數學概念教學的三步驟：了解、理解、見解

在數學中，作為思維形式的判斷與推理，一般以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎.正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提.

數學教學的宗旨是使受教育者數學地認識事物，即數學地理解、數學地思考、數學地表達，這是一個螺旋上升的有機結構體系.

數學概念教學的三步驟，是指教師引導學生對數學概念的認識要歷經了解、理解、見解螺旋上升、逐步深入的過程， 具體地說，就是數學概念教學首先要追溯概念的起源，了解數學概念的產生與發展，在此基礎上加強概念的理解與欣賞，最后提出自己的見解，對數學概念進行反思、批判或是再創造.

一、了解——數學概念的產生與發展

（一）數學概念的產生

數學概念的生成應當是自然的，數學概念教學一要遵循學生的認知規律和認知水平，二要尊重數學概念產生的社會歷史背景.

案例1：復數概念的產生

（1）要注意從兩方面回顧數集的發展

一方面，從社會生活看，人們為了滿足生活和生產實踐的需要，數的概念在不斷地發展變化著：為了計數的需要產生了自然數，為了測量的需要產生了分數，為了刻畫相反意義的量產生了負數，為了解決度量正方形對角線長的問題產生了無理數等；另一方面，從數學內部來看，數集是在按照某種“規則”不斷擴充的.在自然數集，加法和乘法總可以實施.但是，小數不能減大數，為此引入負數，數集擴充到整數集.在整數集中，加法、減法、乘法總可以實施，對于除法只能解決整除問題，如方程3x-2=0就無解，為此，引入了分數，數集擴充到有理數集.在有理數集中，加法、減法、乘法、除法（除數不為0）總可以實施. 但是開方的結果可能不是有理數，如方程x2-2=0就無解. 為此引入了無理數，數集擴充到實數集.

（2）要深刻全面理解數系的含義

一個數系指的是一個數集連同相應的運算及結構，并不僅僅是數集. 從自然數集、整數集、有理數集到實數集，每一次數的概念的發展，新的數集都是在原來數集的基礎上“添加”了一種新數得來的. 而且在新的數集中，原有的運算及其性質仍然適用，同時解決了某些運算在原來數集中不是總可以實施的矛盾.可見，數系的每一次擴充既要考慮數集的擴充，又要考慮相應的運算及結構.

（3）復數概念的引入水到渠成

在實數集中，雖然加法、減法、乘法、除法（除數不為0）總可以實施，也解決了正數開方的問題，但是我們又面臨負數不能開平方的問題，這表明，數的概念需要進一步發展， 實數集需要進一步擴充！那么實數集應怎樣擴充呢？為了使負數能夠開平方，由于任何一個負數-a=a（-1）（a>0） ，所以，只要引入一個“新數”，使它的平方等于-1，因此，設“新數”為i，這樣實數集就擴充到了復數集，而且按數系擴充的要求，實數可以與“新數”i進行四則運算，原有的運算性質保持不變.

實數可以與“新數”i進行加、減、乘、除四則運算，會產生哪些類型的“新數”呢？讓學生自己“創造”出諸如2i，3i，-i， 3i+2，2-3i等等形式的復數，這些形式的“新數”能用一種統一的形式表示嗎？讓學生自己得到“符號”a+bi，（其中a，b為實數）；形如a+bi，（其中a，b為實數）的數叫作復數，全體復數所構成的集合叫作復數集. 這樣復數概念的引入水到渠成.

（二）數學概念的發展

每一個數學概念都有一定的發展過程，不同學段的學生對同一概念的理解也應當是不同的，這是學生的認知水平和認知規律所決定的.如對于長方形與正方形的認識，在小學就認為正方形不是長方形，而到了初中就認為正方形是特殊的長方形.

案例2：函數的單調性概念的發展（以單調增函數為例）

（1）圖象說

若函數y=f（x）的圖象在某一段從左向右看是上升的，我們就說函數y=f（x）在這一段圖象所對應的x的范圍內是單調增函數.

（2）變量說

若函數y=f（x）的自變量x在其定義域的某一個子區間內增大時，因變量也隨著增大，則稱該函數在該區間上是單調增函數.

（3）符號說

若函數y=f（x）的定義域為A，區間I?A，若對于任意的x1，x2∈I，當x1

（4）導數說

如果函數y=f（x）在區間I內可導，若對于任意的x∈I，恒有f '（x）>0，則稱該函數在區間I上是單調增函數.

單調增函數概念的“圖象說”形象直觀，是一種描述性語言，符合當時學生的學習心理和認知水平；“變量說”體現了因果變化關系，是學生易于理解的文字語言，“圖象說”→“變量說”，從圖形的描述到數量的變化，概念的理解深入了一層；但是，“y隨著x的增大而增大”，怎么用更確切嚴謹的數學語言來表達呢？“y隨著x的增大而增大”意思是說“只要x較大，其對應的y也就較大”，也就是“對任意的x1，x2∈I，當x1

由“對任意的x1，x2∈I，當x1

f（x1）0，即>0，而就是函數y=f（x）的導數，這表明，導數大于0與函數單調遞增密切相關.

二、 理解——數學概念的理解與欣賞

（一）洞察概念之本：顧名思義

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式. 這種反映形式用怎樣的語言詞匯來表達，是極其考究的，甚至要經過幾代數學人的不懈努力與完善.

簡易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念學生感到比較抽象，尤其是必要條件的理解有些困難.筆者在教學時設計了這樣一個flash故事情境：一位數學家從一間辦公室前走過，聽到室內有兩人在大聲吵鬧. 大款p對小秘q說：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服氣，氣急敗壞地說：“你的底細我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”兩個人都氣急敗壞，互不相讓，這時數學家走上前，不緊不慢地說：“你們所說的正是數學邏輯學中的充分條件與必要條件問題，大款是小秘的充分條件，而小秘是大款的必要條件. ”這個小故事就很好地揭示了“充分條件與必要條件”的概念之本質，若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件. 這是因為只要p成立，q就成立，p對q來說就足夠了，就充分了，所以，p是q的充分條件；但是若q不成立，p就不成立， q對p來說是必要的， 所以，q是p的必要條件.（當然，對這種社會現象教師要對學生進行正確的價值觀引導）

（二）理解符號之意：追根溯源、類比聯想、調整語序、直觀形象

符號語言是數學中通用的、特有的簡練語言，是在人類數學思維長期發展過程中形成的一種語言表達形式.其特點是抽象化和形式化，這也正是數學的魅力所在，但是符號語言畢竟很抽象空泛，那么數學概念中的符號語言該如何理解呢？

首先，追根溯源，搞清符號語言是如何產生的.數學符號語言又分為三種：象形符號語言、縮寫符號語言以及約定符號語言.如幾何學中的符號△、☉、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造，屬于象形符號.縮寫符號是由數學概念的西文詞匯縮寫或加以改造而成的符號，比如自然數N ， 實數R，虛數單位i，函數f，概率P（A）， 排列數A，組合數C，極限lim、正弦sin、最大max、最小min、存在?、任意?等符號均為此類.約定符號是數學共同體約定的，具有數學思維合理性、流暢性的數學符號，如運算符號+、×、∩，≌，∽，>，<等等.

其次，應用類比的方法理解符號語言也是一個不錯的主意.如集合語言可類比于不等式符號和邏輯語言：A?B←→a≤b，A∩B←→p∧q，A∪B←→p∨q， RA←→?p[1].

再者，調整語句順序，遵循固定搭配也是理解符號語言的好方法. 如?x1∈Df，總?x2∈Dg使得f（x1）=g（x2）”中“f（x1）=g（x2）”的順序應該調整為“g（x2）=f（x1）”，這樣“g（x2）=f（x1）”才能與前半句的“總?x2∈Dg，使得…”相對應. 整句理解起來更自然更順暢.很容易揭示這句符號語言的本質是：函數f（x）的值域是g（x）的子集.當然，“?x，p（x）恒（都）成立”與“?x，使得p（x）成立”，這些屬于固定搭配，不宜更改.

最后，“以形助數”，以直觀形象化，克服符號語言的形式化與符號化，使得數學符號語言的理解變得輕松！如橢圓的離心率與橢圓形狀的關系：離心率e越小橢圓越圓，e越大橢圓越扁.對此死記硬背，容易混淆搞錯，但把這一規律形象化就簡單多了.因為橢圓離心率e∈（0，1），如圖1，e越小即越靠近0，因為0比較圓滿，所以橢圓越圓，e越大即越靠近1，因為1比較扁平，所以橢圓越扁（可以把0和1寫得夸張一些）. 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關系就形象地牢牢地“畫”在了學生的腦子里，永遠不會忘記！

（三）欣賞概念之美：和諧平衡、嚴謹簡潔

數學地認識事物的基本結構“定義概念—推導性質—建立聯系—實踐應用”就是一個螺旋上升、科學發展的和諧體系，枝繁葉茂、生機盎然的“數學之樹”本身是和諧的，與大自然和人類社會也構成了和諧的生態系統.

古希臘數學家歐幾里得以不加定義的原始概念（如點、線等）以及具有自明性并被公認的命題（公理）為出發點，利用公理化的方法建立成一個和諧的數學演繹系統.其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人嘆為觀止，是數學和諧的典范. 即便是后來的“非歐幾何”——羅氏幾何、黎曼（球面）幾何，各自所有的命題也都構成了一個嚴密和諧的公理體系.每個體系內的各條公理之間沒有矛盾，只是所研究的空間層次不同：在宏觀低速的牛頓物理學中（也就是在我們的日常生活中），我們所處的空間可以近似看成歐式空間；在涉及廣義相對論效應時，時空則要用黎曼幾何來刻畫.

從儒家的中庸之道到佛教的世界大同、天人合一；從物理學的能量守恒到當今社會的和諧科學發展，無不體現了陰與陽、正與負的和諧平衡.經過多年的教學，筆者越發感覺到數學中也有大量的陰與陽，如加與減、乘與除、正與負、增與減、正弦與余弦、正切與余切、奇（函）數與偶（函）數等等，再如余弦定理：在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則a2=b2+c2-2bccosA.這個公式是完全和諧平衡的，如cosA不能換成cosB，否則角C不答應；如果把2bc換成2ac，那么邊b會感到不公平. 這些都體現了數學概念（定理）的和諧與平衡.

三、 見解——數學概念的反思、批判與再創造

對于數學概念，我們要在理解欣賞的基礎上敢于質疑，善于反思、批判與再創造. 事實證明，對數學概念的反思、批判與再創造極大地推動了數學概念的發展，進而也推動了數學的發展. 下面舉例加以說明.

（一）概念的反思

作為完成公理化結構的最早典范的《幾何原本》，在邏輯的嚴謹性上也還存在著不少缺點.在其公理系統中有若干原始概念，歐幾里得對這些概念都做了定義，但定義本身含混不清.另外，其公理系統也不完備，許多證明不得不借助于直觀來完成.此外，個別公理不是獨立的，即可以由其他公理推出. 1899年德國數學家希爾伯特注意到這些缺陷，在其《幾何基礎》中得到了完善.在這部名著中，希爾伯特成功地建立了歐幾里得幾何的完整、嚴謹的公理體系，即所謂的希爾伯特公理體系.隨著時間的推移，數學家們發現歐幾里得提出的五條公設的第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那么顯而易見. 由于證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走得對不對？第五公設到底能不能證明？基于對第五公設的不同看法，后來又出現了羅氏幾何、黎曼（球面）幾何等非歐幾何.幾何學的數學發展史告訴我們：正是要在理解欣賞的基礎上敢于質疑，敢于挑戰“權威”，善于反思與批判，才使得幾何學得到進一步豐富與發展.

再如上述案例2函數的單調性概念的發展（以單調增函數為例）的“導數說”，事實上， 拉格朗日中值定理告訴我們：如果函數f（x）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導；那么在開區間（a，b）內至少有一點ε（a<ε0成立. 由條件知，對于任意的x∈（a，b），恒有f'（x）>0，所以，至少有一點ε（a<ε0，從而a-b與f（a）-f（b）同號，如果就取x1=a，x2=b（x1，x2∈I，且x10，如f（x）=x3在區間[-1，1]上單調遞增，但是f '（0）≥0. 因此，函數的單調性概念的“導數說”，并不是數學意義上的概念，因為嚴格的數學概念中條件和結論應當是充要條件關系. 所以，蘇教版高中數學教材選修2-2（2012年6月第3版）第28頁的闡述是這樣的：“……這表明，導數大于0與函數單調遞增密切相關”，教材的這種說法還是留有余地的，它并沒有說明二者具體是怎樣的密切相關法.事實上，如果函數f （x）滿足：（1）在閉區間上[a，b]連續；（2）在開區間（a，b）內可導，則f （x）在（a，b）上嚴格單調遞增等價于

f '（x）≥0在（a，b）上恒成立且不存在（a，b）的任何子區間I，當x∈I時，f '（x）≡0.這些就是對函數的單調性概念的“導數說”反思后得到的較為深刻的認識.

（二）概念的批判

矩陣是高等代數下放到高中選修系列的一個概念，由于矩陣題目操作程序性強、易上手、得分高等原因而被絕大部分市級區域學校和師生所“青睞”，這本無可厚非，但現實教學中，教師不揭示知識的發生發展過程，學生只是被動地狂練；教師不揭示其中的數學文化與數學思想方法；學生只是“不知所以然”被灌輸，因此，學生對矩陣的知識極易遺忘，高三復習時只是到高考之前解題程式才被強行喚醒，顯然，上述“青睞”應試味道太濃，完全違背了這門課程的設置初衷及《普通高中數學課程標準》的基本精神，根本談不上對矩陣問題的研究，值得引起我們的重視.

逆矩陣是《矩陣與變換》專題中一個重要的概念，如果對于一個變換矩陣A，存在一個變換矩陣B，使得連續進行兩次變換（先TA后TB）的結果與恒等變換相同，即BA=E，則稱矩陣A是可逆的，B成為A的逆矩陣.蘇教版高中數學教材選修4-2（2008年5月第2版）對于逆矩陣是這樣定義的：對于二階矩陣A，B，若有AB=BA=E，則稱矩陣A是可逆的，B成為A的逆矩陣 [2].筆者認為根據逆變換的意義，只要有BA=E，就可以說矩陣A是可逆的，B稱為A的可逆矩陣，沒有必要把條件強化為AB=BA=E.事實上，如果對于一個變換矩陣A，存在一個變換矩陣B，使得連續進行兩次變換（先TA后TB）的結果與恒等變換相同，即經歷“走過去（A）”又“走回來（B）”的兩次變換，最終還是回到原地A，那么，對于變換B的起點，當然可以先“走過去B”再“走回來A” 最終又是回到原地B，則AB=E，所以，B是可逆的，A成為B的逆矩陣.基于此，對教材中逆矩陣概念的建議是：其一，弱化條件. 對于二階矩陣A，B，若有BA=E， 則稱矩陣A是可逆的，B成為A的逆矩陣.其二，把“AB=BA=E”調整為“BA=AB=E”，兩個概念一起給出. 對于二階矩陣A，B，若有BA=AB=E， 則稱矩陣A是可逆的，B稱為A的逆矩陣，同時矩陣B也是可逆的，A稱為B的逆矩陣.

（三）概念的再創造

這里所說的“概念的再創造”不是指數學概念的再創造教學法，而是在對于某數學概念有較深入的研究后，提出新的定義方法.如在解析幾何中，斜率是核心概念，在充分理解與把握這一概念本質的基礎上，可以利用這個概念，在坐標法思想指導下通過運算對圓、橢圓及雙曲線概念進行再創造. 如：

在平面坐標系中，若動點與兩定點A（-a，0）和B（a，0）連線的斜率之積是一個常數k（k≠0，a>0）.當k=-1時，動點的軌跡是圓（除去A，B兩點）；當k=-（b≠a，b>0）時，動點的軌跡是橢圓（除去A，B兩點）；當k=（b≠a，b>0）時，動點的軌跡是雙曲線（除去A，B兩點）[3].

綜上所述，對于數學概念教學，如果我們能夠注意引導學生追溯概念的起源，了解數學概念的產生與發展，在此基礎上加強概念的理解與欣賞，最后提出自己的見解，對數學概念進行反思、批判或是再創造（當然并不是每一個數學概念的教學都要經歷“三步驟”的完整過程，一般指核心概念），那么，行之有效、科學合理的數學概念的教學策略方法自然就會產生，在對數學概念的了解—理解—見解三步驟過程中，學生的數學素養、理性精神以及科學態度會在不知不覺中得到提高和培養.

參考文獻：

[1] 吳寶瑩. 把數學語言的學術形態轉化為教育形態的幾種方略[J]. 數學通訊，2013（2）：1.

[2] 蘇教版高中數學教材編寫組. 高中數學課程標準實驗教科書·數學·選修4-2[M].第2版. 南京：江蘇教育出版社，2008：50.

[3] 章建躍. 數學學習與智慧發展（續）[J]. 中學數學參考（上旬），2015（8）：7.