基于活動經驗的序列化知識教學策略例談

任寧

【摘 要】我們對小學階段的部分知識點進行了摘錄、梳理、歸類，從“具有同一上位概念的并列知識、具有前后遞進關系的相關內容、具有內在本質差異的相似概念”這三個層面，總結了基于活動經驗的序列化教學三種策略：經驗遷移策略、經驗拓深策略、經驗改造策略。

【關鍵詞】摘錄 梳理 歸類

小學數學教材中的許多知識點隸屬同一個序列，分布在不同的學習階段，呈螺旋上升排列，它們之間有著密切的內在聯系。對同一序列的知識點，我們要善于以結構化、序列化的整體思路來展開教學。從系統論的角度，我們要進一步實現教學內容的整合，去整體地把握、思考、處理安排教學內容，實現有結構的教和學，著眼于知識之間的內在聯系和規律，幫助學習者建立完善的知識結構體系和方法體系，使知識學習結構化、序列化。基于活動經驗，我們對小學階段的部分知識點進行了摘錄、梳理、歸類，從“具有同一上位概念的并列知識、具有前后遞進關系的相關內容、具有內在本質差異的相似概念”這三個層面，總結了基于活動經驗的序列化教學三種策略：經驗遷移策略、經驗拓深策略、經驗改造策略。

一、經驗遷移策略——適用于具有同一上位知識的并列知識

經驗遷移，是指上一階段學習活動中所獲得的活動經驗適用于下一階段內容的學習。我們通過梳理提煉出各個不同領域中的統攝性較強的上位知識，如“歸納規律（性質）”“運算定律”“統一度量單位”等，每個上位知識都包含了若干個成序列的內容，每個內容都隸屬于同一上位知識且相互之間有緊密的聯系。

（一）初次建構，積累經驗圖式

經驗是一種過程性知識，是在實踐活動中所形成的一種“活動圖式”。數學活動經驗的遷移，是以前期的積累為前提的，如果教師在數學活動的設計中能主動關注學生活動經驗的積累，那么就可以為后期的學習打下基礎。如四上《積的變化規律》一課，是“歸納規律（性質）”序列的第一課時，在這節課中，教師首先應該讓學生初步學會“歸納規律（性質）”，并在學習活動中讓學生經歷歸納規律的全過程，積累相應的活動經驗。

1.觀察信息，初悟規律。教師出示一組算式“6×2=12，6×20=120，6×200=1200”讓學生尋找其中存在的規律，學生往往只會著眼于縱向的某一個點，如“積的末尾0慢慢變多了”，而不會從橫向的因數和積的變化的聯系中去尋找規律。

2.教師引領，縱橫溝通。教師應該有如下的追問：“積的變化和誰有關？因數和積都是怎么同時變大的？”通過這樣的問題以引導學生在歸納規律的時候要關注算式的每一個部分。然后通過“第二個因數變了，積也隨之變化，那么第一個因數呢？”這樣一個問題讓學生感悟到除了關注變化的量，我們還應該關注不變的量，進而得出初步的結論：第一個因數不變，第二個因數乘10，那么積也乘10。

3.拓展延伸，完善規律。在此基礎上，教師通過以下關鍵問題助力學生探索歸納出完整的積的變化規律。

師：剛才我們通過觀察三個算式得出了上述規律。那么我們進一步思考：規律僅限于此嗎？請靜靜思考。

師：只能乘10嗎？只能乘嗎？一定要第二個因數乘、除嗎？請舉例說明。

師：剛才我們是怎么概括出這個規律的？

4.鞏固應用，驗證規律。（略）

在上述片段中，教師并沒有急于求成，而是從學生的實際認知能力出發，充分肯定學生的每一次合理歸納，并通過一次次追問和引導，在師生的對話交流中幫助學生完善對規律的認知，從而積累歸納概括的經驗，為后續的學習打下基礎。

（二）及時激活，內化歸納途徑

四上的《商的變化規律》是第二次學習“規律的歸納”。一般情況下，教師還是會重起爐灶，從一組除法算式的呈現開始，一步步引導學生歸納出“商的變化規律”。這是教師沒有系統教材觀的表現，由于沒有關注到學生已經積累的“歸納規律”的活動經驗，造成了經驗積累與應用的斷層。

本課，教師在組織教學時應該激活學生已有的活動經驗，讓學生在原有的基礎上強化對“歸納規律”這一數學活動的熟練掌握。在引導學生合理利用前期活動經驗的基礎上，通過再次的歸納活動，基本掌握“歸納規律”的要領，熟悉歸納的路徑。

師：同學們，我們以前學過了積的變化規律，現在我們來回顧一下，我們是怎么歸納的？（出示一組算式6×2=12，6×20=120，6×200=1200。）

生：先是觀察幾個算式之間有什么聯系，什么變了，？什么沒變。

生：然后觀察誰隨著誰的變化而變化。

生：考慮完“乘”還要考慮“除”。

師：是啊，我們在學習積的變化規律的時候，是這樣一步一步地歸納出來的。那么今天我們來研究“商的變化規律”，能借助以前的經驗，歸納出來嗎？

……

師：今天我們學習了“商的變化規律”，和前面學習的“積的變化規律”有什么相同的地方嗎？

生：都是從一組算式中去尋找規律。

生：都是講算式各部分之間的關系，要關注算式的各個部分的變與不變。

在歸納規律序列的第二層次的學習活動中，這樣的環節設計，既激活了學生的已有活動經驗為本課學習所用，又在課末通過對比關注了新知與舊知之間的共通之處，讓學生感受到知識間的關聯。從而進一步鞏固了“歸納規律”的方法和路徑，為下一步學習活動中數學活動經驗的遷移奠定了扎實的基礎。

（三）獨立探究，自主遷移經驗

有了前面兩個階段的充分鋪墊，學生對“歸納規律”的流程和注意點已經了然于胸，在接下來五下的《分數的基本性質》學習中，教師就可以放手讓學生自主遷移已有的數學活動經驗，合作探究規律（性質）的歸納。教師要做的事情就是協助學生找到新知與舊知的聯系點即可。

師：我們學過分數與除法的關系，誰能來舉個例子？

生：1/2=1÷2，2/4=2÷4。

師：我們學過除法中的一個性質，叫“商不變的性質”，誰能來說說什么是“商不變的性質”？

生：在除法里，被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變。

師：根據分數和除法的關系，你猜想分數會有什么樣的性質呢？

生：因為分數的分子相當于除法里的被除數，分母相當于除法里的除數，所以我想可能是“分數的分子和分母同時乘一個相同的數，分數的大小不變”。

生：同時除以一個數也可以的。

師：那么，我們能不能用一些具體的例子來說明、解釋這個猜想呢？

生：（小組合作，自主探究）

生：匯報交流。

“分數的基本性質”和“比的性質”是該內容序列的第三個層次，學生已經積累并強化了歸納規律（性質）的活動經驗，在教師的適當點撥提示下，學生基本能夠自主遷移已經積累的活動經驗，應用到實際的學習過程當中。學生在這樣的學習歷程中，建構了自己的知識網絡，掌握了規律（性質）的學習方法，提升了自主學習的水平，可謂一舉多得。

二、經驗拓深策略——適用于具有前后遞進關系的相關內容

經驗拓深，指的是上一階段的學習活動中所獲得的活動經驗是為后續學習服務的，而后續的學習又能拓深前期的活動經驗。在學習這些具有前后遞進關系的相關內容時，我們首先要著眼于知識點的本質所在，根據學生所處的不同學段和不同年齡特征，用適當的方式進行表征。而隨著學習進度的深入，教師不但要引導學生合理利用前期學習所積累的活動經驗，更應該幫助學生對已有的活動經驗不斷拓深強化，趨近對知識本質的理解。

（一）夯實基礎，積累活動經驗

加減法計算法則的本質是“相同計數單位上的數才能直接相加減”。但是由于不同年級學生的年齡特征，決定了在低年級教學相關內容時不一定要讓所有學生理解其本質，只需知道怎么做就行了，在后續的學習中隨著年級的升高和理解能力的提升，再慢慢觸及本質，拓深學生的數學活動經驗。

在一上學習《兩位數加一位數和整十數》時，還沒有真正建構計算法則，教師通過“兩位數加一位數”和“兩位數加整十數”的對比，借助小棒的直觀形象，讓學生理解“幾個一和幾個一相加，幾個十和幾個十相加”，初步感悟“相同數位對齊”的道理。

在后續的學習中，教師也是用“你為什么要先把這三捆和這三捆合起來呢？”這樣的問題引導學生得出“因為他們都是表示幾個十，所以可以直接相加”，然后幫助學生得出兩位數加整十數的計算方法：計算35+30時，應該先算30+30=60，再算60+5=65。最后通過教師的總結，初步概括計算法則的雛形：在計算兩位數加一位數時，要先算幾個一加幾個一；在計算兩位數加整十數時，要先算幾個十加幾個十。這是計算法則的孕伏階段，接下來在二上的《100以內加減法（二）》一課中，正式明確“相同數位對齊”的計算規則，直到三上的《萬以內的加減法（二）》完善整數階段加減法的計算法則，達到自動化程度，積累起豐厚的抽象加減法計算法則的數學活動經驗。

（二）新舊聯結，喚醒已有經驗

在整數加減法的學習階段，當學生進入自動化的熟練程度后，一般不大會再去思考相同數位是否對齊，已經把這一法則等價為“末位對齊”。所以在四年級下冊學習“小數加減法”的時候，會對學生的這一默認規則產生一定程度的沖擊，使之重新回到“相同數位對齊”的軌道上來。

師：小明買兩個筆記本，一個4.45元，一個5.5元，一共付多少元？

學生獨立完成，板演（如右圖）：

師：到底哪種對呢？

生：第二種，因為4元多加5元多不可能還是5元。

師：為什么這樣列豎式呢？以前都是末位對齊的呀？

生：小數加減法要把小數點對齊。

師：剛才不是說小數加減法的計算方法和整數加減法的計算方法基本相同嗎？怎么現在又要把小數點對齊而不是末位對齊呢？

生：5.5小數部分的5在十分位上，所以要和4.45十分位的4對齊。

生：要把相同的數位對齊。

在學習小數加減法的時候，教師注重讓學生聯結了已有的生活經驗和數學活動經驗，通過新知和舊知的溝通，讓學生明白小數加減法當中的“小數點對齊”和整數加減法當中的“末尾對齊”的本質是相同的，都是為了讓“相同數位對齊”。這樣使趨于自動化計算的學生重新意識到計算法則的本質，而非繼續停留于自動化的操作而迷失了知識的本質。

（三）概括本質，拓深活動經驗

小數加減法的計算趨于自動化時，學生的認識也會把計算規則等價于“小數點對齊”而忽略了其本質——相同數位對齊。那么在五下的《分數的加法和減法》單元學習中，就需要對原有的活動經驗進行再度拓深，從“相同數位對齊”拓深到其真正的內涵——“相同計數單位上的數才能直接相加減”。首先在《同分母分數加減法》一課中，我們要幫助學生明確“同分母分數相加減，分母不變分子相加減”就是“分數單位的個數相加減”，在《異分母分數加減法》中，再度明確“只有相同分數單位才能相加減”和“相同計數單位上的數才能直接相加減”的共通之處。

課始，教師可以設計整數加減法和小數加減法的題目，讓學生回顧原有概念的本質就是相同單位的數可以直接相加減，然后引入同分母分數加減法的學習。

師：這些加法我們都會了，還有一種加法你會嗎？板書：1/8+3/8。

生：1/8+3/8=4/8。

師：怎么想的？

生：1+3=4，所以是4/8。

生：1個1/8加3個1/8是4個1/8，是4/8。

在《同分母分數加減法》一課中，教師幫助學生理解了分數加減法的算理，溝通了分數加減法和整小數加減法的共同點，那么在《異分母分數加減法》一課中，教師只要讓學生通過對“為什么異分母分數不能直接相加減”這個問題的探討，利用圖示表征，并與整數、小數加減法進行聯結，使“相同單位的數才能直接相加減”這個經驗得到進一步的拓展與升華。

三、經驗改造策略——適用于具有內在本質差異的相似概念

經驗改造，是指學生原先所具有的經驗和后續的學習內容有較強的相關性，但是又不能直接應用，需要經過一定程度的改造才能適用。這一策略適用于具有本質差異的相似概念。對于經驗之間的相似之處，教師通過一定的情境加以溝通聯系，而對于經驗之間的本質差異，更應該通過制造一定的沖突加以改造，從而使經驗得到跨越和提升。

（一）提取—鏈接—改造，從生活經驗到數學經驗的跨越

在學習三角形的高時，學生已有生活中“高”的經驗，如房子的高、身高、樹高等等。但是這些生活中的“高”都是指垂直于水平面的線段長度，而數學上的“高”是指垂直于某一條線（邊）的線段長度，它們有相似之處，但又有本質上的區別。所以，要對生活中“高”的經驗進行適度的改造，使之能對接數學上的“高”的概念。

首先教師可以通過合理的情境提取學生已有的生活經驗，如選擇兩種不同身高的動物的別墅來引出“高”，就是學生所喜聞樂見的。

師：其實從別墅的側面來觀察，又可以回到我們的三角形來進行研究。（從圖中抽象出三角形）

師：誰能把剛才房子的“高”在三角形中指一指？

生：在三角形中指出高。

師：下面的哪幅圖把你心目中的高畫下來了？

師：那你能說說什么是高嗎？

生：從三角形的一個頂點到它對邊的垂直線段就是三角形的高。

師：下面請欣賞一個小戲法。如果把三角形旋轉成這樣，現在線段AE還是邊BC的高嗎？底在哪兒？

在提取了學生的已有生活經驗——“高”后，教師通過及時抽象，從動物的別墅中抽象出三角形，完成了生活中的高與數學中的高的鏈接。這時，學生的生活經驗與數學經驗的對接還是比較通暢的，沒有大的阻礙，因為這時的高還是符合學生心目中原有的經驗——“垂直于水平面的高”。最終完成生活經驗到數學經驗的跨越，是通過變式實現的，把學生認同的垂直于水平底邊上的高通過旋轉變成不是垂直于水平底邊的，然后通過辨析討論，理解數學上的高是垂直于某一底邊的線段，從而實現經驗的提升和改造。

（二）鏈接—沖突—改造，從數學經驗到數學經驗的提升

當學生在學習一維測度（長度）的時候就積累了“統一度量單位”和“累加”的活動經驗，那么在二維測度（面積）和三位測度（體積）的學習時，就可以進行提取、應用。角屬于平面圖形，角度的測量也需要統一測量單位，測量的過程也是單位角度的累加，但是角的大小和線段的長短、面積的大小相比，具有不一樣的屬性，因此已有的測量活動經驗不能直接遷移，需要進行一定的改造才能適用。

對于已經經歷過的一維測度（長度）的計量，學生是有豐富的活動經驗的，但是在初次接觸角度的測量時，幾乎所有的學生是無所適從的（除非預習過）。因此，這時學生想測量卻無從著手，就會處于認知沖突的狀態，這時教師的引領就起到了畫龍點睛的作用。

師：大家都知道了測量角要用到量角器，你會量嗎？試試看。

生：嘗試測量，無所適從。

師：在測量線段長度的時候，我們先確定了測量的標準 厘米，然后看線段對應的是幾個1厘米。那么我們今天要測量角，你覺得應該做什么事情呢？

生：確定測量角的標準。

師：是啊，測量長度要確定單位長度，如厘米、分米、米，那么測量角也要確定單位角。你能在量角器上面找到角嗎？

生：有一個直角。（手勢比劃）

師：你能找到這個直角的頂點嗎？還能找到其他的角嗎？

生：找出其他不同大小的角。

師：我們數學上規定，把半圓平均分成180份，每一份就是1°，一個角包含了幾個1°，就是幾度。

學生學會在量角器上找角，相當于會在直尺上找“厘米”，只要利用量角器，比對一下角對應著量角器上的幾個“單位角”，就是幾度。最后教師引導學生比較量角和量長度的聯系與區別，強化概念的認知。

在學習量角的過程中，學生經歷了經驗的鏈接（量角和量線段） 經驗的沖突（找不到測量的單位） 經驗的改造（在量角器上找單位角），最終完成了從數學經驗到數學經驗的改造，理解了測量的本質。