改進多尺度法求解環形極板機電耦合強非線性系統主共振的研究

改進多尺度法求解環形極板機電耦合強非線性系統主共振的研究

楊志安1，李熙2,孟佳佳3

(1.唐山學院唐山市結構與振動工程重點實驗室，河北唐山063000； 2.天津大學機械工程學院，天津300072； 3.河北聯合大學機械工程學院，河北唐山063009)

摘要：研究環形極板機電耦合系統的強非線性問題。按照彈性力學理論建立環形極板機電耦合系統的動力學方程，利用Galerkin方法將其轉化為非線性振動方程。轉化后的振動方程是杜芬-馬修方程，有兩個外激頻率。應用多尺度法求得系統的主共振的幅頻響應曲線，分析了不同的系統參數對共振的影響。

關鍵詞：環形極板機電耦合系統；改進多尺度法；強非線性；簡諧激勵；主共振

中圖分類號:O322

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.033

Abstract:In order to study primary resonance of an annular plate electromechanical coupled strong nonlinear system, the nonlinear dynamic equation of the system was established by applying the elastic theory. The nonlinear oscillation equation was obtained based on Galerkin’s method. It was a Duffing-Mathieu equation with two external excitation frequencies. The approximation solutions to the primary resonance of the system were gained with the improved multi-scale method. The influences of different system parameters on the primary resonance of the system were analyzed in detail.

Improved multi-scale method for primary resonance of an annular plate electromechanical coupled strong nonlinear system

YANGZhi-an1,LIXi2,MENGJia-jia2(1. Tangshan Municipal Key Laboratory of Structure and Vibration, Tangshan College, Tangshan 063000, China;2. School of Mechanical Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China; 3. College of Mechanical Engineering, Hebei United University, Tangshan 063009, China)

Key words:annular plate electromechanical coupled system; improved multi-scale method; strong nonlinear; harmonic excitation; primary resonance

機電耦合系統廣泛存在于工農業生產和科學技術領域，在國民經濟發展中占有重要的地位[1]。環形板在工程中有廣泛的應用，在一些空間立體結構、電子元器件、和旋轉機械等都可以看到環形板的存在。微電子機械系統中的環形極板機電耦合系統屬于典型的機電耦合系統。將環形板應用到機電耦合系統中有一定的優點。在機電耦合系統中環形薄板內外邊緣都可以固定，相對于微梁和圓薄板具有穩定性好，可操作性高等優點。關于環形板的研究已經有一些成果。love[2]首次嘗試解決圓環平面振動的問題，推到出了環形薄板在自由邊界條件下的運動方程和通解。Irie等[3]利用矩陣的傳遞公式計算了環形板不同邊界條件下在平面內振動的固有頻率，但是不同邊界條件對應的振型沒有給出。Ambati等[4]提出了環形板平面振動分析一般化的公式，對于圓盤和圓環都適用，作者還通過試驗對分析結果進行了驗證。Arafat等[5]研究了邊界固定環形板在軸對稱的熱載荷作用下的非線性強迫振動，結合馮·卡門板的方程和熱傳導方程描述系統的運動，利用解析和數值的方法分析了環形板在主共振附近的一個模態在簡諧激勵下的振動。 Arafat等[6]研究了受熱載荷以及邊界固定條件下的環形板在一階和二階軸對稱模態之間發生三分之一內共振時的強迫振動，考慮環形板內部受軸對稱熱載荷，外部受到二階模態主共振附近簡諧力的激勵，利用馮·卡門板的方程描述系統的振動，應用多尺度法研究系統的響應，發現兩種模態下系統會發生周期振動，其中大部分周期振動來自一階模態，另外周期解會經歷Hopf分岔從而導致環形板發生非周期振動。

系統的主共振是不考慮系統動力學方程中參數項的影響，令外部激勵的頻率與系統的固有頻率相接近而引起的共振現象。系統在主共振情況下同樣具有復雜的動力學現象,熊蕊等[7]研究了含PID控制器的遲滯非線性閉環控制系統在簡諧激勵下的主共振，利用奇異性理論對分岔方程進行了分析，得到了轉遷集和分岔圖，并分析了系統參數對開折參數和分岔參數的影響。本文研究環形極板機電耦合強非線性系統在簡諧激勵下的主共振問題。

1環形極板機電耦合系統基本方程

圖1　靜電驅動環形極板耦合模型 Fig.1 Model of coupled annular plate actuated by an electric load

見圖1，環形電容器在電路中的模型。在軸對稱情況下，考慮圓環的內半徑為r1，外半徑為r2，厚度為h，阻尼系數為c，面密度為ρ，該圓環有橫向均勻分布的對稱載荷電磁力F。由F激起的軸對稱振動模式，其基本方程為動力學馮·卡門偏微分方程，即：

(1)

(2)

電容器的環形極板，假定內外邊緣為固定加緊。即邊界條件為：

(3)

應用伽遼金法求解非線性振動控制方程，將撓度函數進行時間與空間的分離，即設定環形極板的瞬間撓度為：

W(ξ,t)=hx(t)w(ξ)

(4)

式中：h為環形電容器極板的厚度，x(t)是關于時間t的無量綱函數，由振動控制方程給出。在軸對稱橫向均勻載荷電磁力F的激勵下，設w(ξ)為無量綱的偶數項冪函數，即

w(ξ)=c0+c2ξ2+c4ξ4+c6ξ6+ξ8

(5)

將式(5)代入式(4)，在進行求導運算得：

由環形極板邊緣固定夾緊的邊界條件得：

(7)

式中的環形極板厚度h與關于時間的x(t)均為無量綱函數，兩者都不能恒為零，在極板外邊緣固定時，即在ξ=1時有：

(8)

同理考慮環形極板內邊緣固定(ξ=0.41)時邊界條件：

(9)

聯立式(8)和式(9)解得：

c0=0.0283；c2=-0.3927；c4=1.7007；c6=-2.3362。

將c0、c2、c4、c6的值代入式(2)整理可得：

(10)

解上式可得：

(11)

將式(4)、式(5)和式(11)代入式(1)得：

(12)

應用伽遼金法消除殘余值得：

(13)

計算上式可得：

(14)

等式(14)右端的交變電壓為：v(t)=v0sinω1t(式中v0為交變電壓的幅值，ω1為交變電壓的頻率)，則有：

(15)

(16)

其中等號右端分母可以由泰勒級數進行展開為：

(17)

將式(17)代入式(16)整理可得：

2η2sinω1t)u(t)+(3η1cos2ω1t-

3η2sinω1t)u2(t)+(η3+4η1cos2ω1t-

4η2sinω1t)u3(t)=-η1cos2ω1t+η2sinω1t

(18)

2環形極板機電耦合系統主共振理論分析

通過代入數據可知，非線性項系數的數量級比線性項系數的數量級大，可以確定靜電驅動下環形極板機電耦合模型數學方程(18)為強非線性方程，且有兩個不同的外激頻率。下面研究主共振的定常運動方程，不考慮參數項的影響，在阻尼項、杜芬項和激勵項前引入非小量參數ε得系統的振動方程為：

4η2sinω1t)u3-η1cos2ω1t+η2sinω1t]

(19)

令：

(20)

引入參數變換：

(21)

則有：

(22)

將小參數α引入到多尺度方法中，設方程(19)的一次漸近解為：

u(t,α)=u0(T0,T1)+αu1(T0,T1)+…

(23)

式中：T0=t，T1=αt。

將式(22)、(23)代入方程(19)且比較α同次冪的系數，得到一組線性偏微分方程：

(24)

(25)

式(24)的解為：

(26)

式中：

(27)

將式(26)代入式(25)可以得到消除長期項的條件為：

(28)

式中：

(29)

將式(27)、(29)代入式(28)，整理可得：

(30)

(31)

3數值計算及結果分析

參考文獻為了定量求解給各個參數賦值。電容器環形極板取值[8-9]，極板內外邊緣固定且ξ=0.41，具體值為：E=200GPa，γ=0.27，ρ=2300kg/m`3，c=1.2kg·m/s`3，h=1.5 μm，d=85μm，r2=760μm，v0=3V，vp=3V， ε0=8.85×10`(-12)，εr=1。按式(31)用Matlab語言可以計算系統不同參數的幅頻響應曲線，分析系統參數對幅頻響應曲線的影響。

圖2～圖6為系統主共振不同參數下的幅頻響應曲線，可以看出他們具有單共振峰，且向右傾斜，呈現系統的硬特性特征。

圖2　幅頻響應曲線 Fig.2 Frequence-response curves

圖2是取不同外徑r2時的幅頻響應曲線，從圖中可以振幅和共振區隨外徑的減小而減小，這是由于減小極板半徑極板彎曲剛度增大的緣故。

圖3　幅頻響應曲線 Fig.3 Frequence-response curves

圖3為不同的極板間距對應的幅頻響應曲線，可以看出極板間距越大振幅和共振區越小。這是因為增大極板間距極板間的電磁力減小的緣故。

圖4　幅頻響應曲線圖 Fig.4 Frequence-response curves

圖5　幅頻響應曲線圖 Fig.5 Frequence-response curves

圖6　幅頻響應曲線 Fig.6 Frequence-response curves

圖4是不同的極板厚度對應的幅頻響應曲線，可以看出極板厚度越大振幅越小，這是由于這是因為增加極板厚度極板彎曲剛度增大的緣故。但是在圖4取值范圍內改變極板的厚度對共振區的影響不是太顯著。圖5是不同的交流電壓對應的幅頻響應曲線，增大電壓幅值振幅和共振區明顯的增加，這是由于增大電壓的幅值可以使極板間電磁力增大的緣故。圖6是不同阻尼系數下的幅頻響應曲線，可以看出阻尼越大振幅就越小。

4結論

(1)建立了環形極板機電耦合系統的動力學方程。通過代入參數比較線性項與非線性項的系數可知環形極板機電耦合系統為強非線性系統。

(2)將參數變換思想應用到多尺度法中可以對其進行求解。數值計算結果分析顯示：增大交流電壓幅值，可以增大振幅和共振區；增大極板間距可以減小振幅和共振區；增大阻尼系數和極板剛度對振幅有抑制作用。

[1]邱家俊. 機電偶聯動力系統非線性振動[M]. 北京: 科學出版社, 1996.

[2]Love A. A treatise on the mathematical theory of elasticity[M]. New York： Dover Publications, 1944.

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[6]Arafat H N, Neyfeh A H. Modal interations in the vibration of a heated annular plate [J]. International Journal of Nonlinear Mechanics, 2004,39(10):1671-1685.

[7]熊蕊, 劉向東. 含PID控制器的遲滯非線性控制系統的主共振及奇異性[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(8):72-77.

XIONG Rui, LIU Xiang-dong. Principal resonance and singularity of a hysteretic nonlinear control system with a PID controller [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(8):72-77.

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YANG Zhi-an, JIA Shang-shuai. Analysis of the 1∶2 internal resonance of coupled RLC circuit and microbeam system [J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2010, 27(1):80-85.