分層有限元模型下層合板聲功率優化設計

第一作者吳錦武男，博士，教授，1976年9月生

分層有限元模型下層合板聲功率優化設計

吳錦武，彭文輝，趙飛

(南昌航空大學飛行器工程學院，南昌330063)

摘要：基于遺傳算法對層合板結構輻射聲功率最小化進行鋪設角優化；利用分層有限元模型求解層合板固有頻率及振速分布；通過聲輻射模態理論計算結構輻射聲功率。以鋪設角作為設計變量、輻射聲功率作為優化變量，分別以某4層、8層層合板結構為例，研究不同頻率時聲功率最小化對應的優化鋪設角。數值分析結果表明，在同一優化鋪設角下，優化后第一階聲功率與輻射總聲功率差別不大；對相同層合板結構而言，隨頻率增加聲功率優化量增大；相同厚度下層合板鋪設層越多聲輻射功率優化量越小。

關鍵詞：遺傳算法；聲功率；分層有限元；復合層合板

基金項目：國家自然科學

收稿日期：2014-04-17修改稿收到日期：2014-08-14

中圖分類號:TB332；TH113.1文獻標志碼：A

基金項目：國家973計劃資助(2011CB013405)；國家杰出青年科學基金資助(51125023)

Optimal design of acoustic power of laminated composite plate based on layer-wise FEM

WUJin-wu,PENGWen-hui,ZHAOFei(School of Aircraft Engineering, Nanchang HangKong University, Nanchang 330063, China)

Abstract:An optimization method to minimize the sound power of laminated composite plate based on genetic algorithm was presented. A layerwise finite element model was imposed to determine the natural frequencies and velocity distributions of laminated composite plates. Based on the theory of acoustic radiation mode, the radiated sound power was calculated. A four-layer and an eight-layer laminated plate were used as examples, the fiber orientation angles were taken as design variables and the minimization of sound power was chosen as design objective. The optimal orientation angles to achieve sound power minimization were discussed under different frequencies. The numerical simulations show that the first order sound power and the total sound power are basically identical under the same optimum orientation angle. For laminated composite plates with the same structure, the optimal amount of radiated sound power increases with the increase of vibration frequency. And for laminated composite plates, with the same thickness, the optimal amount of radiated sound power is smaller, the more the layer number of the plate.

Key words:genetic algorithm; sound power; layerwise finite element; laminated composite plates

復合材料因比強度大、比剛度高、性能可設計等特點廣泛用于航空航天、汽車、船舶等領域。復合材料層合板結構減震降噪優化設計頗受關注[1-8]，其設計分析、鋪層優化方法已成重要研究課題。

減振優化設計，針對優化層合板結構鋪設角度主要分兩類：①若外激勵頻率不高，通過提高基頻可減少共振可能性，此時層合板結構優化以基頻最大化為優化目標函數。羅志軍等[1]以第一階固有頻率最大化為目標函數，以鋪層順序為設計變量，將遺傳算法與有限元軟件相結合，對層合板鋪層順序進行優化。為獲得層合板最大臨界屈曲載荷系數及最大固有基頻，唐文艷等[2]采用改進的遺傳算法將鋪層角度作為離散變量對層合板鋪層順序優化設計。晏飛等[3]利用遺傳算法針對復合材料層合板基頻、鋪設角度等優化研究。②若外部激勵頻率過高，常用增大相鄰兩階固有頻率間隔減少產生共振的風險。Adali等[4]以最大基頻、最高頻率間隔為設計變量在自由振動下確定對稱層合板最佳鋪層順序，但為節省計算時間，其將纖維鋪設方向限制于預選的4個不同角度。

聲優化設計，以層合板受外激勵作用的聲輻射功率最小為設計變量，優化復合材料鋪層順序[5-6]。陳爐云等[7]利用遺傳算法以聲輻射功率最小化為目標函數，對層合板鋪設層數、厚度及鋪層順序等進行集成優化設計。

以上研究一般基于等效單層板理論分析其動力學特性。由于該單層板理論分析層合板結構振動特性時忽略板橫向剪切變形，會導致位移、應力偏小、固有頻率偏高。本文擬通過分層理論結合有限元方法分析固有頻率，在考慮層合板結構振動前提下結合聲輻射模態理論，采用遺傳算法，以輻射聲功率最小化為目標函數對復合材料層合板鋪設角度鋪層順序進行優化設計。

1結構動力響應

基于分層理論沿板厚方向采用分層插值，層合板結構物理模型見圖1。

圖1　層合板結構坐標圖 Fig.1 Laminated plate geometry and coordinate system

層合板結構位移場[9]可表示為

(1)

式中：U(x,y,z,t)，V(x,y,z,t)，W(x,y,z,t)分別為x,y,z方向位移；n為鋪設層數；2n+1為插值面數；ui(x,y,t)，vi(x,y,t)，wi(x,y,t)為第i個插值平面內hj方向位移；Ψ1(z)為沿厚度方向離散化平面內位移全局插值函數,取值為

(2)

式中：zk為第k個插值層坐標；φ1i,φ2i為沿厚度方

向離散化橫向位移全局插值函數，分別等于

(3)

(4)

式中：vi(x,y,t)為層合板第j個鋪設層厚度；wi(x,y,t)為板厚局部坐標。

據有限元理論，采用四節點矩形單元，式(1)中ui(x,y,t),vi(x,y,t)，wi(x,y,t)可表示為

(5)

式中：m為有限元單元節點數；Nk(x,y)為形函數表達式；uk,vk,wk為有限元節點k處x,y,z坐標；T(t)為時間函數。

將式(5)及節點形函數代入式(1)，得單元形函數矩陣N為

(6)

據彈性力學位移-應變關系，單元應變矩陣為

(7)

式中：

(8)

正交材料應力應變關系矩陣為

[σ]=D[ε]

(9)

(10)

據有限元理論，層合板結構動力學方程為

(11)

式中：M為單元質量矩陣；K為單元剛度矩陣； C為阻尼矩陣；F為單元等效節點力矩陣。

2結構輻射聲功率

設振動平板表面積S置于無窮大剛性障板上，以圓頻率ω向上半空間輻射聲。聲場介質密度為ρ,聲速為c。振動板表面分成J個等面積單元。設每個單元長度遠小于聲波波長，其法向速度構成速度向量為U(ω)。總聲功率W(ω)[10]可表示為

(12)

式中：上標H為復數共軛轉置；R為阻抗矩陣；W1(ω)為第一階聲輻射模態對應輻射聲功率。

由聲輻射模態理論[11]可知，低頻時板結構前幾階聲輻射模態聲功率占總聲功率絕大部分，其中第一階聲功率W1(ω)占總輻射聲功率比重最大。本文以第一階輻射聲功率及總聲功率為目標函數對鋪設角度進行優化，比較最優值。

3遺傳算法

圖2　聲功率最小化遺傳算法計算流程圖 Fig.2 Genetic algorithm frame diagram of sound power minimization

諸多工程應用中，層合板結構纖維鋪設角度常局限于一定范圍內，如0，30，45，90等，層合板鋪層順序優化即成為離散變量優化問題， 且存在多個極值點，用傳統優化求解方法較困難。較傳統優化方法遺傳算法具有以決策變量編碼作為運算對象，可處理規模較大問題；可進行多點搜索，具有良好的全局搜索能力；直接以目標函數值作為搜索信息，可用于不連續變量等優點[12]。本文利用matlab遺傳算法工具箱[13]求解復合材料層合板鋪層順序優化問題。用整數編碼方式對層合板鋪層角度編碼。編碼串中每個數字代表一個鋪層，稱為基因。基因在基因串上的排列順序代表層合板鋪層順序，如4層板[-30°/-60°/60°/30°]的對應基因碼為2/1/5/4。標準遺傳算法中操作包括選擇、交叉、變異等。引用標準遺傳算法操作方法產生新種群。優化目標分別為基頻、頻帶最大化頻率及聲功率最小化。遺傳算法流程見圖2。

4結構-頻率優化

為有效避免層合板結構共振，研究結構固有頻率。本文規定頻率參數Ω[14]為

(13)

(14)

式中：ν12，ν21為泊松比；E2為垂直于纖維方向彈性模量；h為層合板總厚度；D0不隨層合板鋪層角度變化。

針對層合板固有頻率，取最大相鄰階固有頻率間隔作為優化變量。結構-頻率優化問題可寫成

(15)

式中：θk為第k層層合板纖維鋪設角度；Ωi為層合板第i階固有頻率對應頻率參數。

由于遺傳算法只能求解目標函數最小值問題，因此式(15)取Ωi+1([θ1/θ2/…/θn])-Ωi([θ1/θ2/…/θn])的相反數。

采用第一、二階無量綱固有頻率間隔Ω12作為優化變量，定義鋪設角度鋪層順序為設計變量,鋪設角度選離散形式(-45°,0°,45°,90°),分別優化4，8，12，16層對稱長寬比為2的復合材料層合板鋪層順序；并與文獻[13]結果對比。層合板性能參數為：E1=138 GPa，E2=E3=8.96 GPa，G21=G23=G31=7.1 GPa，ν12=0.3，不考慮結構阻尼。層合板鋪設角度為[θ1/θ2/…/θn]，θ1為最外層鋪設角度，θn為最內層靠近對稱面一層鋪設角度，層合板每層厚度相同。采用前二階無量綱固有頻率間隔Ω12作為優化變量時，優化結果見表1。由表1看出，①隨相同厚度下層合板鋪設層數增加Ω12值呈增加趨勢；②相同鋪設層數下本文所得最優解優于文獻[14]，因該文獻為簡便忽略層合板拉彎耦合作用，且為避免過多錯誤施加額外彎曲剛度；而本文既未忽略層合板耦合剛度亦未施加額外彎曲剛度。

表1　長寬比為2矩形層合板鋪設角度優化結果

5結構-聲輻射優化

由式(11)知，通過改變層合板鋪層角度可改變結構層合板表面的法向振速分布，從而影響其聲輻射功率。選聲輻射功率作為優化變量，層合板結構-聲輻射優化模型數學表達式為

(16)

式中：W(ωp)為激勵頻率等于ωp時層合板總聲輻射功率；f1為層合板基頻。

分別以4、8層復合材料層合板為例，層合板性能參數為：長a=0.348 0 m，寬b=0.304 8 m，厚度h=0.002m，E1=181 GPa，E2=E3=10.3 GPa，G21=G23=G31=7.17 GPa，ν12=0.28，阻尼比=0.05；固定激勵頻率分別為低頻ωp=200 Hz，高頻ωp=500 Hz，激勵力為1 N，作用點位于板結構中心，采用遺傳算法優化層合板鋪層順序，初始角度分別為[0°]4、[0°]8。激勵頻率ωp=200 Hz，4、8層板鋪層順序優化結果見表2、表3，對應鋪層順序下4、8層鋪設層合板優化輻射總聲功率級曲線對比見圖3、圖4。由兩表知，激勵力頻率200 Hz時，相同層數層合板結構優化后第一階聲輻射功率與總輻射功率基本相同。說明低頻時第一階聲功率占總聲功率絕大多數。由兩圖看出，激勵力頻率200 Hz時，4層復合材料層合板結構最優角度為[0°/-45°/30°/90°]，結構聲功率優化前后降低量為1.9 dB；而8層層合板最優角度為[90°2/-30°2/-15°/0°3]，聲功率降低量達1.1 dB。

表2　激勵頻率200 Hz四層板鋪層順序優化結果

表3　激勵頻率200 Hz八層板鋪層順序優化結果

圖3　四層層合板聲功率優化結果(ω p=200 Hz) Fig.3 Optimum acoustic power of four layer plate (ω p=200 Hz)

圖4　八層層合板聲功率優化結果(ω p=200 Hz) Fig.4 Optimum acoustic power of eight layer plate (ω p=200 Hz)

隨激勵力頻率增高，對應激勵頻率ωp=500 Hz四、八層板鋪層順序優化結果見表4、表5，ωp= 500 Hz對應鋪層順序下4、8層鋪設層合板優化總聲功率級曲線對比見圖5、圖6。由兩表可知，隨頻率增高，激勵力頻率為500 Hz時相同層數層合板結構優化后第一階聲輻射功率與總輻射功率差別不大，小于1.1 dB。因此優化第一階聲功率與輻射總聲功率效果基本相同。由兩圖看出，激勵力頻率為500 Hz時4層層合板結構最優角度為[-30°/-15°/75°/45°]，聲功率優化前后降低量為6.2 dB。8層層合板最優角度為[90°2/0°2/90°2/0°/90°]，聲功率降低量達3.2 dB。

表4　激勵頻率500 Hz四層板鋪層順序優化結果

表5　激勵頻率500 Hz八層板鋪層順序優化結果

圖5　四層層合板聲功率優化結果(ω p=500 Hz) Fig.5 Optimum acoustic power of four layer plate (ω p=500 Hz)

綜上所述，通過優化鋪設角度，層合板結構聲輻射功率優化效果明顯，與復合材料層合板結構各向異性有關。同厚度的8層層合板不同激勵頻率下聲輻射功率級均小于4層層合板，因隨層數增加整個板結構各項異性有所減弱。

圖6　八層層合板聲功率優化結果(ω p=500 Hz) Fig.6 Optimum acoustic power of eight layer plate (ω p =500 Hz)

6結論

(1)基于分層有限元模型分析層合板結構的振動特性，可有效避免復合材料層合板結構產生共振。

(2)據聲輻射模態理論，通過分層有限元模型可獲得層合板結構聲功率。通過用遺傳算法分析層合板結構第一階與總聲功率知，優化第一階聲功率與總聲功率效果相當。

(3)層合板結構層數相同時，隨外激勵力頻率增加優化效果提高；板越厚頻率越低，聲功率優化效果越好。

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