分數階人口阻滯增長模型研究

李晨薇+陳福來

[摘 要]建立了分數階人口阻滯增長模型，并通過一個算例說明了在一定情況下，分數階人口阻滯增長模型優于相應的整數階人口阻滯增長模型。

[關鍵詞]分數階微分方程；人口阻滯增長模型；數值解

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.03.016

1 前 言

人口問題是當前世界上人們最關心的問題之一。世界人口的迅猛增長引起了許多問題，特別是一些經濟不發達國家的人口過度增長，影響了整個國家的經濟發展、社會安定和人民生活水平的提高，給人類生活帶來許多問題。為了解決人口增長過快的問題，人類必須控制自己，做到有計劃地生育，使人口的增長與社會、經濟的發展相適應，與環境、資源相協調。認識人口數量的變化規律，作出較準確的預報，是有效控制人口增長的前提。

指數增長模型和阻滯增長模型是兩個最基本的人口模型。指數增長模型由英國人口學家馬爾薩斯于1978年提出來的，其基本假設為人口的增長率是常數，獲得的結果表明人口將以指數規律無限增長。而事實上，隨著人口的增加，自然資源、環境條件等因素對人口增長的限制作用越來越明顯。阻滯增長模型是考慮到自然資源、環境條件等因素對人口增長的阻滯作用，對指數增長模型的基本假設進行修改后得到的。阻滯作用體現在對人口增長率的影響上，使得隨著人口數量的增加而下降。這個模型比指數增長模型更加合理。

在近幾十年里，許多學者指出分數階微積分非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質的材料和過程，在經典模型中這些性質常常是被忽略的[1]。本文針對人口數量的變化具有典型的記憶和遺傳性質，把人口增長模型中的整數階微分方程修改為分數階微分方程，能更加準確地預報人口增長的數量。

2 分數階人口阻滯增長模型

分數微分與積分是指微分的階數與積分的次數是任意實數乃至復數，而不是一個分數或者分式函數的微分和積分。分數階人口阻滯增長模型是：

CDαx（t）=r（1-x（t）xm）x（t），0<α≤1

x（0）=x0（1）

這里CDα表示分數階Caputo導數，當α=1時就是我們常說的整數階人口阻滯增長模型。年人口增長率為r人口x（t）的函數r（x）由于受到自然資源、環境條件等因素的阻滯作用，是個減函數，這里r（x）=r（1-xxm），式中r叫作固有增長率，xm是自然資源和環境條件下年容納的最大人口容量。根據已有的分數階微分方程理論，[1]方程（1）對應的積分解為：

x（t）=x0+1Γ（α）t0（t-s）α-1r（1-x（s）xm）x（s）ds（2）

這個積分解是個奇異積分，不能正常求解解析解。利用文[2]的方法和程序，我們可以獲得它的數值解。

下面基于1790—1990年這兩百年的美國人口統計數據（見表1），對模型進行檢驗。

要用模型（1）來預報人口，必須先對表1中的數據進行標準化處理，對模型（1）中的參數r和xm進行估計。時間t的處理，令1790，1800，…，1990年分別對應t=0，1，…，20時刻，即x（0）=3.9，x（1）=5.3，…，x（20）=251.4。參數r（年固有增長率）取逐年增長率的幾何平均值，由公式：

r=nΠni=1x（i）-x（i-1）x（i-1）（3）

獲得，計算出r=0.2127。參數xm（最大人口容量）基于α=1時的整數階人口阻滯增長模型：

x′（t）=0.2127（1-x（t）xm）x（t）x（0）=3.9（4）

所獲得的解析解：

x（t）=xm1+xm3.9-1e-0.2127t（5）

利用表1中1790—1980年的數據擬合獲得，[3]有xm=464。這樣，我們建立了表1數據的分數階人口阻滯增長模型：

CDαx（t）=0.2127（1-x（t）464）x（t），0<α≤1，

x（0）=3.9（6）

分別取α=0.8，0.85，0.9，0.95，1代入模型（6），預測出1800—1990年的人口數，預測的人口數量和相對誤差結果見表2，并用下圖表示相對誤差的結果。

從表2和圖1的數據我們可以看出，α取0.8和0.85時數據較好，相對誤差較小，都優于α取1時的結果，尤其是α取0.85時數據相對誤差最小，預報最準確。而α=1時是整數階人口阻滯增長模型，從而我們知道，在這個算例中，α取適當的值時，分數階人口阻滯增長模型優于整數階人口阻滯增長模型。

參考文獻：

[1]I.Podlubny..Fractional Differential Equations[M].San Diego： Academic Press，1999.

[2]陳福來，李勢豐，王華.分數階微分（差分）方程的Matlab求解程序[J].湘南學院學報，2011，32（5）： 1-4.

[3]趙靜，但琦.數學建模與數學實驗[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.