連帶Legendre微分方程邊值問題解的相似結構

連帶Legendre微分方程邊值問題解的相似結構*

羅梅， 李順初

(西華大學 應用數學研究所,成都 610039)

摘要：利用連帶Legendre微分方程在x=1附近的兩個基本解，通過構造相似核函數，得到解的相似結構，由此得出解決這類邊值問題的一種簡潔方法——相似構造法；該方法大大簡化了運算步驟，并且能更直觀地觀察出解的內在規律.

關鍵詞：邊值問題；連帶Legendre方程；相似結構；相似核函數

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.008

收稿日期：2015-07-06；修回日期：2015-08-16.

基金項目：*四川省教育廳自然科學重點項目(12ZA164).

作者簡介：羅梅(1990-)，女，四川樂至人，碩士研究生，從事微分方程及其應用研究.

中圖分類號：O175文獻標志碼：A

眾所周知，二階常系數線性微分方程的求解問題已在數學分析中討論過，并且較容易得出其解.2004年以來，文獻[1]提出了微分方程解的相似構造理論，進而一些微分方程邊值問題的解[2-10]可以利用相似結構理論求解出來.文獻[11]為求解變系數微分方程提供了另外一種方法，即通過線性變換把二階變系數微分方程轉變成連帶Legendre方程來求解，通過求解連帶Legendre方程，可很容易得出變系數微分方程的解，對于研究連帶Legendre微分方程的解具有重要的意義.基于此，研究如下連帶Legendre方程的邊值問題：

(1)

(2)

(3)

其中ν,a,b,α,β,c均為已知的實常數，m=0,1,2,…,0<α<β,c≠0.利用微分方程(1)在x=1附近的兩個基本解，討論邊值問題(1)-(3)的解的相似結構.

1預備知識

方程(1)在x=1附近的兩個基本解[12]可用超幾何函數表示為

(4)

(5)

定義引解函數如下：

則它的通解為

(6)

其中C1,C2為待定常數，可由式(2)(3)確定.

為了得到式(1)-(3)解的相似結構，首先給出超幾何微分方程的相關性質.超幾何函數有如下的微分性質[3]：

即有引理1.

但(x)l+1=x(x+1)…(x+l)=x(x+1)l,則

引理1證畢.

根據引理1，很容易得到

(7)

(8)

在式(4)-(8)中，令x=α，有

(9)

(10)

同樣，在式(4)-(8)中，令x=β，有

(13)

(14)

2解的相似結構

由式(2)知

(17)

由式(3)知

(18)

聯立式(17)和式(18)，求解后得

(19)

(20)

將式(19)、(20)代入式(6)，得到邊值問題(1)-(3)的解為

(21)

3結論

相似核函數只與定解方程的兩個線性無關的解和右邊界條件的系數有關，與左邊界條件的系數無關.若右邊界條件改變，只需對核函數做相應的修改，再經過簡單的代數運算，便可得其解.該方法可以使程序變得簡單明了，易于操作，為編制相應的軟件提供方便.

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[13] 劉式適，劉式達.特殊函數[M].北京：氣象出版社，2002

Similar Structure of the Solution to Boundary Value Problem ofAssociated Legendre Differential Equation

LUO Mei， LI Shun-chu

(Institute of Applied Mathematics， Xihua University， Sichuan Chengdu 610039， China)

Abstract：Based on two basic solutions of associated Legendre differential equation at the neighborhood of x=1， by constructing similar kernel function， the similar structure of the solution is obtained， as a result， a simple method for solving the class of boundary value problem， similar constructive method， is presented.This method largely simplifies the operation steps and can better intuitively find the inherent law of the solution.

Key words： boundary value problem； associated Legendre equation； similar structure； similar kernel function