子有限元模型如圖5。

圖5　燃氣輪機轉子有限元模型 Fig.5 Finite element model of gas turbine rotor

對模型進行適當簡化，得到簡化后44節點的轉子模型，由43個梁單元組成，其中，第5、11、15、19、23、27、31、43節點上的輪盤結構及對應葉片組以集中質量和集中轉動慣量的形式加入模型，在第3和第36節點上加載左右支撐滾動軸承。

圖6　轉子各角加速度下瞬態熱變形響應 Fig.6 Transient motion of rotor with different angular accelerations

假設轉子初始熱變形量為δ0=30μm，分析僅有熱變形激勵下轉子在不同角加速度下的瞬態啟動動力學特性，見圖6。

其振動特性隨角加速度的變化為隨著角加速度的增大,最大振幅逐漸減小，出現最大振幅的轉速滯后，并且在過臨界后出現振幅振蕩現象。在熱變形激勵下，轉子在各轉速下其激勵力幅值不發生改變，0r/min對應轉子的初始彎曲量，系統在低轉速下已具有較大的振動幅值；而隨著轉速的提高，過臨界后由于轉子自身的自定心作用，其在高轉速下幅值將小于不平衡響應產生的幅值，見圖6，在2000r/min前，系統振動已達到一個較大幅值，而當轉速高于二階臨界轉速后，系統振動幅值基本為0，出現自定心現象。初始熱變形對轉子低速下的振動有顯著影響。

圖7　各階臨界轉速及對應振幅隨角加速度變化曲線 Fig.7 Curves of critical speeds and the corresponding amplitudes variation with angle acceleration

轉子熱變形激勵下臨界轉速及幅值隨角加速度的改變見圖7。

可見，在熱變形激勵下，轉子前兩階臨界轉速隨角加速度的增加呈增大趨勢，而對應的振幅隨角加速度的增加而逐漸減小，其中一階對應的幅值減小明顯，而二階對應的幅值基本不發生改變，均處在較低水平。

以角加速度a=500rad/s2為例，分析轉子系統在初始熱變形激勵下的軸心軌跡，分別考慮亞臨界、過臨界和超臨界三個階段，其軸心軌跡見圖8至圖10。

圖8 熱變形下轉子亞臨界階段軸心軌跡Fig.8Orbitofrotorwiththermaldeformationinsubcriticalphase圖9 熱變形下轉子過臨界階段軸心軌跡Fig.9Orbitofrotorwiththermaldeformationatcriticalstages圖10 熱變形下轉子超臨界階段軸心軌跡Fig.10Orbitofrotorwiththermaldeformationinsupercriticalphase

可見，在亞臨界階段啟動初期，由于初始彎曲量的存在以及熱變形激勵保持恒定，因此轉子在低速下軸心軌跡的圓形半徑與轉子初始彎曲量接近，過臨界轉速時振幅先增大后減小。在超臨界范圍，轉子出現振幅振蕩的現象，其軸心軌跡半徑先減小、后增大、再減小、再增大的循環，見圖10。整體而言，其軸心軌跡始終為圓形。轉子在高速下，其振動幅值則由于自定心作用而小于不平衡響應，這是轉子初始彎曲量引起的振動與不平衡引起的振動的最大不同。

分析熱變形激勵下轉子瞬態過程中的振蕩現象，其在角加速度為300、400、500、600、700rad/s2時的振幅對數衰減率見圖11。

圖11　對數衰減率隨角加速度變化 Fig.11 Curve of logarithmic decrement varying with angle acceleration

在給定的角加速度變化范圍內，隨角加速度的增加呈減小的趨勢，由于轉子過臨界振幅減小幅度很小，隨著其對數衰減率的進一步減小，其在高角加速度下過臨界后的振幅振蕩將更難恢復穩定，其振蕩跨越的轉速范圍隨著角加速度的增大而逐漸增大。

實際運行中，熱變形均將伴隨著轉子自身的不平衡共同影響轉子的運行，下一節將具體分析當熱變形與不平衡共同作用在轉子上時，轉子在瞬態啟動過程中的動力學特性。

4熱變形與不平衡的共同激勵

在實際轉子運行過程中，轉子自身的不平衡是始終存在的，而當轉子停機一定時間后，將出現熱變形。在隨后的熱態啟動過程中，轉子將承受不平衡激勵與熱變形激勵的共同作用，見圖12。

圖12　初始熱變形和不平衡的組合示意圖 Fig.12 Schematic of the combination of initial thermal bending and unbalance

(14)

以下將分別分析不平衡激勵與熱變形激勵的相位差、熱變形激勵大小以及啟動角加速度對不平衡與熱變形共同作用下，轉子動力學特性的影響。

4.1轉子瞬態動力學特性隨相位差變化

首先固定轉子的不平衡量與初始熱變形量大小，并保持角加速度a=150rad/s2，并改變其相位差，使其在0°～180°范圍內變化。

圖13　轉子瞬態響應隨相位差變化圖 Fig.13 Transient response of rotor with difference phases

從圖13可以看到，在a=150rad/s2時，系統一、二階臨界轉速基本不隨不平衡和熱變形激勵相位差的變化而改變，但過一、二階臨界轉速的響應幅值隨相位差的增大而明顯改變。其中，一階幅值隨著相位差的增大而大幅減小，而二階幅值隨著相位差的增大而略有增大。此外，在相位差接近180°時，其幅值在過一階臨界后會迅速減小至接近0μm ，在5000r/min 附近達到最小值，而在低相位差時沒有此類現象。當轉速高于二階臨界轉速后，轉子的響應幅值基本不受相位差的影響。

可見，當不平衡激勵與熱變形激勵相位差接近180°時，由兩者分別引起的振動響應將在一階臨界附近互相抵消，可以有效的提高系統的可靠性，而當系統轉速較高時，由于此時熱變形激勵對系統動力學響應的影響很小，系統在高轉速下的振動將只受固有不平衡的影響。

4.2轉子瞬態動力學特性隨熱變形等效激勵力變化

固定相位差不變，并保持角加速度a=150rad/s2，僅改變初始熱變形量的大小為原有的1倍～3倍，轉子瞬態振動特性見圖14。

圖14　響應隨彎曲量變化圖(0°) Fig.14 Transient response with difference bending(0°)

圖14僅以0°相位差為例，其他相位差下與圖14相似，只有響應幅值略有差別。隨著彎曲量的增大，轉子的一階臨界轉速對應幅值線性增大，而二階臨界轉速對應幅值的變化情況與系統熱變形與不平衡的相位差有關。系統前兩階臨界轉速也隨彎曲量變化略有差別，具體規律如下。

由圖15和圖16可知，隨相位差的改變，系統前兩階臨界轉速與對應幅值隨彎曲量變化也不完全相同，只有一階臨界轉速對應的響應幅值在各個相位下均隨著彎曲量的增大而線性增大，且隨著相位差的增大而逐漸減小，這是由于在低速下，彎曲量引起的響應幅值占系統總振動響應的主要部分，因此受彎曲量變化的影響，其一階響應幅值變化規律始終一致；而對于一階臨界轉速，在相位差為0°和60°時，其隨著熱變形量的增大均呈下降趨勢，且變化幅度很小，而當相位差為120°和180°時，轉子一階臨界轉速隨彎曲量增大而略有增大，并趨于穩定；對二階特性，其相位差0°時，二階臨界轉速隨彎曲量增大而增大，對應幅值隨彎曲量增大而減小，而在60°、120°和180°時，規律相反。

圖15　臨界轉速隨彎曲量變化圖 Fig.15 Curves of critical speed varying with the bending

圖16　臨界響應幅值隨彎曲量變化圖 Fig.16 Curves of response amplitude varying with bending

系統響應特性隨相位差、彎曲量變化規律復雜，這一方面是由于彎曲量引起的振動響應僅在低速下比較明顯，高速時其響應趨近于零；另一方面，相位差的存在使得不平衡響應與熱變形激勵響應的位置發生變化，其疊加結果將產生上述變化規律。因此，在某些特定的初始彎曲條件下，適當的增大彎曲量的大小有助于減小轉子過臨界時的振幅，但并不是適用于所有熱變形情況，這點需在工程實際應用中重點考慮。

4.3轉子瞬態動力學特性隨角加速度變化

在相位差和熱變形等效激勵力一定的情況，分析不同角加速度對轉子動力學特性的影響。

圖17　響應隨角加速度變化圖(左45°右135°) Fig.17 Diagram of response varying with angle acceleration(left 45°right 135°)

見圖17，角加速度對轉子動力學特性的影響規律在不同的相位差和彎曲力大小下略有不同，但具有一定的共性。隨著角加速度的增大，系統過一階臨界轉速后的幅值振蕩現象變得更為明顯，系統更不易恢復平穩；此外，由于不同相位差對系統過一階臨界轉速和二階臨界轉速的幅值的影響，隨著相位差加大，一階幅值減小，二階幅值增大，使得系統過二階的振蕩現象在135°相位差下更為顯著，同時，系統各階臨界轉速隨角加速度的增大略有增大，但幅度很小，在以上三維圖中不易察覺。

角加速度在各個相位差下對系統振動響應的影響規律基本一致，對系統一、二階臨界轉速的影響很小，系統過臨界后的振幅振蕩現象隨著角加速度的增大顯著加強，相位差僅影響系統過前兩階臨界轉速的幅值。

5熱彎曲衰減下轉子瞬態動力學特性分析

燃氣輪機轉子在運行一段時間停機后，有各種因素使得轉子出現熱變形現象，例如燃氣輪機停車后氣流通道中的空氣不斷吸收轉子的熱量而溫度不斷升高，在此過程中冷空氣不斷下沉，熱空氣上升，使得轉子沿周向溫度分布不均勻，而這種不均勻熱膨脹會導致轉子產生熱變形。帶著這個初始彎曲量會使燃氣輪機工作初期振動響應急劇增大，尤其是過臨界時振幅的增大將對機組的安全性造成威脅，因此研究燃氣輪機轉子啟動過程的熱變形變化很有必要。

5.1啟動過程轉子彎曲量變化

仍以上述燃氣輪機轉子模型為例，轉子熱啟動前由于上熱下冷的空氣溫度使得轉子上下產生溫差引起初始熱變形，而啟動后轉子工作于額定工況,在壓氣機端空氣入口處沿軸向存在線性的溫度梯度，而燃燒室后面的渦輪盤則處于均勻的工作溫度，由設計參數決定。整個轉子的變形量將會隨著時間逐漸減小，本節主要研究此過程中轉子的變形規律。

燃氣輪機熱啟動前，轉子的初始溫度分布見圖18。

圖18　初始溫度分布云圖 Fig.18 The initial temperature distribution

受轉子周圍下冷上熱空氣的影響，轉子熱啟動前的轉子表面的溫度分布沿豎直方向線性分布，其中轉子頂端的溫度達到最大，約200℃；底端接近室溫。

圖19　轉子豎直方向變形示意圖 Fig.19 Schematic diagram of rotor of vertical deformation

由于轉子受到兩端軸承的約束作用，故轉子軸承間的部分變形近似于一階彎曲；而末端渦輪盤的變形類似懸臂梁的一階彎曲；轉子的總體以及參考點的位移值見圖19。

轉子在停機后產生變形，最大變形量發生在第四級壓氣機級，沿高度方向升高0.2088mm，同時由于受到軸承的約束作用，在渦輪端會產生相反方向的變形，約降低0.01mm。

燃氣輪機進行熱啟動后，轉子軸線的平均熱變形量隨時間的變化規律見圖20。

圖20　各節點隨時間的豎直變形量的變化規律 Fig.20 Vertical deformations changing with time

圖20表明：啟動后轉子軸線的變形量隨著時間逐漸減小，直至恢復平衡位置，并且軸線的變形在壓氣機級以及渦輪級都比較明顯，變形形式較為復雜，運行過程中，壓氣機各級受到有空氣入口沿軸向線性分布的溫度載荷作用，因此越靠近渦輪盤的部分位移變化率越快，隨著運行時間增加，轉子各部分溫度趨于一致，軸線恢復至平衡位置。

5.2轉子在熱變形隨啟動過程衰減的瞬態動力學響應

根據轉子三維熱分析結果，以10s啟動為例，轉子由靜止勻加速至工作轉速8000r/min ，角加速度a=80.7rad/s2。轉子啟動過程及后續10s內最大彎曲量隨時間變化見圖21。

圖21　轉子最大熱彎曲量隨時間衰減示意圖 Fig.21 Maximum thermal bending of rotor decaying with time

可見，在10s啟動結束時，轉子彎曲量基本為零，10s啟動過程中彎曲量隨時間的變化可由多項式擬合得到其表達式。

δ(t)=-0.000014t5+0.000447t4-0.005547t3+

0.034697t2-0.118224t+0.208813

(15)

將彎曲量表達式引入系統瞬態動力學方程，由數值積分方法可得轉子系統在瞬態啟動過程中考慮彎曲衰減的動力學特性，見圖22。

圖22　初始彎曲量衰減過程系統瞬態響應 Fig.22 Transient response of the system with initial bending decay

與不考慮初始變形量衰減的瞬態響應相比，在啟動初始，彎曲量未開始衰減，其瞬態振動幅值與不衰減情況一致，隨著啟動的繼續，轉子轉速升高，其彎曲量也見圖21迅速減少，引起其響應幅值在未達到2500r/min時隨轉速升高而減小，在接近臨界轉速后又逐漸升高，但過臨界峰值與不考慮熱變形衰減的情況相比，大幅減小，在高轉速下，盡管系統彎曲量繼續減小，但由于熱變形激勵對系統振動的影響在高轉速下基本可以忽略，所以兩者在高轉速下響應幅值相差不大，主要由轉子本身不平衡引起。

因此，在分析實際轉子啟動過程時，需要考慮隨著轉子的旋轉，溫度分布逐漸均勻而引起的初始變形量衰減對系統振動特性的影響，如此才能使仿真結果更符合實際轉子瞬態啟動過程。

6結論

本文根據瞬態轉子動力學運動方程，基于有限單元法對燃氣輪機轉子離散化建模；根據轉子熱變形特點，將轉子熱變形等效為彎曲激勵力，分析具有初始熱變形量的轉子在不同啟動過程的瞬態動力學響應；考慮轉子不平衡與熱變形共同作用下，轉子的瞬態動力學響應；根據有限元仿真，得到具有初始熱變形的轉子，再次啟動時轉子的熱變形衰減規律，并分析彎曲衰減過程中啟動的振動現象，發現以下規律性結論：

(1)在低速時由于初始熱變形量的存在，系統具有較大的振動幅值，而當轉速高于二階臨界轉速時，系統響應幅值由于熱變形自定心作用而趨近于零；

(2)隨著系統啟動的加快，轉子前兩階臨界轉速出現滯后現象，且對應幅值有所降低；

(3)熱變形與不平衡共同作用在轉子上時，其瞬態響應特性與二者相位差、相對大小及角加速度均有關系，其總體振動響應近似于兩者單獨響應的矢量疊加，而隨角加速度的變化規律基本一致；

(4)由停機過程溫度上下不均引起的轉子初始彎曲量，在重啟動時會隨著進汽溫度的升高而逐漸衰減，使得實際熱變形對轉子的振動影響沒有初始變形量那么大，為得到實際啟動過程的瞬態動力學響應，在分析時需要考慮轉子初始變形量的衰減現象。

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第一作者趙浩江男，博士，1986年生

通信作者劉榮強男，博士，教授,博士生導師，1965年生