兩類不定積分巧解

張玉斌

摘 ?要：本文就高等數學中的兩類不定積分的計算給出了更簡捷的方法，以期幫助讀者提高解題效率。

關鍵詞：分部積分;表格法;循環積分

在高等數學中，當被積函數函數出現兩類不同類型的函數乘積時，一般要用分部積分公式計算。但對于以下兩類積分，如果按照常規的方法來求解計算量會很大，而且也不易得出正確結果。為了提高解題效率，筆者就給出更簡捷的方法，供廣大讀者參考。

一、■pn（x）v■（x）dx型積分的解題技巧

對于■pn（x）v■（x）dx型積分，其中pn（x）為變量的次多項式，函數v■（x）為具有n+1階導數的函數vx的n+1階導函數，直接運用不定積分的分部積分公式的求解過程如下：

■pn（x）v■（x）dx=■pn（x）dv■（x）=pn（x）v■（x）-■v■（x）dpn（x）

=pn（x）v■（x）-■v■（x）Pn-1（x）dx=pn（x）v■（x）-■pn-1（x）dv■（x）

=pn（x）v■（x）-■pn-1（x）dv■（x）

=pn（x）v■（x）-[pn-1（x）v■（x）-■v■（x）dPn-1（x）]

=pn（x）v■（x）-pn-1（x）v■（x）+■v■（x）Pn-2（x）dx ? ? ? ? ? （1）

在（1）式中， pn-1（x）是一個n-1次多項式，這里，我們也用Pn-1（x）來表示函數pn（x）的導函數.類似地，Pn-1（x）是一個n-i次多項式，也表示次多項式Pi（x）的導函數（i=1，2，…，n-1）.

對（1）式等號右邊的積分，再應用分部積分公式次，得到下列結果：■pn（x）v■（x）dx=-pn（x）v■（x）-pn-1（x）v■（x）+pn-2（x）

v■（x）-…+（-1）n+1P0（x）v（x） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

不難看出，上述解法解題計算量大，雖過程重復單一，但會很繁瑣.

觀察（2）式，我們不難發現，（2）式有以下特點：

（1）積分運算式有項;

（2）除函數本身所帶符號外，符號正負相間;

（3）各項的第一個因式由pn（x）及其各階導函數構成，且導函數由pn（x）始降階排列;第二個因式由對v■（x）的1次，2次，…，次積分的一個原函數構成.

注意到上述規律，我們可以列一個表格如下：

（3）

表格的第一行豎線右邊的函數是依次對pn（x）求導數得到的各階導函數，第二行是對依次求積分得到的一個原函數.v■（x）這樣，（2）式的結果可以通過（3）式表格交錯相乘，符號正負相間得到。我們不妨把這種方法稱為表格法.

下面通過兩個例子來說明表格法的應用.

【例1】求不定積分.

【解】 列表如下：

根據上表，得到

? ? ? ? ? ? ? ? .

【例2】求不定積分■v■ln2xdx.

【解】此題如果直接利用表格法計算也較為困難，我們來做一個變換：lnx=t，則x=et，dx=etdt，于是

對上式最后一個積分使用表格法，列表如下：

故

.

二、一類循環積分的解題技巧

在使用分部積分公式解題時，如果被積函數是指數函數與三角函數的乘積，則此類積分會出現循環，我們不妨稱之為循環積分.

對于循環積分，直接計算計算量也較大，因此，筆者也就循環積分給出一種簡捷計算公式.

公式一：

，其中a2+c2≠0.

公式二：

，其中a2+c2≠0.

上述兩個公式利用分部積分法不難得出，這里證明從略.

【例3】計算不定積分.

【解】利用公式一得到：

參考文獻：

[1] 《高等數學》高等教育出版社 同濟大學數學教研室編 （第六版）.

[2] 黃慶懷《高等數學輔導講義》.

[3] 陳文燈 世界圖書出版社 ?《考研數學復習指南（理工類）》