廣義Burgers-BBM方程波前解的持續(xù)性

廣義Burgers-BBM方程波前解的持續(xù)性*

崔中飛， 傅仰耿

(華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州 362021)

摘要：對廣義Burgers-BBM方程的波前解進行研究，在黏性充分小的情況下，運用幾何奇異攝動理論證明其波前解是持續(xù)的.

關鍵詞：廣義Burgers-BBM方程；波前解；幾何奇異攝動理論；持續(xù)性

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.002

收稿日期：2015-05-04；修回日期：2015-06-10.

基金項目：*國家自然科學基金資助(11401229).

作者簡介：崔中飛(1991-)，男，碩士研究生，從事微分方程與動力系統(tǒng)研究.

中圖分類號：O157.2文獻標志碼：A

1基礎知識

利用幾何奇異攝動理論研究廣義Burgers-BBM方程：

(1)

波前解的持續(xù)性，其中μ，δ和ε為正常數(shù)，分別刻畫耗散、色散和黏性的效果.當ε=0時，方程(1)即為Burgers-BBM方程：

(2)

它可以看成是Burgers型方程與BBM方程所組合的簡單擴散模型，可以描述非線性色散介質(zhì)中單向傳播的水波[1]和流體力學中具有有限的小振幅水波[2]等.當μ=0時，方程(2)變?yōu)锽BM方程：

(3)

式(3)是Benjamin-Bona-Mahony于1972年在水波研究中提出的[2]，其中δ是色散系數(shù)，它可以用來描述冷等離子體中的水磁波、可壓縮流體中的聲重力波、和諧水晶中的聲波[3]等.在這些物理現(xiàn)象的研究中，方程行波解的研究起到重要的作用.因為不管是精確的還是數(shù)值的行波解，都可能對理解這些物理現(xiàn)象提供更多的信息.目前對方程(2)的解法主要有正切函數(shù)法[5]、Fourior解法[6]、吳方法[7]等.通過這些方法，也找到一些精確波前解.1992年，張衛(wèi)國和王明亮利用待定系數(shù)法分別求出了方程(2)的一類指數(shù)函數(shù)有理分式形式的精確波前解

并且證明了方程(2)的這類行波解可分解為Burgers方程的行波解和BBM方程的行波解的線性組合[8].2009年，姜璐利用首次積分法得到了方程(2)的兩種形式的精確波前解[9]：

波前解的存在性問題是行波理論的一個基本問題.由于非線性波方程的波前解實際上對應相應行波系統(tǒng)的異宿軌，故波前解存在性的研究通常轉化為相空間上異宿軌存在性的研究.然而當非線性波方程所對應行波系統(tǒng)的相空間是高維時，異宿軌的存在性就會變得非常困難.因此利用幾何奇異攝動理論[10]研究小參數(shù)情況下非線性波方程波前解的持續(xù)性已經(jīng)成為一個重要方向.例如KBK方程波前解的持續(xù)性[11]、含有時空延遲的KPP方程的波前解的持續(xù)性[12]、疾病模型中行波解的存在性[13]等.

下面將從動力系統(tǒng)和幾何奇異攝動理論的角度來探討當ε充分小時，方程(1)的波前解的持續(xù)性.

2動力系統(tǒng)的刻畫

式(1)做行波變換，將u(x，t)=u(ξ)，其中ξ=x-ct代入式(1)，得

(4)

積分式(4)一次，得

(5)

(6)

顯然系統(tǒng)(6)有下面兩個平衡點

系統(tǒng)(6)在Y0的Jacobi矩陣為

其對應的特征方程為

(7)

類似地，系統(tǒng)(6)在Y1的Jacobi矩陣為

其對應的特征方程為

(8)

從而有下面的結論：

證明定理的證明主要依據(jù)輻角原理.Y0線性化的譜是由式(7)決定的，令

則式(7)可以改寫成m0(λ)=0.下面證明m0(λ)=0在右半復平面上只有一個根.由于m0(λ)是解析的，故式(7)在右半復平面上根的個數(shù)為

(9)

其中周線C0是以原點為圓心、以R為半徑的落在右半復平面內(nèi)的半圓與虛軸所組成的有向圍線，其方向是逆時針方向；ΔC0argm0(λ)表示m0(λ)沿著C0總的輻角改變量.式(9)等于

其中中括號里的量表示當R從+∞到-∞時m0(iR)的總輻角改變量.因此需要計算m0(iR)的象繞著原點轉了幾圈.注意到

類似地，令

則式(8)可以改寫成m1(λ)=0.同理可得式(8)在左半復平面上根的個數(shù)是

3波前解的存在性

如果Burgers-BBM方程存在一個單調(diào)增加的波前解，那么將證明對于充分小的ε，廣義Burgers-BBM方程也存在一個波前解.當0<ε<1時，系統(tǒng)(6)可以改寫成

(10)

系統(tǒng)(10)通常被稱為“慢系統(tǒng)”，其對應的“快系統(tǒng)”為

(11)

若在系統(tǒng)(10)中令ε=0，則u，v滿足系統(tǒng)

(12)

且w屬于集合

其中M0是R3的一個二維子流形.

根據(jù)文獻[10]中的定義，流形M0被稱為是正規(guī)雙曲的，如果快系統(tǒng)限制在M0上，有M0維數(shù)個特征值在虛軸上，且剩下的都是雙曲的，則快系統(tǒng)(11)限制在M0上的線性化系統(tǒng)的矩陣為

因為矩陣A的特征值是0，0，-cδ，所以流形M0是正規(guī)雙曲的.因此，由Fenichel不變流形理論知，對充分小的ε>0，存在R3的一個二維子流形Mε包含于M0的O(ε)領域內(nèi)，并與M0是微分同胚的.

為了確定Mε上的動力學行為，記

(13)

其中h光滑地依賴于ε且h(u，v，0)=0.將式(13)中的w的表達式代入系統(tǒng)(10)的第3個方程，得

(14)

將h展成ε的泰勒級數(shù)

然后代入式(14)并比較ε的同次冪系數(shù).比較零次冪系數(shù)，得h(u，v，0)=0；比較一次冪系數(shù)，得

這樣就可以改寫系統(tǒng)(10)為

(15)

系統(tǒng)(15)決定Mε上的動力學行為.下面給出并證明持續(xù)性定理.

把系統(tǒng)(15)改寫為

其中Φ(u，v，c，ε)滿足

因為u0(ξ)是嚴格增加的，故可以被刻畫成某個函數(shù)的圖像，把這個函數(shù)表示成

v=f(u，c0)

根據(jù)穩(wěn)定流形定理，對于充分小的ε，Wu(E-)可以被刻畫成函數(shù)

為了證明當ε充分小時，系統(tǒng)(15)存在一條異宿軌，只需證明在c0附近存在唯一的c(ε)，使得流形f1和f2相交與直線u=c0上的同一點.令

由于v=f1(u，c，ε)和v=f2(u，c，ε)都滿足方程

(16)

可以得

(17)

命令

由于

解式(17)得

這樣就有

類似地有

參考文獻：

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Persistence of Travelling Fronts of Generalized Burgers-BBM Equation

CUI Zhong-fei， FU Yang-geng

(School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，F(xiàn)ujuan Quanzhou 362021，China)

Abstract：By geometric singular perturbation theory，this paper proves that travelling fronts of the Generalized Burgers-BBM equation persist under the condition of sufficiently small viscosity.

Key words： the generalized Burgers-BBM equation；wave-front solution；geometric singular perturbation theory；persistence