面齒輪傳動系統非線性動力學鍵合圖模型及方程

宋野++于廣濱++戴冰++高德軍++葛江華

摘要：為了較好研究面齒輪的傳動系統，本文以正交面齒輪傳動系統為研究對象，基于Bondgragh理論建立了綜合時變嚙合剛度、傳動誤差、齒面摩擦力、嚙合阻尼等因素的耦合非線性動力學模型.運用Bond gragh理論將面齒輪傳動系統中的激勵和響應轉化為鍵合圖元，分析系統運動的特性分別建立了面齒輪彈性變形鍵合圖模型、傳動誤差鍵合圖模型和齒面摩擦鍵合圖模型，并分析因果關系和鍵合圖中的功率流得到面齒輪傳動系統非線性動力學耦合方程.

關鍵詞：面齒輪；動力學；鍵合圖；非線性

DOI： 10.15938/j.jhust.2015.05.010

中圖分類號：TH113

文獻標志碼：A

文章編號：1007-2683（2015）05-0051-05

0 引言面齒輪除了具有大重合度、強軸間位置適應性、大變速比外，面齒輪傳動還具有大傳遞功率、良好的分流效果、優良的工作平穩性、簡單結構、低噪聲、輕單位質量、小空間占用等優點，其應用領域廣泛覆蓋.經過長期的理論研究和技術實踐，在國內外的眾多研究機構和學者的努力下，對面齒輪傳動系統結構的研究也更加深入和細化，重點研究領域主要有：面齒輪的齒面成形原理及嚙合動態特性，基于有限元法的面齒輪結構強度、溫度場分布，面齒輪的實際生產加工及制造裝備，動力學分析與實驗測量方法的研究.

Bond graph理論是由美國麻省理工學院的H.M.Paynter教授在1959年提出的，其理論基礎是熱力學第一定律，即熱量可以從一個物體傳遞到另一個物體，也可以與機械能或其他能量互相轉換.具體形式是分析機械系統中的多種能量范疇耦合合成的基本物理過程，用四中形式的廣義變量：勢、流、廣義動量和廣義位移描述系統功率的傳輸、轉化、貯存、耗散，并按照相互鏈接關系、能量傳輸情況、變量間因果關系、系統階次等系統信息將與能量單元相關的理想元件用鍵連接，因此鍵合圖可以更加形象具體的表現機械系統尤其是面齒輪系統的非線性傳動特性，所用的狀態變量即為系統的物理變量，在機械系統中各機械元件相互作用綜合，是系統的輸入與輸出保持某種因果關系，其因果關系具體表現為各元件之間的功率傳遞，這也是Bond graph理論的根本依據.根據機械系統的工作原理，按照各元件的因果關系，即可建立起系統的鍵和圖模型，分析其隱含著的系統動態性能狀態方程，增廣后可列寫出相應的動力學方程.

1 面齒輪傳動系統的鍵合圖建模

1.1 彈性變形模型

面齒輪輪齒在嚙合過程中，在齒面載荷的作用下會發生形變.在輪齒任意位置的彈性變形δ與相應受到的載荷W具有如下關系

W=k_hf（δ）.

（1）式中：k_h即輪齒的綜合嚙合剛度.根據Bond graph理論，載荷W定義為勢變量e（t），彈性變形δ定義為廣義位移F（t），那么面齒輪輪齒的彈性變形可用基本的一端口元件容性元C來表示，參數為k_h.

由于齒輪在加工、制造與安裝、運轉過程中會產生誤差，從而導致嚙合齒廓偏離其理論位置，進而在輪齒嚙合過程中產生位移型激勵，即為誤差激勵.因此可用流源Sf表示面齒輪傳動系統中誤差激勵e_n（t）的導數，面齒輪傳動誤差激勵的鍵合圖模型如圖1所示，容性元件C表示彈性變形，阻性元件R表示嚙合阻尼，并且流源S，可以定義為

1.2 齒面摩擦模型

圖2所示為一對相互嚙合傳動的面齒輪傳動副，根據牛頓第三定律可知圓柱齒輪和面齒輪所受的摩擦力大小相等、方向相反.滑動摩擦力產生于主動輪和被動輪的齒面在輪齒嚙合的過程中發生相對滑動的過程中，因此與嚙合線相垂直的方向是摩擦力的方向，

基于庫倫摩擦定律（Coulomb定律），摩擦力F_f可以定義為式中：μ為摩擦系數；sign表示符號函數，F_N為正壓力，

根據Bond graph理論，齒面摩擦力為耗能元件，且不斷變化，因此可以應用一端口元件阻性元MR表示.根據公式可知由于摩擦力臂Z的變化導致齒廓接觸點間的相對速度V_h發生變化，進而影響摩擦力F_f改變，因此可以應用二端口元件變換器MTF來表示圓柱齒輪和面齒輪的摩擦力臂l變化，可得出面齒輪齒面摩擦的鍵合圖模型如圖3所示.

1.3 包含齒側間隙的時變剛度模型

齒輪嚙合傳動時，為了在嚙合齒廓之間形成潤滑油膜，避免因輪齒摩檫發熱膨脹而卡死，齒廓之間必須留有間隙，此間隙稱為齒側間隙.一般情況下齒側間隙很小，但由于其誤差的存在，會使得齒輪在嚙合時產生嚙合沖擊，對于齒輪的平穩性和嚙合的動態特性造成很大的影響，甚至降低齒輪系統壽命，影響整個機械系統的正常運轉.上文公式提到面齒輪系統剛度k_h的定義，其中f（*）即為齒輪嚙合時考慮齒側間隙的函數，考慮該函數對面齒輪傳動系統動力學模型具有非線性的影響，傳統的基本鍵合圖元件無法詳細表述，可采用一種非線性元件功率結型結構來形容.

如圖4所示，齒側間隙模型可由兩個質量元件m₁和m₂、一個間隙非線性彈性元件kf（*）和一個能量耗散元件C所組成.當齒輪系統中間隙大小為2b時，可以定義f（*）為非線性分段函數，表示為

根據Bond graph理論，由于間隙函數f（*）是聯系勢變量e（t）（即載荷W）和廣義位移q（t）（即彈性變形δ的函數，可以用一端口容性元件C定義，容度參數即為l/k_h.由于間隙函數f（*）具有分段性特征，在建立鍵合圖模型時需要引入布爾變量u來表述函數的時變性.相對于齒側間隙的3個狀態，分別用u_i（i=1，2，3）.定義：u₁：w=k_h（δ-b），δ>b；u₂：w=0，-b≤δ≤b；u₃：w=k_h（δ+b），δ<-b.并且當3個布爾變量中一個為1，其他兩個即為0，這樣可以用布爾變量u來控制功率結中的功率通口.

圖5考慮齒側間隙的時變剛度鍵合圖模型

圖5所示即為根據齒輪沖擊副模型建立的考慮齒側間隙的時變剛度鍵合圖模型，定義狀態變量δ_i（i=1，2，3），可得到該鍵合圖模型的狀態方程

1.4 齒輪彈性支撐的鍵合圖模型

基于嚙合原理和面齒輪傳動的實際特點可知，主動輪為圓柱齒輪，在其軸向沒有力的作用存在，從動輪為面齒輪，在其徑向沒有力的作用存在，因此面齒輪傳動系統中圓柱齒輪和面齒輪軸承彈性支撐的動力學模型可分別用兩個彈簧和阻尼器模擬，模型如圖7所示.

模型中m₁，m₁分別為圓柱齒輪和斷齒輪的集中質量；根據Bond graph理論，齒問的載荷力的分量和齒間摩擦力的分量可用一端口勢源元件Se表示，支撐剛度k_x1，k_z1，k_x2，kk_z2，可用一端口容性元件C表示，阻尼C_x1，C_z1，C_x2，C_z2由于造成功率損耗可用一端口阻性元C表示，齒輪集中質量m₁，m₂可用一端口慣性件，表示.

齒輪瞬時傳動比會因為齒輪加工誤差和安裝誤差等誤差因素的存在發生變化，產生輪齒間碰撞沖擊現象，誤差在鍵合圖中可以用一端口勢源Se表述.根據Bond graph理論，結合如圖6所示的面齒輪非線性動力學模型，可以得到面齒輪非線性嚙合的鍵合圖模型如圖7所示.

2 鍵合圖模型方程推導

上文分析面齒輪傳動系統中圓柱齒輪和面齒輪只在x軸和z軸存在彈性支撐，因此存在四個彈性支撐的鍵合圖模型，根據嚙合理論彈性支撐的存在是由于輪齒嚙合時齒輪副間碰撞沖擊，產生動載荷和摩擦.齒輪彈性支撐鍵合圖模型中的容性元C、慣性元，和阻性元R的線性形式因果關系分別是

其中k為齒輪的支撐剛度；m為齒輪的質量；c為阻尼，利用1結約束條件和按照已指定的因果關系，就可得到該系統的狀態方程為

由于彈性支撐方向與動載荷方向相關，分析可知圓柱齒輪和面齒輪受到的彈性支撐沿各自軸向且方向不同，當通過彈性支撐鍵合圖模型推導動力學方程時，應該考慮輸入變量勢源Se的不同，即F_k+F_n不同.齒嚙合時齒輪副受到的法向動載荷F_n及其沿x，z坐標軸上的分量為

圓柱齒輪在沿x軸的橫向振動是受到嚙合齒面的法向載荷F_n沿x軸正方向的分力和摩擦力f_x的共同作用即變量勢源Se分別表示為

面齒輪同理，因此根據圖6所建立的面齒輪傳動系統中彈性支撐的非線性動力學方程為式中λ為摩擦力方向函數；l_p為時變摩擦力臂.已知齒輪副重合度ε，小齒輪基圓半徑r_b1，小齒輪齒頂圓半徑r_a1，小齒輪基圓齒距P_b1，小齒輪轉速n₁，則摩擦力臂l_p及摩擦力方向函數 可表示為：

根據Bond graph理論，面齒輪嚙合鍵合圖列寫動力學方程需確定系統的輸入變量和狀態變量，分別選定，元的廣義動量P₂，p₉和C元的廣義位移δ為狀態變量，勢源SeT₁，T₂為輸入變量，鍵合圖模型中的容性元C、慣性元I和阻性元R的線性形式因果關系分別是

其中：k_h為兩齒輪的嚙合剛度；I₁，I₂為兩齒輪的轉動慣量；c_h為兩齒輪的嚙合阻尼.利用1結約束條件和按照已指定的因果關系，就可得到該系統的狀態方程為

對鍵合圖中功率傳輸方向進行分析，可得出系統中勢變量和流變量如下

3 結論

本文應用Bond graph理論建立了正交面齒輪傳動系統動力學模型，并推導了面齒輪傳動系統動力學方程，與傳統動力學研究方法相比具有以下優點：

1）基于Bond graph理論建立的面齒輪傳動系統動力學方程，綜合考慮了系統的時變嚙合剛度、嚙合誤差、嚙合阻尼、齒間摩擦等非線性因素，對于齒輪系統變化狀態的描述具有較好的準確性.

2）基于Bond graph理論建立的面齒輪傳動系統動力學模型，由于只用四種形式的廣義變量皆可以把面齒輪傳動系統中物理過程表述出來，對于系統中各個物理量的關系和能量變化情況比較直觀，并且靈活性和拓展性較高，可根據實際情況在模型中添加或是減少影響系統的激勵因素.

3）根據已建立的鍵合圖模型推導面齒輪動力學方程，不但符合齒輪嚙合的實際情況，而且由于其清晰的因果關系，對于方程的推導效率和準確程度也較滿意.