基于灰色相關分析的GRFM傾斜量預測模型1

張小紅，王慧琴，于洪磊，高大峰，王 展

(1．西安建筑科技大學管理學院，陜西 西安710055；2．西安科技大學通信與信息工程學院，陜西 西安 710054；3．西安建筑科技大學信息與控制工程學院，陜西 西安 710055；4．西安建筑科技大學土木工程學院，陜西 西安 710055；5．陜西省文物保護研究院，陜西 西安 710075)

時間序列預測是大數據研究的熱點，在天氣預測、電力故障預測等多方面都有著廣泛的應用，在古建筑保護領域應用較少．很多磚石古塔面臨不均勻沉降、傾斜、裂縫等諸多問題，極大影響了古塔的穩定性和觀瞻性[1]．鑒于古塔觀測時間較短，數據量小，通過掌握觀測數據的發展規律預測古塔變形趨勢，具有重要的社會意義和實用價值[2]．

一些國內外學者利用有限元等數值分析方法[3-5]對結構沉降進行了預測，但預測誤差較大[6]．近年來，一些學者將古建筑變形數據作為時間序列，采用了回歸分析[7]、灰色理論[8]、時間序列[9]、BP神經網絡[10]等模型進行建模預測分析．總起來說，采用的模型主要包括單一預測模型和組合預測模型．實驗證明，單一預測模中，自回歸和滑動平均(ARIMA)等更適合于線性時間序列，對于非線性時間序列預測具有局限性；神經網絡可以按精度要求無限逼近函數，但前提是數據量大，并且存在過擬合現象等缺點．總之，回歸分析、BP神經網絡等多數方法都是建立在大量數據基礎上，計算量大，對于古塔的“小樣本”觀測數據不太適用．

為了彌補單一預測模型的缺陷，一些組合預測模型也相繼提出，如：模糊神經網絡、經驗模式分解等模型等．但主要針對某一特征數據進行學習和預測，多數文獻較少考慮影響因素，缺乏對影響因素的相關性進行定量分析，忽略了其它因素對預測量的影響貢獻．

由于古塔結構變形不是獨立的事件，從影響因素出發，通過分析影響因素的變化規律來預測傾斜的發展趨勢，提高預測的準確率．徑向基函數神經網絡可以逼近任意的非線性函數，能夠處理系統內的難以解析的規律性，具有良好的泛化能力，并有很快的訓練學習收斂速度[11]，但在處理小樣本數據方面也存在不足[12]．為了解決小樣本問題，本文引入灰色系統(Grey System)理論，采用等維遞補的方式進行“小樣本”數據的預測，從而擴充訓練樣本．同時，灰色相關理論可以通過計算兩個因果關系的小樣本時間序列的相關系數，選擇與傾斜量相關性高的自變量作為神經網絡的輸入，有助于提高學習效率．

鑒于以上分析，針對磚石古塔結構形變的小樣本、非線性等特點，通過分析古塔結構沉降與傾斜時間序列的相關性，利用灰色模型理論對原始監測數據進行累加求和，設計 GRFM 灰色神經網絡模型，并將該模型應用于小雁塔傾斜預測中，檢驗了該方法良好的預測精度和工程適用性．

1 基于相關分析的灰色神經網絡組合預測模型

利用灰色 RBF 神經網絡模型對磚石古塔傾斜進行預測，需要對影響因素、灰色模型和 RBF 神經網絡模型輸入、輸出樣本的選擇，合理選取樣本，建立預測模型并優化模型參數，從而提高預測精度．

1.1 灰色關聯度分析

設兩個長度為n的時間序列向量分別為X和Y，其中

二者的灰色鄧氏相關系數表示為

二者的鄧氏相關度表示為：

1.2 灰色GM(1，1)模型

灰色GM(1，1)模型是單變量二階微分方程，通過對原始數據進行累加求和生成處理，構建指數增長型數列，弱化數據的隨機因素，生成規律性較強的數據序列，從而有效降低數據的隨機干擾[13]．

其中，參數?a為發展系數，b為灰色作用量．其時間響應序列為：

1.3 RBF神經網絡預測

RBF神經網絡包含三層，分別為輸入層、隱含層和輸出層．輸入層有n個神經元，輸入向量為

隱含層有l個神經元，隱層輸出矢量l H∈R，輸出層有m個神經元，輸出矢量為其中，n，l，m分別代表輸入層、隱含層和輸出層節點的數量[14]．

在隱含層，每一個節點都使用非線性函數作為徑向基函數(RBF)，從輸入空間到隱含空間的變換選擇Gaussian函數作為RBF神經網絡的徑向基函數，來實現在隱含層x節點的非線性映射，其公式為

其中：cj為基函數的中心點，jδ為擴展系數，j為1～l的整數．

RBF的輸出估計值為

式中,ykp表示第p個輸入層節點xp對應的第i個輸出層節點的輸出值；Wkj表示隱含層第j個徑向基函數連接到輸出層第k個節點的權值．

1.4 基于灰色關聯度的GRFM傾斜量預測模型

古塔建筑結構的傾斜量呈現出一個非平穩震蕩的特點，用回歸分析等方法簡單預測不合適．考慮到古塔的傾斜是由于四個方位不均勻沉降而造成的，將沉降綜合指數與傾斜量兩個時間序列分別輸入灰色系統，計算兩個時間序列的累加序列．

如圖1所示，將趨勢項輸入RBF神經網絡，對偏移量進行預測，并做精度檢驗，達到預測精度輸出傾斜預測量，否則重新返回RBF神經網絡，進行學習擬合，直達滿足預測精度要求為止．

圖1 GRFM預測模型Fig. 1 GRFM forecasting model

GRFM 組合建模的主要步驟如下：

步驟 1：通過古塔四個方位的沉降值計算沉降綜合指數，計算沉降與傾斜量監測數據的相關性，保證灰色神經網絡輸入的樣本選擇的合理性．根據公式(1)和公式(2)，采用鄧氏灰色關聯度來表示沉降綜合指數與傾斜量的關聯關系．

步驟 2：建立沉降綜合指數和傾斜量兩個序列的 GM(1，1)灰色微分方程，采用最小二乘法來確定發展系數a和灰色系數b[15]，即

確定式(4)從而確定時間響應方程，求得沉降綜合指數序列和傾斜量的灰色預測值和

步驟3：為了增強預測的精度，在RBF訓練之前，將 GM(1，1)預測的序列結果根據公式(8)歸一化處理．

式中：max和min分別表示該序列數據的最大值和最小值。從而求得

步驟4：將步驟3的結果輸入RBF神經網絡，用蟻群聚類算法初始化公式(6)中的中心點cj和擴展系數jσ，對傾斜偏移量進行預測，并做精度檢驗，直達滿足預測精度要求為止．

設給定沉降綜合指數趨勢歸一化后的沉降樣本集X1，將X1可以分為k個模式

初始化蟻群算法的信息啟發因子α、期望啟發因子β、信息素揮發系數ρ和信息素強度Q、聚類半徑r，以及螞蟻個數m，最大進化代數N，螞蟻留下的信息素，設RBF基函數的中心點mi為Cj的中心點：計算每個樣本到每個模式中心的歐式距離歐氏距離以及啟發函數將每只螞蟻爬過的樣本點構成的聚類結果構成一個解，螞蟻隨機選取模式樣本每個樣本到各個聚類中心的歸屬概率為：

把所有樣本分別歸類到k個模式中，構成一個解．

最后，得出最優的聚類中心點Cj坐標和所有點到所有類的中心點的平均值作為RBF的中心點和擴展系數的初值．經過RBF訓練和優化，根據公式(7)得到其輸出

2 GRFM預測模型在小雁塔傾斜量中的應用分析

2.1 小雁塔觀測數據

小雁塔系密檐式磚結構佛塔，由于年代久遠，塔體產生了傾斜和沉降．為了掌握塔體穩定性，從2000年開始，按照《建筑變形測量規程》（JGJ/T8-97）和《建筑變形測量規范》(JGJ8-2007)行業標準和規范對小雁塔進行塔體傾斜量監測和沉降監測，觀測設備見表1．

表1 觀測設備與精度Tab.1 Observation equipment and precision

如圖2所示，塔底四角編號分別為A5、A6、A7和A8，塔頂四角編號分別為S1、S2、S3和S4．

圖2 小雁塔觀測點布置圖Fig.2 The small wild goose pagoda observation point layout

選擇 A5～A8四個沉降監測點的年累積最大值差值、塔剎傾斜量以及頂點坐標作為計算對象，具體如圖3和圖4所示．

圖3 小雁塔A5-A8觀測點沉降差值Fig.3 The small wild goose pagoda settlement observation difference of A5-A8

圖4 小雁塔塔頂坐標(2000-2015年)Fig .4 The small wild goose pagoda tower coordinates from 2000 to 2015

對于保護部門來說，了解小雁塔的變形動態，及時掌握其變形規律，為保護工作提供科學的分析資料，具有十分重要的現實意義．

2.2 小雁塔沉降綜合指數

磚石古塔發生傾斜的主要因素是不均勻沉降．設SI為沉降綜合指數，用以表示不均勻沉降的嚴重程度；設小雁塔塔基的東、南、西、北四個觀測點 A5、A6、A7、A8的累積沉降值，設表示觀測點A5與A6、A6與A7、A7與A8、A5與A8、A5與A7、A6與A8的沉降差值．則有

根據公式(1)和(2)，計算塔頂點和沉降綜合指數的相關度為0.789 1，屬于強相關，說明二者的相關性較大，塔頂點的傾斜量預測可以參考塔基的沉降綜合指數．

2.3 GM(1，1)模型擬合

2.4 RBF模擬訓練與預測

設2000-2012年數據為Training訓練集，2013-2015年傾斜量為Test測試集合，最后對2016-2018年的傾斜量進行預測．

實驗工具為Matlab 2009 仿真軟件，分別采用GM(1，1)模型和GRFM模型通過沉降綜合指數對小雁塔傾斜量進行預測，并計算預測誤差．通過試驗，傾斜量測量值和預測值分別如表4和圖5所示．

表2 訓練結果與比較（單位：mm）Tab.2 Comparison of the training result/mm

為了檢驗GRFM模型訓練和預測誤差，采用MAE(平均絕對誤差)標準和MAPE(平均相對誤差)標準進行檢驗，具體如公式(15)和(16)所示．

從表GRFM預測模型的平均絕對誤差為1.402 mm，相對于GM模型來說，優勢明顯，具有良好的擬合效果．

圖5 傾斜量訓練結果Fig. 5 Training results

從圖5可以看出，用GRFM預測算法可以很好的傾斜量發展趨勢和細節變化，該模型與GM模型比較，其平均相對誤差性能具有很大優勢．在擬合過程中，灰色 GM(1，1)模型只能擬合總體趨勢，而灰色神經網絡模型可以很好的擬合具體細節，表現出了良好的擬合能力．

如表3所示，根據公式(16)，GRFM模型預測的平均相對誤差為 9.056%．采用 GRFM 對2016-2018年的傾斜量進行預測，得2016年、2017年和 2018年的傾斜量預分別為 4.538 mm，4.560 mm和4.590 mm．從圖5中可以看出，從2006年以來，傾斜量值相對穩定，2016-2018年的傾斜量略低于2008年，屬于穩定狀態．

表3 預測結果與比較（單位：mm）Tab.3 Comparison of the forecasting result

根據該模型的預測值，按照《建筑變形測量規程》(JGJ/T8-97)規范，已知小雁塔從塔基到塔頂的高度為38.14 m，可以計算2013-2018年的傾斜度，具體如表6所示．

表4 2013-2018傾斜量預測Tab.4 Inclination forecast of 2013-2018

根據建筑地基基礎設計規范(GB50007-2011)中民用建筑傾斜標準，小雁塔的傾斜量均在200 mm以下，傾斜度在0.8%以下，在近幾年內傾斜量和傾斜度均較為穩定，該結論與文獻[16]的分析一致．

3 結論

設計了基于灰色關聯分析的GRFM 預測模型，采用灰色相關分析理論分析了沉降和傾斜量的相關度，利用灰色模型建立傾斜量相關因素累加求和，建立緊鄰均值序列，采用基于蟻群算法的RBF神經網絡對傾斜量進行預測，該模型的有效性在小雁塔傾斜量預測中得到了有效性的驗證，為磚石古塔穩定性分析提供了一種基于監測數據的分析方法．研究的結論主要包括：

(1) 模型采用灰色關聯分析法計算了預測量與影響因素之間的相關度，在二者屬于強關聯的情況下進行預測，保證了該模型對具有相關性時間序列預測的可靠性．

(2) 模型通過灰色系統建立影響因素的累加序列，降低數據的隨機性，保證該模型適用于“小樣本”數據；采用基于蟻群算法的RBF神經網絡對傾斜量進行預測，發揮RBF神經網絡的快速收斂特點，對非線性數據具有預測優勢，能夠有效地提高預測精度，其預測精度明顯高于 GM(1,1)灰色模型．實驗證明，采用GRFM模型對非線性、小樣本性和動態性的時間序列的預測是有效的．

(3) 該模型在小雁塔傾斜量預測應用中，在計算了沉降綜合指數與傾斜量的基礎上，對傾斜量進行預測．根據《建筑地基基礎設計規范》(GB5007-2002)，實驗結果表明小雁塔的塔身傾斜量較為穩定，整體的結構安全性良好，在短期內沒有結構風險．

當然，時間序列影響因素較多，需要針對多種因素的進行選擇，既保證預測的精度，有盡量降低預測模型的計算量．因此，課題組的下一個工作重點是建立多種因素對傾斜量的相關性，研究多種影響因素的有效選擇，研究基于多因素相關的傾斜量預測模型．

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