基于FIR濾波的NURBS插補算法研究

基于FIR濾波的NURBS插補算法研究

董伯麟，岳云平

(合肥工業大學，安微合肥230009)

摘要：在考慮數控加工精度和加工效率的基礎上，針對傳統加減速控制中減速點預測不準的缺陷，提出了一種基于級聯濾波器的NURBS插補算法。該插補算法根據速度敏感點將要加工的曲線進行分段處理，避免了插補過程中的爬行與過沖，提高了加工質量。基于弓高誤差的速度自適應調整使得加工精度一直在允許的范圍之內，基于濾波器的進給速度控制方案使速度過渡平穩，提高了插補的效率。最后對提出的NURBS插補算法進行了實驗仿真，結果證明該算法的可行性。

關鍵詞:NURBS插補算法濾波器仿真

中圖分類號：TP273文獻標識碼：A

作者簡介：董伯麟(1972-),男,合肥工業大學機械與汽車工程學院副教授,美國加州大學博士后研究人員。主要研究方向為高速高精度數控系統等。

收稿日期：2015-03-10

Study on NURBS interpolation algorithm based on FIR filter

DONG Bolin，YUE Yunping

Abstract:A NURBS interpolation algorithm based on cascade filter was proposed considering machining accuracy and efficiency, which was aimed at solving the problem of inaccurate prediction about the deceleration point in traditional speed control. With interpolation algorithm, NURBS was put under segment handling based on sharp corner so crawling and overshoot were avoided in the process of interpolation and the quality improved. The rate adaptive adjustment based on high error helped achieve precision within allowable range. The rate control scheme based on filter enabled the speed transit smoothly and the efficiency of interpolation was improved. Finally an experiment was made and the results showed the feasibility of this new interpolation algorithm.

Keywords:NURBS ; interpolation algorithm; filter; simulation

0引言

傳統的數控加工是利用以直代曲對自由曲線曲面進行處理，該方法不僅加工精度低，而且頻繁加減速導致加工效率低下，NURBS插補直接對自由曲線曲面進行插補，克服了這些缺點，在提高加工速度和精度等方面具有顯著的效果。因此，NURBS插補技術是數控技術研究的重要方向。

Bedi等[1]提出等參數算法，算法雖然簡單，但忽略NURBS曲線一維參數與三維軌跡空間的映射并非等比例線性變化的因素，帶來速度波動問題。Shpitalni等[2]采用泰勒展開法實現了參數的密化，但加工輪廓的誤差沒有得到有效控制。Yeh等[3]提出了速度自適應算法，保證了加工過程中的弓高誤差。文獻[4-5]引入了加減速控制。但這些算法都是通過前瞻計算獲得加減速區域的弧長，根據弧長來確定加減速的參數區間，弧長的不精確性會產生速度偏差。文獻[6]在插補算法中引用了濾波技術，但是在濾波之前還要進行T型加減速規劃。

本文設計了一種基于級聯濾波器的NURBS插補算法。該算法利用濾波技術對速度進行S型曲線加減速規劃，避免了減速點預測不準產生的加工誤差，提高了輪廓的加工精度，同時，取消了前瞻計算，顯著提高了插補運算的效率。

1NURBS插補算法

1.1NURBS曲線分段預處理

在復雜形狀輪廓的工件高速加工時，當加工過程中曲線路徑發生轉折，或者曲線路徑雖然連續，但進給速度的方向改變快速，即加工的進給速度發生突變，稱這樣的位置為速度敏感點。針對速度敏感點，需要進行相應的降速處理，但如果速度敏感點位置計算有差，會導致加工零件表面質量的破壞。因此，速度敏感點的精確計算對于加工零件的外形輪廓精度尤為重要。

當滿足條件：

(1)

時，點Ci即為速度敏感點。

NURBS曲線上任意一點曲率的計算公式為：

(2)

(3)

根據上述判別條件及對應的計算公式就能得到速度敏感點的準確位置，并進行相應的降速處理，從而保證零件外形輪廓的加工精度。

1.3NURBS曲線泰勒插補算法

根據二階泰勒展開式：

(4)

其中ui≤uξ≤ui+1

便可得到插補點參數的二階泰勒展開求值公式

(5)

利用插補點參數的二階泰勒展開求值公式求解插補點參數雖然需要求其插補點的導函數，但是利用矩陣形式求解NURBS曲線的導函數表達式并不復雜，且統一了插補點參數求值公式，精度得到了保證。因此，本文采用二階泰勒展開式來對插補點參數進行求解。

1.4基于弓高誤差的速度調整

為了解決二階泰勒展開插補公式中輪廓誤差不可控的問題，引入插補算法速度自適應調整機制，在插補過程中實時監控輪廓誤差的大小。由于NURBS曲線插補算法所得到的插補點都在曲線上，因此不存在累積弦長誤差。但NURBS曲線插補是以微小直線段來逼近自由曲線，該過程不可避免的存在弓高誤差，因此提出基于弓高誤差的速度自適應調整方法。

假設pi與pi+1為兩相鄰插補點，h為弓高誤差，其大小為兩相鄰插補點間曲線上的點與插補線段的最大距離。該值的計算十分繁瑣，達不到實時監控弓高誤差的目的。考慮到插補步長pipi+1很小，可以對弓高誤差作一些近似處理。在此，引入局部圓弧逼近法來計算弓高誤差的值，將相鄰插補點pipi+1之間的自由曲線近似為一段圓弧，其圓心為o，并記其曲率半徑為pi，插補步長為ΔLi，則可以得到弓高誤差hi的求值公式為：

(6)

再將求得的弓高誤差hi與設定的最大弓高誤差值hmax進行對比，看是否滿足條件

hi≤hmax

(7)

若滿足，即弓高誤差在設定的誤差范圍之內，進給速度無需調整；若不滿足，即弓高誤差超出了設定的誤差范圍，則根據最大的弓高誤差來調整進給速度。

由此可得，插補進給速度的自適應調整公式如下所示：

(8)

2濾波器的設計

根據FIR濾波卷積數學表達式為：

=x[0]h[n]+…+x[k]h[n-k]+…+x[n]h[0]

(9)

式中x[n]為輸入信號，y[n]為輸出信號，當∑h[k]=1時，輸出信號y[n]呈現梯形規律。同理將y[n]作為輸入信號與h[n]進行卷積，可得

=y[0]h[n]+…+y[k]h[n-k]+…+y[n]h[0]

(10)

式中輸入信號y[n]為公式(9)中的輸出信號，此時的輸出信號f[n]呈現S型規律。雖然S型規律需要進行二次卷積，計算所需時間增加，但是控制精度也大為提高，若將進給速度提前規劃，插補計算所需的時間也將減少。利用該原理，根據S型速度曲線加減速控制要求，構建S型加減速控制級聯濾波器，該級聯濾波器的結構如圖1所示。

圖1　加減速級聯濾波器結構圖

根據圖1級聯濾波器的結構圖，結合S型速度曲線，該濾波器的濾波項數m和n的計算公式為：

(11)

式中：F為加工程序設定的最大進給速度；A為最大加速度；J為最大加加速度；T為系統的插補周期。

沒有加減速規劃的速度曲線其最大速度為vmax，加工時間為N·T，構造S型速度曲線，結果如圖2所示。

圖2　級聯濾波器構造的速度曲線

利用濾波技術可以得到S型速度曲線加減速控制的加工效果，但是為了確保利用級聯濾波器進行加減速速度規劃前后等效，則必須保證濾波前后不發生位置偏移，即濾波后的位置結束點與濾波前的位置結束點一致。下面進行級聯濾波器速度規劃前后等效性驗證。

級聯濾波器速度規劃前速度曲線對應的位移量為：

(12)

經級聯濾波器速度規劃后速度曲線對應的位移量為：

(13)

因此，級聯濾波器進行加減速規劃前后是等效的。

3實驗仿真

給定一條三次NURBS曲線，其加工路徑代碼如下所示：

現設定最大加速度Amax=2 000mm/s2,最大加加速度Jmax=40 000mm/s3,弓高誤差hmax=0.001mm,系統插補周期T=1ms。

圖4　插補軌跡曲率圖

圖3為該加工路徑代碼所對應的插補軌跡。

該插補軌跡對應的曲率如圖4所示。

圖6　插補加速度變化圖

從圖3可以看出，加工路徑插補軌跡可以分為直線段AB與曲線段BC兩個部分，同時從圖4可以看出，加工路徑軌跡曲率在0≤u<0.5區間內為零，對應部分為插補軌跡直線段AB，在0.5

NURBS插補過程中進給速度、加速度與加加速度的變化圖如圖5與圖6所示。

從插補的速度圖可以看出插補算法很好的滿足了S型速度曲線變化規律，且在速度敏感點處將插補進給速度降為零，保證了加工質量，以及加工過程中速度的平穩過渡。從插補的加速度圖可以看出，加速度能夠連續變化，且滿足最大加速度的要求，避免沖擊，提高柔性。

4結語

本文針對插補過程中進給速度平穩過渡的特性，設計了基于級聯濾波器的NURBS插補算法。該插補算法利用速度敏感點將NURBS曲線分段處理，實現加速度的連續變化，滿足了機床的動力學特性，且能準確控制加減速位置，避免了傳統減速點預測所帶來的誤差。

參考文獻

[1]Bedi S, Ali I, Quan N.Advanced interpolation techniques for CNC machines[J].ASME Journal of Engineering for Industry, 1993,115: 329-336

[2]Shpitalni M, Koren Y, Lo C C.Real-time curve interpolators[J].Computer-Aided Design, 1994,26(11): 832-838

[3]Yeh S, Hsu P.Adaptive-feedrate interpolation for parametric curve with confined chord error[J].Computer-Aided Design, 2002(34): 229-237

[4]Nam, S H,M Y Yang.A study on a generalized parametric interpolator with real-time Jerk-limited acceleration[J].Computer-Aided Design，2004(36):27-36

[5]趙巍,王太勇,萬淑敏.基于NURBS曲線的加減速控制方法研究[J].中國機械工程,2006(17):1-3

[6]于東,胡韶華,蓋榮麗,等.基于濾波技術的數控系統加減速研究[J].中國機械工程,2008, 19(7):804-807

岳云平(1990-),男,合肥工業大學機械與汽車工程學院碩士研究生。