含空間約束航天器線纜力學建模方法

第一作者游斌弟男，博士，副教授，1981年5月生

含空間約束航天器線纜力學建模方法

游斌弟，鄭天驕，陳軍，楊斌久

(哈爾濱工業大學船舶與海洋工程學院，山東威海264209)

摘要：為克服離散化模型弊端，使線纜能適應航天器內復雜空間約束工況，基于彈性細桿思想，提出含空間約束的航天器線纜力學建模方法建立線纜連續型力學模型。通過線纜慣性坐標系與局部坐標系描述線纜空間位置與形態，推導考慮線纜自重與空間約束作用的靜力平衡方程，分析布線過程中典型空間約束工況，并構建無約束、端點約束、接觸面約束及卡箍約束下線纜力學模型。用數值方法對典型約束工況下線纜力學模型進行計算與分析，獲得線纜在無約束、接觸面約束及卡箍約束下的受力規律。結果表明，布線過程中合理組合卡箍約束與接觸面約束可有效提高線纜的力學性能，從而驗證所建模型的普適性與可行性。

關鍵詞：柔性線纜；力學建模；空間約束；仿真分析

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51205079);微小型航天器技術國防重點學科實驗室開放基金資助(HIT.KLOF.01507374);中國博士后基金資助(2013M541358)

收稿日期：2014-05-05修改稿收到日期：2014-08-07

中圖分類號:TB124；O331文獻標志碼：A

Mechanics modeling of spacecraft cable considering spatial constraints

YOUBin-di，ZHENGTian-jiao，CHENJun，YANGBin-jiu(School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Harbin Institute of Technology, Weihai 264209, China)

Abstract:In order to overcome the drawbacks of discrete model and adapt to the complex spatial constraints in spacecraft, a mechanics modeling method of spacecraft cable considering spatial constraints was proposed based on the assumption of continuous thin elastic rod. A continuous mechanics model of the cable was established. The spatial position and attitude of the cable were described by inertial coordinate system and local coordinate system. And then, a static equilibrium equation of the cable considering deadweight and spatial constraints was deduced. Typical conditions of space constraints in the routing process were analyzed. Furthermore, mechanics models of the cable with none constraint, endpoint constraint, contact surface constraint and clamp constraint were established, and they were solved and analyzed using numerical method. The regularities of forces of the cable with none constraint, contact surface constraint and clamp constraint were obtained. The results show that mechanical properties of the cable can be improved effectively by combining the clamp constraint and contact surface constraint reasonably in the routing process. The universality and feasibility of the model were verified. The conclusions have important academic value and engineering significance to the mechanics modeling of the flexible cable and routing process.

Key words:flexible cable; mechanics modeling; spatial constraint; simulation analysis

衛星等航天器在軌工作時星地、星星之間信息交互頻繁，工作能源、信息傳遞均由柔性線纜提供，因此，線纜種類繁雜、數量眾多，且線纜的可靠性與安全性要求極高。為防止線纜在布線過程中約束作用下力學拉傷、過度扭轉纏繞或彎曲半徑過小導致力學特性下降，需對信號與能源線纜的力學特性進行分析研究。

關于對物理特性線纜等柔性體建模，較典型的有虛擬線纜模型[1]、“質點-彈簧”模型[2]、質量離散模型[3]及離散控制點模型[4]。該諸多模型均基于離散單元化思想，利用節點與剛性桿件組合替代線纜，雖便于控制，但離散后線纜自由度有限，難以精確擬合實際線纜復雜的空間幾何形態，且不能滿足航天器內復雜結構的空間布局及約束條件。因此，需建立滿足線纜幾何、物理特性要求的連續型模型。彈性細桿的非線性力學特性已廣泛用于立管、植物細莖及DNA結構建模[5-7]。而Coyne等[8]以海底電纜為背景，主要對穩定性問題進行研究。劉檢華等[9-10]以基于彈性細桿理論為基礎建立活動線纜的物性模型，一定程度上解決了柔性線纜的建模問題；但其著重研究虛擬環境下活動線纜的運動仿真，建模中并未針對實際工況，考慮空間、載荷約束對線纜的力學特性進行研究。

本文基于彈性細桿思想，通過建立線纜慣性、局部坐標系對其空間位形進行描述；在此基礎上，考慮線纜自重與空間約束作用，推導線纜的靜力平衡方程；通過對航天器內實際約束分析簡化，針對典型約束工況，建立典型約束工況下滿足實際要求的線纜力學模型，且選算例對力學模型仿真分析，驗證模型的適用性、可行性。該模型也可為其它類柔性體力學建模問題提供借鑒。

1線纜位形描述

為建立柔性線纜力學模型，需對其空間位姿與形態進行描述，建立固定的慣性坐標系(O-ξηζ)與線纜隨動局部坐標系(P-xyz)，用以表達線纜的空間位形，見圖1。圖中，坐標系(P-αβγ)可表達線纜中心線的幾何姿態，其中γ軸與α軸分別為中心線切線方向與法線方向，β軸與γ軸及α軸相互正交。切線方向γ與矢量β隨中心線弧坐標s的變化率為中心線曲率κ與撓率τ，由曲率、撓率可確定線纜中心線姿態。

圖1　線纜坐標系描述 Fig.1 Description of the coordinate systems of cable

實際線纜具有一定截面積，裝配及布線過程中存在扭轉運動，不能將線纜近似用其中心線表示。令坐標系(P-αβγ)沿軸γ旋轉過扭轉角χ獲得線纜局部坐標系(P-xyz)，即中心線任意一點P處建立的截面主軸坐標系，坐標系(P-αβγ)與局部坐標系(P-xyz)的轉換關系見表1。

表1　坐標系(P-αβγ)與 (P-xyz)轉換關系

線纜中心線姿態確定后，確定扭轉角χ便可獲得線纜整體空間姿態，即用曲率κ、撓率τ及扭轉角χ3個獨立變量可完整表達線纜的幾何形態。

局部坐標系(P-xyz)隨線纜弧長s不斷變化，引入ω為局部坐標系以弧長s為自變量相對慣性坐標系轉動角位移的變化率，則ω可由局部坐標系相對坐標系(P-αβγ)轉動角位移變化率與坐標系(P-αβγ)相對固定坐標系轉動角位移變化率合成，即

(1)

結合表1轉換關系，將ω表達式轉換到局部坐標系內，得

(2)

ω在局部坐標系坐標軸上的投影為

(3)

由式(3)可知，ωx，ωy，ωz可確定線纜曲率κ、撓率τ及扭轉角χ，即可確定線纜的空間姿態。故ωx，ωy，ωz同樣可作為柔性線纜的3個獨立變量表達線纜形態。

由于局部坐標系是隨動的，工程中需將局部坐標系中線纜姿態轉換到固定坐標系中描述。以定點O為原點建立慣性坐標系(O-ξηζ)，即固定的笛卡爾坐標系，通過一次平移加三次歐拉角旋轉實現慣性坐標系與局部坐標系的轉換。至此，由建立的柔性線纜慣性坐標系與局部坐標系已能完整表達線纜的空間位姿與形態。

2線纜力學建模

2.1基本假設與參數定義

圖2　柔性線纜弧段受力平衡圖 Fig.2 Static equilibrium of a section of cable

2.2線纜靜力平衡方程

線纜處于靜止時該段線纜為受力平衡狀態，將其受力向P2點轉化，則作用力在P2點的主矢與主矩均為0。記線纜自重平移到點P2產生的力矩為mGΔL，得平衡方程為

(4)

令

F1+F2=ΔF,M1+M2=ΔM

(5)

將式(4)相對弧坐標s求導，并轉化到局部坐標系中，結合ω定義得微分形式為

(6)

式(6)即柔性線纜考慮自重與約束作用下的靜力平衡方程。將式(6)分別投影到局部坐標軸上，得投影式為

(7)

(8)

式(7)、(8)即為柔性線纜靜力平衡方程投影式。式(6)～式(8)由文獻[11]拓展類比獲得。

設線纜不存在原始曲率與扭率且為線性本構關系，此時線纜內力主矩[12]表達為

Mx=EIxωx,My=EIyωy,Mz=GIzωz

(9)

式中：E，G分別為線纜材料彈性模量、剪切模量，因設線纜材料各向同性，故G=E/2(1+2μ)，μ為泊松比；Ix，Iy分別為線纜截面相對x，y軸慣性矩，因線纜為圓形截面，故Ix=Iy；Iz為相對z軸極慣性矩。

將式(9)代入式(8)，化簡得

(10)

因此，式(7)、式(10)組成關于Fx、Fy、Fz及ωx、ωy、ωz的封閉方程組。線纜幾何參數與物理參數確定時，已知其約束力與約束力矩，對方程組積分便可求得線纜內力Fx、Fy、Fz及ωx、ωy、ωz相對弧坐標s的變化函數，進而反推獲得此狀態下柔性線纜的幾何形態。亦可在慣性坐標系(O-ξηζ)中對ω進行歐拉變換，將ωx、ωy、ωz用歐拉角(進動角ψ、章動角θ、自轉角φ)表示，即

(11)

將式(11)代入式(7)、式(10)替換ωx、ωy、ωz，求解可得歐拉角ψ、θ、φ關于弧坐標s的變化函數，同樣可得柔性線纜的幾何形態。

3典型約束工況下線纜力學模型

圖3　典型的線纜約束工況 Fig.3 Typical constraint conditions of cable

所建線纜力學模型中約束項為廣義項，需據具體情形分析。由實際情形簡化所得典型布線工況見圖3。對航天器內線纜排布時約束工況進行分析，獲得柔性線纜的約束工況主要分為3類，即端點約束、卡箍約束及接觸面約束。需說明的是，實際裝配中能源與信號線多以線纜束形式布排，而本文研究只針對單根線纜，線纜束可以類比獲得。

3.1無約束

分析無約束情形。在某些線纜段上柔性線纜只受自重及線纜間內力作用，無約束，即不存在Q與MQ，此時其靜力平衡方程可簡化為

(12)

(13)

無約束作用時線纜內力會增大，完全承受自重，此時線纜受力較大，穩定性較差，易產生波動，需盡量避免此類情形出現。

3.2端點約束

線纜兩端一般與電氣接口相連，實現能源與信號的傳遞功能，保證整個系統正常運行。因此，端點均為固定約束，將線纜兩端固定于外殼體或零部件上，此時線纜曲率κ、撓率τ及扭角χ均為0，因此線纜在端點的邊界條件可由式(3)、式(9)獲得

(14)

由于局部坐標系各方向線纜自重均被固定約束力抵消，線纜所受內力及主矩均為0，且在該點固定不動，屬靜止狀態。此時線纜空間位形與受力情況可作為初始狀態。

3.3接觸面約束

布線時主要通過卡箍定位將線纜置于殼體或零部件的平面上，使線纜存在接觸面約束，即平面約束。線纜在接觸面存在彎曲及平面的兩個移動也會存在一定扭轉，線纜撓率τ=0，仍存在曲率κ與扭角χ，其邊界條件為

(15)

接觸面作用下ωz值發生變化，僅與扭角大小有關；線纜所受約束為分布作用，設分布力為qΔl，分布力矩為mqΔl，則靜力平衡方程為

(16)

將接觸面約束下線纜力學模型式(16)、式(17)與無約束作用時式(12)、式(13)比較知，線纜受到平面約束時在局部坐標系各坐標主軸方向多出的分布約束項可抵消部分線纜自重，提高線纜穩定性。

3.4卡箍約束

圖4　卡箍約束 Fig.4 The clamp constraint of cable

柔性線纜敷設、排布過程中大多使用卡箍對線纜約束定位，見圖4。

卡箍對線纜的作用亦為一種局部分布力約束，設約束力、約束力矩分別為qΔl，mqΔl。在此種情況下線纜自由度為2，即沿局部坐標系z軸移動及繞z軸轉動。線纜曲率κ與撓率τ為0，僅存在扭角χ。需注意的是，由于存在預緊力作用，線纜在z向亦會受到一定約束力，故卡箍約束邊界條件為

(18)

由式(7)、式(10)得卡箍約束下線纜的靜力平衡方程為

(19)

(20)

卡箍約束下在局部坐標系z向相鄰線纜自重由約束力抵消，線纜受的內力為該段線纜自重與約束力合力，在x，y軸方向約束力需抵消由ωz產生的力；在z軸上線纜因扭轉產生的力矩Mz與自身重力矩被約束力矩抵消，而x，y軸方向線纜不存在力矩項。

4典型約束工況下航天器線纜力學特性分析

以航天器中柔性線纜為研究對象，選我國衛星等小型航天器中常用的Raychem公司Spec55號線纜，取18號線規，幾何與物理參數見表2。

表2　Raychem Spec55線纜幾何、物理參數

對所建典型約束工況下線纜力學模型進行計算、仿真分析。由于線纜受力情形與幾何形態均隨線纜長度不斷變化，無明確的函數關系；由于布線工況復雜，較難獲得線纜靜力平衡方程解析解。因此利用Matlab進行數值計算。用Runge-Kutta 4、5階方法對線纜靜力平衡方程組進行數值求解。

4.1無約束工況算例

研究一端固定、一端自由線纜段無約束作用情形。線纜僅受自重作用，其初始條件由式(14)決定，線纜處于平衡狀態，所受內力初始值為單位值0，ω初始值為0。求解線纜在無約束情況下的靜力平衡方程，計算結果見圖5、圖6。由兩圖看出，線纜不受約束力處于穩定狀態時其內力與自重平衡，因重力影響且自重方向為正向，Fx與Fy值在震蕩中處于穩定狀態，Fz承受主要的自重力不斷增大；ωx，ωy值震蕩中處于穩定狀態接近周期性變化，因ωz只受線纜自重在z向力矩影響，故呈線性逐漸增大，以抵消重力矩。

由此可知，線纜屬于柔性體，自身阻尼較小，極易受外界擾動影響產生不規則運動。無約束工況下線纜在x，y軸方向無約束作用，故該兩方向內力值會受如自重等外界擾動因素影響，數值在穩定值上下劇烈震蕩，難達穩定狀態；距固定端越遠震蕩越劇烈。

圖5 無約束工況下線纜內力值Fig.5Internalforceofcablewithnoneconstraint圖6 無約束工況下線纜ω值Fig.6Theωofcablewithnoneconstraint圖7 接觸面約束下線纜內力值Fig.7Internalforceofcablewithcontactsurfaceconstraint

圖8 接觸面約束下線纜ω值Fig.8Theωofcablewithcontactsurfaceconstraint圖9 卡箍約束下線纜內力值Fig.9Internalforceofcablewithclampconstraint圖10 卡箍約束下線纜ωz值Fig.10Theωzofcablewithclampconstraint

4.2接觸面約束工況算例

研究一端固定、一端自由線纜段存在接觸面約束作用情形。此時線纜位于接觸面之上，受自重及接觸面約束作用，線纜初始條件由式(14)決定，邊界條件由式(15)決定。因此線纜處于平衡狀態時所受內力初始值為單位值0，ω初始值為0。求解線纜在接觸面約束情況下的靜力平衡方程，計算結果見圖7、圖8。將計算結果與圖5、圖6對比看出，接觸面約束工況下線纜內力與ω值變化規律與無約束時變化趨勢十分接近，不同之處在于約束的存在起到對線纜自重抵消作用，各項參數值變化率均大幅度變小，且變化趨于緩和。

4.3卡箍約束工況算例

計算分析一段受卡箍約束作用線纜，其邊界條件為式(18)，令線纜在卡箍作用下起點所受內力初始值為單位值1，ω初始值為0。由于卡箍中線纜的ωx，ωy值均為0，僅計算ωz，所得結果見圖9、圖10。由兩圖看出，線纜內力Fx與Fy值相同，由于卡箍的約束作用，Fx，Fy隨線纜長度增加逐漸被抵消，最終趨于穩定；而內力在z軸方向與約束力、重力合力呈線性關系，可保持平衡狀態；對ωz值與約束力矩、重力矩合力矩呈線性關系，隨線纜長度線性減小，由于約束作用，ωz沿初始值反向變化，并逐漸抵消初始值。

因此，線纜處于平衡狀態時受力作用主要集中于軸線方向，且距固定端越遠受力越大；接觸面約束與卡箍約束較無約束情形受力作用均大幅減小，卡箍約束可消除線纜在周向的不穩定顫動。故布排時用卡箍固定于殼體或零部件表面之上避免線纜懸空。通過數值仿真所得結果與實際符合，從而亦證實線纜力學模型的適用性。

5結論

(1)通過建立線纜慣性及局部坐標系完成對線纜位形的描述；考慮線纜自重與空間約束，建立連續型線纜力學模型。

(2)對布線過程中航天器內典型約束工況進行分析，獲得邊界條件，構建典型約束工況下線纜的力學模型。

(3)通過數值方法對典型約束工況下線纜力學模型計算分析，獲得線纜在無約束、接觸面約束及卡箍約束下受力規律，即接觸面、卡箍約束能大幅度減小線纜受力、提高力學性能。此對其它柔性繩索力學建模具有普適性、借鑒性。

參考文獻

[1]Hergenrother E, Dahne P. Real-time virtual cables based on kinematic simulation[C]// Proceedings of the WSCG, 2000: 402-409.

[2]Loock A, Schomer E. A virtual environment for interactive assembly simulation: from rigid bodies to deformable cables[C]//5th World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics (SCI’01), 2001: 325-332.

[3]Quisenberry J E, Arena A S. Discrete cable modeling and dynamic analysis[C]//44th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, Nevada, 2006: 1-16.

[4]劉檢華,萬畢樂,寧汝新. 虛擬環境下基于離散控制點的線纜裝配規劃技術[J].機械工程學報,2006,42(8):125-130.

LIU Jian-hua, WAN Bi-le, NING Ru-xin. Realization technology of cable harness process planning in virtual environment based on discrete control point modeling method[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2006, 42(8): 125-130.

[5]劉娟,黃維平. 鋼懸鏈式立管渦激振動流固耦合非線性分析方法研究[J]. 振動與沖擊,2014,33(3):41-45.

LIU Juan, HUANG Wei-ping. Fluid-structure interaction analysis for VIV of steel catenary risers[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(3): 41-45.

[6]Shi Y, Hearst J E. The kirchhoff elastic rod, the nonlinear schrodinger equation, and DNA supercoiling[J]. The Journal of Chemical Physics, 1994, 101: 5186-5200.

[7]Schlick T. Modeling superhelical DNA: recent analytical and dynamic approaches[J]. Current Opinion in Structural Biology, 1995, 5(2): 245-262.

[8]Coyne J. Analysis of the formation and elimination of loops in twisted cable[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering, 1990, 15(2): 72-83.

[9]劉檢華,趙濤,王春生,等. 虛擬環境下活動線纜物理特性建模與運動仿真技術[J]. 機械工程學報,2011,47(9):117-124.

LIU Jian-hua, ZHAO Tao, WANG Chun-sheng, et al. Motional cable harness physical characteristic oriented modeling and kinetic simulation technology in virtual environment[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(9): 117-124.

[10]Wang Chun-sheng, Ning Ru-xin, Liu Jian-hua, et al. Dynamic simulation and disturbance torque analyzing of motional cable harness based on Kirchhoff rod model[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2012, 25(2): 346-354.

[11]劉延柱. 彈性細桿的非線性力學[M]. 北京：清華大學出版社，2006.

[12]Liu Yan-zhu. On dynamics of elastic rod based on exact Cosserat model[J]. Chinese Physics B, 2009, 18(1): 1-8.