基于傅立葉級數的半參數CAViaR模型的貝葉斯分析

基于傅立葉級數的半參數CAViaR模型的貝葉斯分析*

曾惠芳1， 熊培銀2

(1.湖南科技大學 商學院，湖南 湘潭 411201； 2.湖南科技大學 信息與電氣工程學院，湖南 湘潭 411201)

摘要：針對金融市場復雜性及不確定性，為了更靈活地測度金融市場的波動風險，提出了一類半參數CAViaR模型，利用傅立葉級數擬合前一期信息對當前VaR風險值的非線性影響，選擇合適的先驗分布，基于非對稱Laplace分布構建了相應的似然函數，推導了參數的后驗分布，從而實現了對CAViaR模型的貝葉斯推斷；最后利用貝葉斯CAViaR模型研究了上海綜合指數的風險波動特征，結果發現上證綜指的風險波動存在自回歸性.

關鍵詞：貝葉斯分析；傅立葉級數；半參數方法；CAViaR模型

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.003

收稿日期：2015-05-20；修回日期：2015-07-20.

基金項目：*國家自然科學

作者簡介：曾惠芳(1981-)，女，湖南省邵陽人，講師，博士，從事貝葉斯空間統計研究.

中圖分類號：F224.9；O212文獻標志碼：A

隨著經濟全球化及投資自由化，全球范圍內，匯率、利率、股票價格和商品價格高度波動，呈現不斷加劇的趨勢.這些基礎市場價格因子的高度波動，直接反映為金融市場風險的不斷增大.自20世紀90年代以來，國際金融市場經歷了一些重大的結構性變化，對金融市場風險產生了更為深遠且深刻的影響.它們大大增加了金融市場和工具的關聯度、復雜性、不確定性和波動性，使得金融市場風險上升，結構成分復雜，難以測量分析.

由于金融資產價格行為的復雜性，度量金融風險的方法越來越多，其中利用分位回歸方法度量金融風險是目前研究的熱點.分位回歸方法不對金融時間序列的分布做任何假設，為有效地度量金融風險提供了一種靈活的方法.Taylor(1999)提出利用分位回歸模型估計多期風險值的情形，并研究德國馬克、英鎊與日元匯率，發現分位回歸模型用于估計多期風險值有良好的表現；Engle和Manganelli(2004)提出了非線性動態VaR模型(CAViaR)，CAViaR模型只描述條件分布尾部的行為，不受異常點的影響；劉新華，黃大山(2005)采用Hansen檢驗方法討論了中國股市風險CAViaR建模的穩定性問題；張穎和孫和風(2012)提出了一類包含信息不對稱性的GJR-CAViaR模型，并把它應用于刻畫中美股票市場風險的差異；閆昌榮(2012)提出了一類流動性調整CAViaR模型，并計算了資產未來經過流動性調整的風險VaR；王新宇等(2010)考慮到金融資產收益與正負收益對分位數沖擊的不對稱性，建立含有不對稱絕對值和斜率設定的AAVS-CAViaR模型，對1996-2008年期間滬深港股票指數進行了實證研究；王新宇等(2013)提出了帶有結構變點的條件分位數自回歸模型，利用非對稱拉普拉斯分布實現了模型的貝葉斯推斷.此處將基于傅立葉級數構建一類半參數CAViaR模型，并實現對模型的貝葉斯推斷，最后把貝葉斯CAViaR模型應用于中國股票市場的風險測度，發現中國股票市場的VaR風險存在自相關性.

1模型結構分析

Engle和Manganelli(2004)提出了4種CAViaR模型，分別是自適應CAViaR，對稱CAViaR，非對稱CAViaR，GARCH(1,1)-CAViaR模型.實際上，金融市場收益率的波動特征更豐富，而且Engle和Ng(1993)曾經也提出了利用非參數方法，即線性樣條方法，估計滯后收益率對波動率的影響.此處將提出一類新的更靈活的模型來度量VaR風險，即半參數CAViaR模型：

(1)

(2)

其中，

為簡便起見，可利用式(2)中的前k項近似g(yt-1)，并記Θ=(θ11，…，θk),這樣可以通過解如下最優化問題來實現模型的估計

(3)

其中ρτ(u)=u(τ-I(u<0)).因為分位回歸估計最小化問題可以等價于以非對稱Laplace分布為似然函數的極大似然估計問題，因此似然函數可以表示為

(4)

其估計量可以看作是分位回歸模型的偽極大似然估計,其中Y=(y1,…,yn).

為了實現模型的貝葉斯估計，首先給出參數的先驗分布.因為對函數g進行平滑時會依賴于分位數τ，一般在極值分位水平下，數據比較少，需要較大的光滑.因此可以設計參數g的先驗分布為

其中,

(5)

(6)

式(6)可以保證傅立葉級數以概率收斂于被擬合的函數.從式(5)來看，傅立葉級數系數的先驗分布的方差有兩種形式.代數平滑器平滑程度集中于γ的函數，而幾何平滑器先驗平滑程度由解析函數控制.參數δ2控制著未知函數g的全局不確定性，即用于確定先驗分布和似然函數之間的平衡關系.參數γ確定了傅立葉系數的衰減速度，因此能起到對函數g平滑的作用.顯然，其他基函數以及先驗分布可以用于模擬函數g,并且假設δ2獨立于{θk}，其先驗分布為服從參數為r02，s02的逆伽瑪分布，可以表示為

2模型的貝葉斯推斷

以非對稱Laplace分布為基礎的非參數分位回歸模型的貝葉斯推斷很難得到傅立葉系數的解析后驗分布，即無法得到解析的后驗均值和后驗方差，以及無法得到參數解析的完全條件分布，不能用Gibbs抽樣來實現對模型的模擬，引入標準指數分布和標準正態分布的混合分布，從而可以得到模型參數解析的完全條件分布，實現模型的Gibbs抽樣.

假設z服從標準指數分布，u服從標準正態分布,如果變量ε服從非對稱Laplace分布，其密度函數表示為

那么ε可以表示為

其中φ=(1-2τ)τ(1-τ)，ω2=2τ(1-τ).這樣，半參數CAViaR模型可以表示為

(7)

為了簡便起見，式(7)可以表示為

(8)

這樣，在一定的條件下Y條件分布可以表示為以β0I+β1q+ΦΘ+φZ為均值，以∑為方差的正態分布，因此Y的聯合分布可以表示為

(9)

3實證分析

圖1　上證綜指周收益率的 波動軌跡

金融風險的度量方法有很多，要建立一個金融風險的測度機制，研究金融市場的動態特征非常重要.迄今為止，描述金融市場動態特征的模型當首推廣義自回歸條件異方差模型(GARCH).為了研究上證綜指周數據的風險值，樣本選擇的時間段為2006年1月到2011年2月.圖1給出了周收益率的波動軌跡.

2008年的全球金融危機對中國經濟也產生了巨大的影響.在度量中國股票市場的風險時，金融危機對中國股市的影響不容忽視.為了更靈活地度量中國股票市場的風險，此處將采用半參數CAViaR模型來度量中國股票市場的風險,利用三階傅立葉級數擬合模型中的非參數部分，用一條馬爾可夫鏈模擬模型參數的后驗分布，將最初的4 000次迭代得到的樣本舍去，用第4 001次到第10 000次迭代得到6 000個模擬樣本去估計模型參數.圖2給出了模型參數的后驗分布核密度函數.圖2密度曲線表現比較平滑且呈鐘型，說明MCMC(MarkovChainMonteCarlo)算法有效地模擬了模型中各參數的邊緣后驗分布.表1給出了半參數CAViaR模型參數的后驗均值、標準方差、蒙特卡羅誤差和貝葉斯置信區間.

圖2　參數的后驗核密度函數

參 數均 值標準差MC誤差0.025分位數0.975分位數α(0.5)0.46530.11740.01400.2700.720θ1(0.5)-9.92903.2300.2960-17.06-3.755θ2(0.5)11.06005.5550.50300.25922.570θ3(0.5)-13.92004.1400.3845-22.920-5.842α(0.9)-0.01430.49690.0468-0.7960.872θ1(0.9)42.84018.3301.5294.99472.620θ2(0.9)-20.62012.5801.008-42.0904.679θ3(0.9)9.1406.9390.5075-4.49422.29

根據表1可知，在分位水平τ=0.5時，參數部分自回歸系數α后驗均值的估計為0.465 3，95%置信區間為(0.270，0.72)；非參數部分傅立葉級數θ1后驗均值的估計為-9.929，95%置信區間為(-17.06，-3.755)；θ2后驗均值的估計為11.06，95%置信區間為(0.256，22.57)，θ3后驗均值的估計為-13.92，95%置信區間為(-22.92，-5.842).在分位水平τ=0.9時，參數部分自回歸系數α后驗均值的估計為-0.014 3，95%置信區間為(-0.796，0.872)；非參數部分傅立葉級數θ1后驗均值的估計為42.84，95%置信區間為(4.994，72.62)；θ2后驗均值的估計為-20.62，95%置信區間為(-42.09，4.679)，θ3后驗均值的估計為9.14，95%置信區間為(-4.494，22.29).從結果可以看出，VaR過程存在自回歸過程，即滯后一階的風險對目前的風險會有影響，同時，滯后一階的沖擊對當前的風險也存在非線性的影響.

4結論

提出了一類基于傅立葉級數的半參數CAViaR模型，并給出了模型的貝葉斯推斷和MCMC抽樣估計算法，對于靈活地測度金融市場的VaR風險值具有重要的意義.把貝葉斯半參數CAViaR模型應用于中國股票市場的風險測度，結果發現中國股票市場的VaR風險存在自相關性和羊群效應.但是，如何把極值理論與非參數方法結合起來估計金融風險值是未來研究的方向.

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Bayesian Analysis of Semi-parametric CAViaR Model Based on Fourier Series

ZENG Hui-fang1， XIONG Pei-gen2

(1.Business School，Hunan University of Science and Technology，Hunan Xiangtan 411201，China; 2.School of

Information and Electrical Engineering，Hunan University of Science and Technology，Hunan Xiangtan 411201，China)

Abstract：According to the complexity and uncertainty in financial market，in order to more flexibly measure the volatility risk of financial market，this paper presents a class of semi-parametric CAViaR model by using the non-linear influence of former term fitting information of Fourier series on current VaR risk value to select suitable priori distribution，the related likelihood function is constructed based on asymmetric Laplace distribution，the posterior distribution of the parameters is deduced，and thus，the Bayesian deduction for CAViaR model is implemented.Finally，the feature of the risk volatility of Shanghai Composite Index is studied based on Bayesian CAViaR model and its results show the risk volatility of Shanghai Composite Index has auto-regression.

Key words： Bayesian analysis; Fourier series; semi-parametric method; CAViaR model