Schur不等式的一個注記

Schur不等式的一個注記*

廖平,趙丹， 王龍， 趙鳳鳴

(四川職業技術學院 應用數學與經濟系，四川 遂寧 629000)

摘要：給出了矩陣特征值模平方和的一個上界，并證明了所得結果對某類特殊矩陣可以得到更好的界.

關鍵詞：矩陣特征值；估計；Schur不等式.

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.013

收稿日期：2015-06-15；修回日期：2015-07-16.

基金項目：*四川省教育廳自然科學

作者簡介：廖平(1983-)，男，四川自貢人，講師，碩士，從事應用數學研究.

中圖分類號：O151.2文獻標志碼：A

0引言

關于矩陣特征值模的平方和的一個上界，以下結果是熟知的(即Schur不等式)[1-3]：

(1)

(2)

其中，M*表示矩陣M的共軛轉置矩陣.

文獻[4]借助分塊矩陣，對矩陣M分塊如下：

(3)

其中A=Ak×k為矩陣M的k階主子陣，得到估計式：

(4)

1矩陣特征值的估計

(5)

(6)

又因為

(7)

又令

(8)

則式(7)可取到最小值

(9)

此時，由式(6)(7)(9)即得

(10)

又由矩陣K與矩陣M相似，故有相同的特征值，設λ1,λ2,…,λn為M的特征值，由式(1)則有

(11)

由式(10)(11)即得式(5)，證畢.

(12)

下面將證明對于一類特殊矩陣，上述結果優于式(4).

定理3設M為任意復方陣，對矩陣M分塊如式(3)，若塊矩陣A恰為對角陣，則

(13)

(14)

證畢.

2數值算例

參考文獻：

[1] HORN R A,JOHNSON H R. Matrix analysis [M]. Cambridge University Press,Cambridge,1985

[2] 詹興致. 矩陣論[M]. 北京:高等教育出版社,2008

[3] KRESS R,VRIES H L D, WEGMANN R. On Nonnormal Matrices[J]. Linear Algebra Appl,1974(8):109-120

[4] 屠伯勛.矩陣秩的下界與方陣的非奇異性[J].復旦大學學報:自然科學版,1982,21(4):416-422

[5] 胡興凱，鄒黎敏.矩陣秩和特征值的估計[J].西南大學學報:自然科學版,2009,31(12):99-102

[6] 胡興凱.矩陣特征值不等式[J].重慶工商大學學報:自然科學版,2012,29(4):23-26

[7] 廖平，王龍.Schur不等式的改進及應用[J].重慶工商大學學報：自然科學版,2014,31(2):16-21

On the Schur Inequality

LIAO Ping,ZHAO Dan ,WANG Long,ZHAO Feng-ming

(Department of Applied Mathematics and Economics Sichuan Vocational and Technical College,

Sichuan Suining 629000,China)

Abstract：Firstly,an upper bound is given for the sum of square modules of eigenvalues. The result is proven that it can get better bound for some special matrixes.

Key words： matrix eigenvalues; estimation; Schur inequality.