數據的數字特征解題技巧

侯永

摘 ? ?要：一組數據的數字特征可分為兩大類：一類是刻畫該組數據的集中趨勢的統計量，包括平均數、中位數、眾數;另一類是刻畫該組數據的離散程度的統計量，包括的極差、方差、標準差.具體解題時，必須明確有關概念和計算公式以及實際意義.請看以下歸類解析。

關鍵詞：數據;數字特征;解題技巧

中圖分類號：G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1992-7711（2015）24-001-01

1.直接利用公式進行分析

數據x1，x2，…xn的平均數計算公式為：x=，方差計算公式為：s2=[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，標準差計算公式為：s==

例1 ?對于一組數據zi（i=1，2，3，…n），如果將它們改變為zi-c（i=1，2，3，…n）（其中c>0），那么下列結論正確的是 （ ? ?）.

A.平均數比原來的少 c，方差比原來的少c2

B.平均數比原來的少c， 方差與原來的一樣

C.平均數比原來的多c，方差比原來的多c2

D.平均數比原來的多 c，方差與原來的一樣

解析：設一組數據zi（i=1，2，3，…n）的平均數為Z，方差為s2，則一組數據zi-c的平均數為 =-c=z-c，

方差{[（z1-c）-（z-c）]2+[（z2-c）-（z-c）]2+…+[（zn-c）-（z-c）]2]}=[（z1-z）2+（z2-z）2+…（zn-z）2]=s2.

所以，平均數比原來的少c， 方差與原來的一樣.故選B.

評注：一般地，若x1，x2，…xn的平均數是x，方差是s2，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數是ax+b，方差是a2s2.

2. 結合所給圖形進行分析

由于根據條形統計圖、莖葉圖均可得到具體的數據，從而有利于分析數據的數字特征.因此，我們應該熟練掌握條形統計圖和莖葉圖，為解題提供準確的題設條件.

例2 ?甲、乙兩位學生參加省高中數學聯賽培訓.現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取10次，并制作得到如下莖葉圖.請根據莖葉圖回答如下問題：

甲 ? ? ? ? ?乙

9 ? 8 ? 5 ? 7 ? 5 ? 9

8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 8 ? 0 ? 0 ? 3 ? 5

5 ? 5 ? 3 ? 9 ? 0 ? 1 ? 2 ? 5

（Ⅰ）指出甲成績的眾數、中位數和極差;

（Ⅱ）從平均數與方差角度考慮，如果要從中選派一人參加省高中數學聯賽，那么你認為選派哪位學生參加比較合適？請說明理由。

解析：（Ⅰ）由莖葉圖可知甲的成績分別為75，78，79，81，82，84，88，93，95，95，所以甲成績的眾數為95，中位數為，極差為95-75=20.

（Ⅱ）派乙參賽比較合適.理由如下：

先分別計算甲、乙成績的平均值：

x甲=（3×70+4×80+3×90+5+8+9+1+2+4+8+3+5+5）=85，

x乙=（2×70+4×80+4×90+5+9+0+0+3+5+0+1+2+5）=85

再分別計算甲、乙成績的方差：

s2甲=（[（75-85）2+（78-85）2+（79-85）2+（81-85）2+（82-85）2+（84-85）2+（88-85）2+（93-85）2+（95-85）2+（95-85）2]=48.4

s2乙=（[（75-85）2+（79-85）2+（80-85）2+（80-85）2+（83-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（91-85）2+（92-85）2+（95-85）2]=40

于是，有x甲=x乙，s2甲>s2乙.故乙的成績較穩定，派乙參賽比較合適.

評注：一般地，給出兩組數據，得到的結果往往是平均數相等，方差不等，由此即得較小方差對應的人或物的穩定性就較好，從而確定選取對象.本題第二問計算量較大，需要耐心一點，認真一點，同時也要注意技巧的運用（請認真體會解析中關于“平均數”的計算）.

3. 利用等價轉化的策略進行分析

當一組數據x1，x2，…xn中的數據均較大時，先將每個數據都減去一個與它們的平均數接近的常數a，得到一組新數據x1'=x1-a，x2'=x2-a，…xn'=xn-a，則易知原數據的平均數為x=a+x'，方差為s2=[（x1-x'）2+（x2'-x'）2+…+（xn'-x'）2].

例3 ? 一組數據98，103，99，104，100，97，102，105的平均數是________，方差是________.

解析：每個數據都減去100得到一組新數據：-2，3，-1，4，0，-3，2，5，可知其平均數為1.故易知所求平均數是100+1=101，方差是[（-2-1）2+（3-1）2+（-1-1）2+（4-1）2+（0-1）2+（-3-1）2+（2-1）2+（5-1）2]=7.5

評注：本題顯然可以直接利用平均數和方差的計算公式加以求解，但運算較繁，這里運用等價轉化的策略顯得特別簡單，故值得品味、深思.

總之，關注解題技巧的探究，有利于積累解題經驗，提升解題能力.