基于PSO優化BP神經網絡的逆運動學求解研究

趙建強 ，劉滿祿 ，2，王 姮

（1.西南科技大學 特殊環境機器人技術四川省重點實驗室，綿陽 621010；2.中國科學技術大學 信息科學技術學院，合肥 230026）

機器人的運動學逆解問題是對智能機器人進行運動規劃與智能控制的重要前提。其本質就是通過給定的機器人末端位姿參數來求取對應位姿的機器人各個關節變量的值。自機器人學創立以來，該問題一直是機器人領域的研究熱點[1]。運動學逆解的傳統求解方法主要有幾何法[2]、解析法[3-4]、迭代法[5]等。可以通過解析法得到簡單機構的封閉解，復雜機構一般很難得到封閉解，需要進行迭代處理，然而迭代法的運算量很大、精度無法保證、耗時較長導致了實時性比較差，幾何法對機構的構型要求比較嚴格，通用性受到了很大的限制。機械臂的實時控制對于機械臂的應用是至關重要的，這其中一個關鍵的影響因素就是逆運動學求解的快速性。訓練完畢的神經網絡，其運算速度非常快，故而越來越多的研究者關注于用神經網絡來解決機械臂的逆運動學求解問題[6-8]。針對傳統的BP神經網絡存在收斂速度慢、易陷入局部極值導致輸出誤差偏大的缺陷，已經提出了一些用來優化BP神經網絡的方法，主要從優化神經網絡結構[9]、優化網絡中的權值和閾值[10-11]、更改神經網絡的訓練樣本組織形式[12]以及對網絡輸出結果的優化[13]。本文利用PSO對BP神經網絡進行優化，在隨機初始化BP神經網絡的權值和閾值之后，通過適應度函數計算PSO粒子的適應度，根據粒子自身的歷史最優和全局最優來更新粒子的位置和速度，從而不斷地搜索最優的方向，在加快收斂速度的同時，逐漸向全局最優收斂，將優化后的BP神經網絡應用到機器人逆運動學的求解問題上。結合MotomanMH6S機械臂做了運動學仿真實驗，驗證了其在機器人逆運動學求解應用中的有效性。

1 BP神經網絡及逆運動學分析

1.1 MotomanMH6S的運動學分析

根據文獻[14]對MotomanMH6S機器人進行運動學建模。首先在機器人的每個連桿上都固定一個坐標系，得到如圖1所示的機器人連桿坐標模型，用 ai、αi、di、θi4 個運動學參數描述機器人的每個連桿，得到其D-H參數，如表1所示。

圖1 Motoman MH6S機器人連桿坐標模型Fig.1 Robot Motoman MH6S linkage coordinate model diagram

表1 MotomanMH6S的D-H參數Tab.1 Motoman MH6S D-H parameter

根據表1所示的Motoman MH6S機器人的D-H參數，可計算機械臂各相鄰連桿的位姿變換矩陣為

則其運動學方程為

已知機器人各個關節的關節變量θi（i=1，2，…，6），根據式（2）、式（3）可求出末端執行器的姿態 R（nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az）和位置 P（px，py，pz），這就是機器人的運動學正解，可通過運動學正解來得到機器人操作空間數據集。由給定操作空間的姿態（nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az）和 位 置 （px，py，pz）來 求 解關節空間機器人的關節變量 θi（i=1，2，…，6）的過程就是逆運動學。由于nx，ny，nz是機器人末端執行器所在坐標系的OX軸相對于基坐標系的3個方向余弦，ox，oy，oz是機器人末端執行器所在坐標系的OY軸相對于基坐標系的3個方向余弦，ax，ay，az是機器人末端執行器所在坐標系的OZ軸相對于基坐標系的3個方向余弦，可根據坐標變換原理，將姿態R按Z-Y-Z軸的旋轉序列進行歐拉變換得到歐拉角α、β、γ，變換公式為

式中，Atan2 為反正切函數。 將 α、β、γ、px、py、pz作為BP神經網絡模型的輸入變量，關節變量θi（i=1，2，…，6）為模型的輸出變量。

1.2 BP神經網絡

BP網絡可以比作是從輸入到輸出的高度非線性映射，即F∶Rn→Rm，其最大特點是通過誤差的反向傳播來修正網絡的權值和閾值，本質是從輸入Xi∈Rn到輸出 Yi∈Rm可存在某一映射 Γ（·），使yi=Γ（xi）（i=1，2，…，n），要求出映射 F（·），使得在某種意義下（通常在最小二乘意義下），F（·）是 Γ（·）的最佳逼近，神經網絡對簡單的非線性函數進行數次逼近復合，可近似表達復雜的函數，這種任意逼近的存在性問題可由Kommogorow定理及通用逼近定理給出。其中單個神經元為McCulloch-Pitts模型[15]，如圖2所示。

圖2 單個神經元的McCulloch-Pitts模型Fig.2 McCulloch-Pitts model of individual neurons

圖中輸入向量的分量為 xj（j=1，2，…，m），輸入的權值分量為 ωj（j=1，2，…，m）。若權值為正數，則表示相應的輸入節點處于興奮狀態，起加強作用；若權值為負數，則起抑制作用。φ（·）為激勵函數，其輸入ν是輸入向量的加權之和，稱為誘導局部域。理論上已經證明，隱含層采用sigmoid型激勵函數的3層前饋神經網絡可以以任意精度逼近任何連續映射。在本文的網絡結構中，輸入層有6個神經元，分別對應 α、β、γ、px、py、pz；輸出層有 6 個神經元，分別對應6個關節的關節角。隱藏層神經元個數的選擇是一個很復雜的問題，目前還沒有任何一個理論指導精確地計算隱藏層神經元個數，只能通過經驗和多次實驗來確定。若隱藏層神經元太少，不能滿足系統對訓練精度的要求，若隱藏層神經元太多，會導致網絡的訓練時間過長且泛化能力減弱。在對各種結構進行大量試驗、比較之后，選取2個隱含層，節點數分別為21和29。本文設計的BP神經網絡拓撲結構如圖3所示。

圖3 BP神經網絡拓撲結構Fig.3 BP neural network topology structure

2 基于PSO優化的BP神經網絡

粒子群優化算法（PSO）起源于對鳥群捕食的行為研究，是一種基于進化的計算技術。系統初始化為一組隨機粒子，粒子在解空間追隨最優的粒子進行搜索，通過迭代搜尋最優值，所以PSO是一種基于迭代的優化工具。在每一次迭代中，粒子通過跟蹤2個“極值”來更新自己。第一個就是粒子本身所找到的最優解。這個解叫做個體極值Personal Best.另一個極值是整個種群目前找到的最優解。這個極值是全局極值Global Best。另外也可以不用整個種群而只是用其中一部分作為粒子的鄰居，那么在所有鄰居中的極值就是局部極值。

假設在D維空間中存在m個粒子，將第i個粒子的速度向量記為 Vi=［vi1，vi2，…，viD］，將其位置向量記為 Xi=［xi1，xi2，…，xiD］，在每一次迭代中，粒子根據2個因素更新自己的速度和位置，一個是該粒子自身的歷史最優值，記為 Pi=［ pi1， pi2，…， piD］，另一個是整個粒子群體的全局最優值，記為G=［g1，g2，…，gD］，其速度和位置的更新公式為[16]

式中：rand（）是（0，1）之間的隨機數；ω 是粒子保持原來速度的系數，即慣性權重；c1是粒子追蹤其歷史最優值的隨機加速度項權重，代表粒子的自身經驗；c2是粒子追蹤全局最優值的隨機加速度項權重，代表粒子的社會經驗；t為當前迭代次數。為防止粒子的盲目搜索，一般建議將其位置和速度限制在一定的區間［-Xmax，Xmax］、［-Vmax，Vmax］[17]。

單純的BP神經網絡算法在求解逆運動學的時候存在易陷入局部極值、輸出誤差偏大、學習效率不高等問題。為了解決上述問題，本文運用PSO算法優化BP神經網絡參數，使得搜索在整個解空間中進行，通過優化得到的最佳網絡參數改善了BP神經網絡的網絡結構，從而提高了BP神經網絡的泛化能力。算法流程如圖4所示。

圖4 PSO優化BP神經網絡算法流程Fig.4 Algorithm flow chart of PSO optimize the BP neural network

將采樣數據進行歸一化處理，確定BP神經網絡結構并且隨機生成初始權值、閾值，將初始的BP神經網絡參數作為粒子初始值，計算相應粒子的適應度，然后通過迭代找到最優解。其中，適應度函數定義為BP神經網絡訓練時輸出的關節角度與期望關節角度誤差的平方和，表示為

其中，網絡的輸出θk是關于網絡權值ω的函數：

同時設置其他參數如下：種群規模定為30，最大代數為50，慣性權重ω=0.9，學習因子c1=c2=1.5，BP神經網絡隱層的神經元個數為21、29，輸入層到隱層與隱層到隱層之間的傳遞函數為sigmoid，隱層到輸出層的傳遞函數為linear，為了提高訓練速度，訓練算法選用Levenberg-Marquardt反向傳播方法。對優化后的BP神經網絡進行訓練，并對最終訓練得到的神經網絡進行測試。

3 優化算法在逆運動學中的求解

網絡結構和PSO的參數確定以后，將使用樣本數據對算法進行訓練。在仿真實驗中，采用Motoman-MH6S型機器人在其工作空間的10000組數據，其中選用9500組數據用作訓練樣本，500組數據用作測試樣本。首先將訓練樣本中的位置向量和姿態歐拉角作為BP神經網絡的輸入節點，關節角度作為網絡的輸出節點，然后采用PSO算法以式（9）作為適應度函數在解空間進行優化搜索。粒子群收斂以后，返回BP神經網絡的權值和閾值。對優化并訓練好的網絡，用測試樣本數據進行仿真測試，求得網絡對樣本中各個關節角變量的輸出值。

網絡訓練后，對于訓練樣本，網絡性能（MSE）為0.060379。將測試樣本中的500組關節角度期望值與PSO優化的BP神經網絡求出的關節角度進行比較得到其誤差范圍為［-0.0906，0.0848］，測試集通過該神經網絡的輸出值的均方差范圍為［3.1180×10-5，0.0034］，而未加PSO優化的BP神經網絡對500組測試樣本求解的誤差范圍為［-0.4068，0.3536］，均方差范圍為［1.5258×10-4，0.0383］。 圖 5～圖 10 為測試集分別經PSO優化的BP神經網絡與未加優化的BP 神經網絡的輸出誤差 Δθi/（°）（i=1，2，…，6）的對比，圖11為測試集經上述2個神經網絡輸出的MSE對比，表2、表3為測試集的誤差，均方差表現范圍。

圖5 測試集的θ1的誤差對比Fig.5 Error contrast of the test set’s θ1

圖6 測試集的θ2的誤差對比Fig.6 Error contrast of the test set’s θ2

圖7 測試集的θ3的誤差對比Fig.7 Error contrast of the test set’s θ3

圖8 測試集的θ4的誤差對比Fig.8 Error contrast of the test set’s θ4

圖9 測試集的θ5的誤差對比Fig.9 Error contrast of the test set’s θ5

圖10 測試集的θ6的誤差對比Fig.10 Error contrast of the test set’s θ6

圖11 測試集的θ的MSE對比Fig.11 MSE contrast of the test set’s θ

表2 測試集θi的誤差表現范圍Tab.2 Error range of test set’s θi

表3 測試集θ的均方差表現范圍Tab.3 MSE range of test set’s θ

由圖5～圖10可得知，PSO優化的BP神經網絡在求解機械臂逆運動學時的誤差表現明顯比單純的BP神經網絡提高了一個數量級。由圖11可知，PSO優化的BP神經網絡在求解機械臂逆運動學時的均方誤差表現也比單純的BP神經網絡提高了一個數量級。同時，表2中可得知PSO優化的BP神經網絡在求解機械臂逆運動學時的最大誤差在［-0.1，0.1］之間，這進一步驗證了本文方法在機械臂逆運動學求解方面的有效性。

文獻[6]中最終選擇的最優BP神經網絡對四自由度機械臂的逆運動學求解所得的關節角度誤差表現范圍與本文中PSO-BP對六自由度機械臂的逆運動學求解所得的關節角度誤差表現范圍對比如表4所示，其中將文獻[6]中的單位由弧度值轉換為角度值表示。由表4中數據的對比可得出PSO-BP在求解機械臂逆運動學時的關節角度輸出精度比文獻[6]中的BP神經網絡高一個數量級，從而驗證了本文提出的PSO-BP在求解機械臂逆運動學應用中的有效性。

表4 文獻[6]中的BP與PSO-BP在求解逆運動學時的誤差對比Tab.4 Error contrast of PSO-BP and BP in paper[6]for solving inverse kinematics

4 結語

本文使用PSO優化的BP神經網絡來求解機械臂逆運動學問題，得到了比較理想的效果，說明了該方法在機械臂逆運動學求解中的有效性。相比傳統的逆運動學求解方法，通過訓練BP神經網絡來得到從機械臂工作空間到關節空間的復雜非線性映射關系，避免了求解逆運動學時極其復雜的推導過程。但是，單純的BP神經網絡在求解逆運動學時，易陷入局部極值導致輸出誤差偏大，這直接影響著神經網絡在逆運動學求解問題上的實用性，本文通過使用PSO算法對BP神經網絡進行優化，彌補了上述缺陷。同時，還有一些問題有待進一步解決，比如由圖5和圖7可以觀察到對于關節角4和關節角6的誤差相對偏大，這可能是由于系統中某一特定復雜的耦合關系所致，以及應用神經網絡求解機械臂逆運動學時的多解問題和奇異性問題等。接下來可考慮結合RBF、Elman網絡及相應的約束條件來尋找這些問題的解決方案。

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