股票價格服從指數O-U過程的復合期權定價方法探析

許聰聰，王建鋒

(1. 石家莊鐵路職業技術學院，中國 石家莊　050041; 2. 中國人民大學信息學院，中國 北京 100872；3. 青海師范大學數學與信息科學學院，中國 西寧　810008)

股票價格服從指數O-U過程的復合期權定價方法探析

許聰聰1,2*，王建鋒3

(1. 石家莊鐵路職業技術學院，中國 石家莊050041; 2. 中國人民大學信息學院，中國 北京 100872；3. 青海師范大學數學與信息科學學院，中國 西寧810008)

摘要為探討歐式復合期權的定價方法，假設股票價格服從指數Ornstein-Uhlenback (O-U)過程，且所有參數均為相依于時間的函數，利用保險精算和等價鞅測度兩種方法對歐式復合期權進行定價，得到了兩種不同方法下的歐式復合期權的定價公式，并討論了兩者之間的關系.證明了在指數O-U 過程模型下保險精算定價是一種有套利定價，從而進一步推廣了Geske的結論．

關鍵詞復合期權；指數O-U過程；保險精算定價；鞅定價

Analysis on Pricing Methods of Compound Option When

Stock Price Obeys Exponential O-U Process

XUCong-cong1,2*,WANGJian-feng3

(1. Shijiazhuang Institute of Railway Technology, Shijiazhuang 050041, China;

2. School of Information, Renming University of China, Beijing 100872, China;

3. College of Mathematics and Information Science, Qinghai Normal University, Xi’ning 810008, China)

AbstractA model of compound option was studied by supposing the stock price obeys the exponential Ornstein-Uhlenback process and all the parameters are the functions of timet. The exact solutions to the European compound options were obtained by the approaches of insurance actuary pricing and martingale pricing, respectively. And the relation between insurance actuary pricing and no-arbitrage pricing is discussed. We proved that insurance actuary pricing is arbitrage under the exponential O-U process model, which extended the results of Geske.

Key wordscompound option; exponential O-U process; actuarial approach; martingale approach

期權定價是現代金融數學研究領域的主要內容之一，1973 Black-Scholes在股票價格服從幾何布朗運動的假設下，推導出了著名的Black-Scholes公式(B-S公式).由于B-S公式是建立在一系列的假設的基礎上的，如標的資產服從幾何正態分布，不支付紅并且所有參數都為常數等，隨后很多人對B-S公式作了相應的推廣[2-4]．復合期權是一種標的期權的新型期權．最早Geske[5]利用微分方程方法計算出了復合期權的定價公式，Selby 和Hodges[6]以及李榮華[7]利用鞅方法分別得到了參數為常數以及參數為依賴于時間函數的復合期權定價．王獻東[8]利用鞅方法得到了股票價格服從跳-擴散過程的復合期權定價．

上述期權定價方法都是建立在金融市場是完備的，無套利的基礎上.實際金融市場上這些條件往往并不滿足，1998年Bladt和Rydberg[9]利用保險精算方法把期權定價問題轉化為公平保費問題，在沒有任何市場假設的條件下推導出了期權定價公式.這種方法不但適用于無套利、均衡和完備的市場模型，對有套利、不均衡和不完備的金融市場仍然有效．閆海峰[10]利用保險精算方法推導出了股票價格服從指數O-U過程的歐式期權定價．劉堅[11]利用保險精算定價方法推到出了隨機利率下和O-U過程模型下歐式期權和歐式交換期權的定價結果．畢學慧[12]利用保險精算方法推導出了股票價格服從幾何布朗運動的歐式復合期權定價模型．股票價格服從O-U過程避免了傳統對數正態分布中股價有朝同一方向變化的局限, 對股價上升的趨勢進行了削弱．本文假設股票價格服從指數O-U過程，且參數都是依賴于時間的確定函數，利用保險精算和鞅方法兩種方法對復合期權進行定價，結果發現保險精算定價是有套利定價，而鞅定價無套利．

1基本假設

考慮一個連續時間的無摩擦的金融市場，假設市場有兩種資產，一種為無風險資產，如債券；另一種為風險資產，如股票．假設風險資產(股票)價格股票價格St服從廣義指數O-U過程：

dSt=St[(μt-αlnSt)dt+σtdWt],S0=S.

(1)

債券價格Pt滿足方程：

dPt=Ptrtdt,PT=1,

(2)

其中S>0, (Wt)t∈[0,T]是定義在概率空間(F, {Ft}t>0,P)的標準布朗運動，α為常數，μt和σt分別為股票的預期收益率和波動率，rt是t時刻Pt瞬時利率，μt,rt,σt是[0，∞)→R上的函數，且滿足

(3)

其中，βt為股票在t時刻的瞬時收益率，假設βt是[0,T]上的實值可測函數 ．

引理 1若股票價格S(t)服從廣義指數O-U過程，則

(4)

(5)

證明過程與文獻[11]引理2類似．

(6)

(7)

2主要結果

(1)在t=T1時刻購買 看漲期權的期權(calloptiononacalloption)，記為CC；

(2)在t=T1時刻購買 看跌期權的期權(calloptiononaputoption)，記為CP;

(3)在t=T1時刻出售 看漲期權的期權(putoptiononacalloption)，記為PC;

(4)在t=T1時刻出售 看跌期權的期權(putoptiononaputoption)，記為PP．

這里有3種風險資產：原生資產(如股票)，原生期權(如股票期權)和復合期權．首先在區域

∑2={0≤S<∞,0≤t≤T2} 上定義原生期權的價格，然后在區域∑1={0≤S<∞,0≤t≤T1}上建立復合期權CC(S, t)，CP(S, t)，PC(S, t) 及PP(S, t).

2.1　歐式復合期權的保險精算定價

定義2股票價格 {St, t≥0}服從指數O-U過程(1)，歐式看漲期權的看漲期權在t=0時刻的價格CC(S,0)為

(8)

其中，C(S,T1)為標的歐式看漲期權在T1時刻的價格．

定理1股票價格服從指數O-U過程(1)，四種不同歐式復合在t=0時刻的保險精算定價為

(9)

(10)

(11)

(12)

其中

證由引理1，可得

由引理1，令t=T2則有

由條件數學期望性質以及定義2和引理3，可推導出在0時刻購買一份歐式看漲期權的價格為

由引理2，可分別計算CC1, CC2和 CC3

故定理1得證，類似于(9)，可證(10)， (11)和(12)式.

注1由于模型(1)中的項αlnSt，使得股票在t時刻的瞬時收益率βt計算較為復雜，當α = 0，股票價格服從幾何布朗運動，此時βt=μt，定理1即為文獻[12]結果．

2.2　歐式復合期權的鞅定價

引理4假設股票價格 {St, t ≥ 0} 服從廣義指數O-U過程(1) ，令

(13)

(14)

引理4可由Girsanov定理和鞅表示定理證明，由期權定價鞅方法可得如下定理．

定理2股票價格服從指數O-U過程(1)，四種不同歐式復合期權在t=0時刻的鞅定價為

(15)

(16)

(17)

(18)

其中

證由引理4中式(13)， 可得

執行條件 ST1>S*等價于

由引理4中式(14)，執行條件ST2>K可改寫為

由無套利定價的鞅方法可知，基于歐式看漲期權的復合期權價格為

再由引理2分別計算 CC1, CC2和 CC3

類似于式(15)，可證式(16)， (17)和(18).

注2當α = 0時，股票價格服從幾何布朗運動，定理2是文獻[7]中的結果；在α = 0，且其他所有參數都為常數時，定理2即為文獻[5]中結果．

注3由定理1與定理2結果可以發現，保險精算定價不但和股票波動率σt有關，還與股票期望收益率μt以及收益率的漂移項α有關；鞅定價只與股票的波動率有關系，與股票的期望收益率無關.由于等價鞅測度存在且唯一，所以期權有唯一的無套利定價，因此保險精算定價實質上是有套利定價．當 βt=rt時，復合期權的價格為風險中性價格，是獨立于每個人的投資偏好的，此時定理 1的結論就是定理2的結論．

3結束語

本文在假設股票價格服從指數O-U過程且參數都為時間確定函數的條件下，利用保險精算和鞅兩種方法，得到了歐式復合期權的定價公式，推廣了文獻[5,7,12]的結果．另外，對兩種定價方法下的結果進行了比較．結果發現，指數O-U過程模型下，復合期權的鞅定價是無套利的，而保險精算定價是有套利定價．

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(編輯胡文杰)

*通訊作者,E-mail：clever004@126.com

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11101232，11171349);青海省自然科學基金資助項目(2011-Z-929Q)

收稿日期：2014-02-12

中圖分類號O211.6；F830.9

文獻標識碼A

文章編號1000-2537(2014)03-0074-06

DOI:10.7612/j.issn.1000-2537.2015.03.014