課堂巧生成教學更相長

許欽彪

課堂生成是指教師在課堂教學過程中，針對教學實際、學生學習狀況和學生中出現的新思維、新方法以及存在的問題等，在原有的教學目標、教學內容、教學設計、教學方法的基礎上進行及時補充、調整、完善課堂教學計劃、方式的一種教學應變方法.

數學課堂教學的目的是在教師主導下讓學生主體學習、理解、掌握數學知識，練習提高運用知識解決問題的方法能力，培養數學思維，形成數學思想.

從數學課堂教學質量和有效教學的要求來說，教學的主體是學生，教師的主導是為了引導學生高效地進行學習. 課堂教學效果是教與學的綜合結果，需要主導和主體的共同參與和密切配合. 因而課堂教學必須符合課堂過程實際，符合學生的學習現狀，重視學習反映出來的問題，及時進行有針對性地補充、調整、完善教學設計和教學方法，這就需要課堂生成.

從數學教師的要求來說，除了堅實的數學專業功底，扎實的教學基本功，還需要豐富的教學經驗和有效的教學方法. 而經驗、方法需要在具體的課堂教學實踐中豐富、提煉、完善. 課堂生成教學方法就是一種良好的途徑.

本文限于篇幅，僅以兩個具體實例，來闡述如何進行課堂教學生成，以期拋磚引玉.

一、 三角函數求值的課堂生成

從課堂上的學生反應情況可見，這類三角函數求值問題，除了公式運用和解題方法需要練習掌握外，有關所給的條件，特別是隱含條件的處理和利用，對于大多數學生來說明顯是個難點和弱點，而這恰恰是得到正確解答的重點和要點. 所以必須及時深入教學和延伸拓展. 意識到這一點，筆者隨即調整了教學計劃，把本來作為作業的兩個題目作為講練題在課堂中和學生一起研討透徹，以利學生對這類三角函數的條件能充分重視并掌握正確解法.

先對以上問題給以完整解答.

可見，三角函數求值時，條件的利用，不能只看明顯的條件，還要注意隱含條件，并且要不斷挖掘，逐漸精確，直至準確解答.

教師對這類問題應重點指出：三角函數求值時，經常會遇到一類符號及多值的取舍情況，取舍的依據是所給的條件，條件分為明顯條件和隱含條件兩種，如果只看明顯條件而忽視了隱含條件，就會難以取舍，產生遺漏、多值或者多加討論，使問題變得殘缺、復雜甚至陷入困境. 因而，仔細審題，發現和利用好隱含條件，正確判斷和取舍，在三角函數求值中尤其重要.

進一步給出類似的講練題.

可見，隨著隱含條件的正確發現和應用，可以判斷出、-是增根，正確的答案只有2α-β=-.

筆者認為，如果當時沒有重視學生在解答題1中的錯漏問題，繼續按照原有的教學設計把教學重點只放在三角函數式變形、角度變換、公式的靈活運用上， 表面上看，掌握知識，靈活應用，方法能力上得到了提高加強. 但由于忽視了條件的挖掘和應用，問題的解決是不會正確完整的，也不符合數學嚴謹思維的要求.而通過發現學生的錯漏，及時彌補、生成新的教學設計，輔以相關的問題，讓學生充分注意到條件特別是隱含條件對于準確解題的重要性，通過練習和講解，使學生在挖掘利用隱含條件方面得到鍛煉和鞏固，對于今后的數學學習，提高問題解決能力和培養正確嚴謹的數學思維，都是必須和必要的.

二、利用基本不等式求最值的課堂生成

基本不等式應用這節課原來的設計重點在于不等式的變形利用技巧. 筆者上課開始時為了讓學生回顧上節課在介紹利用基本不等式求最值時強調的“一正、二定、三取到”的基本規范，給出了一個簡單的訓練題.

解法三：∵ab當且僅當a=b時取最大值，而a=b時，代入a2=3b2=12解得：a=b=±，ab的最大值是3.

原來預計大多數學生應該會用解法一，但課堂統計的情況是：解法一占50%，解法二占30%，解法三占20%. 這個統計結果使筆者認識到學生的注意力或許重在不等式的變形利用上，而對于如何保證取到最大值即等號成立，是模糊不清的，而這恰恰是求最值的關鍵和重點，也反映出了學生數學思維的紕漏和失誤. 所以，筆者認為需要根據學生的實際情況，調整教學計劃，充實如何保證取到最值的問題講練.

先讓學生對以上三種解法進行對錯辨析，尋找思維誤漏，形成嚴謹正確的數學思維. 經過分析，學生基本上形成了統一認識.

解法一過程嚴謹，解答正確.

解法二的錯誤在于推理ab≤6的過程中出現了兩個“≤”，而兩個“=”號要同時取到的條件是a=b=0，與a2=3b2=12矛盾，因此6是取不到的. 所以求最值時必須驗證等號能否取到.

教師指出：這是忽視了最值必須切實取到的常見錯誤，一般在推理過程中出現了兩個或以上的“≤”，要幾個“=”號同時取到的機會就比較少.

解法三的錯誤是a=b時取最大值的前提是a2+b2或a+b要定值，沒有定值這個前提，“a=b時取最大值”是不正確的.

教師指出：這是忽視了“和一定，積最大”的前提條件的典型錯誤，解題時應該充分重視.

為了進一步讓學生糾正利用基本不等式求最值的失誤，正確認識和掌握解決問題的方法，筆者補充了幾則講練題與學生進行正誤辨析，以下是學生得出的正解和常見的典型錯誤.

題5：設x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值.

錯解：由+≥，∴≤1，xy≥36，∴x+y≥2≥12，∴x+y的最小值為12.

錯誤的原因還是因為忽視了驗證最值能否切實取到，事實上這里的兩個等號是不能同時取到的.

正解：x+y=（+）·（x+y）=1+9++≥10+6=16. 當=即x=4，y=12時，x+y取最小值16. 這里巧用了+=1，這是常用和有效的的“1代換”技巧.

也有學生給出了以下解法：由+=1，得=，x=∴x+y=+y===（y-9）+=（y-9）++10≥16，當y-9=即y=12時，取到最小值.

這里用到了由已知x，y的關系，將所求式的雙變量代換成單變量后，將其“湊合”成了可以用基本不等式的形式. 在肯定了這些學生解法的同時，也指出了應引起注意的問題，就是在利用基本不等式（y-9）+≥2·3時需要的條件：y-9>0. 在解答時必須予以嚴謹說明：由x>0，y>0，x=>0得y>9，∴y-9>0.

對于解法涉及的“湊合”也可以利用基本不等式的技巧，筆者及時生成了關于這方面的教學，并舉例進行講練.

題6：當x>1時，求y=的最小值和y=的最大值.

有了上面關于式子變形拆解“湊合”的提示，大部分學生比較順利地得到了以下正確解答，并注意到了“一正、二定、三取到”的完整性.

對于初次應用基本不等式求最值的學生來說，此題不但有一定的變元、變式和技巧上的難度，而且當思維主要在技巧上時，也容易忽視“一正、二定、三取到”的基本規范而產生上述常見的錯漏，因而這是一題理想的方法能力及辨析題.

學生得到的方法主要有以下兩種.

解法一過程嚴謹，解答正確完整，方法是“1”代換.一般地，如果已知條件式是常數，經常可以把所求式“湊合”成條件式用常數代換，以簡化所求式. 如果令t=，則0≤t≤，所求式將化成s=4t2+2t-1，更容易解決. 這是減元（把雙變量或多變量化成單變量）的方法.

解法二表面上看沒有問題，在后半部分用到了“減元”方法，化為二次問題解決，思維方法是好的，但前后兩個過程產生了兩個不等號，還是兩個等號能否同時取到，即最大值能否取到的問題. 事實上第一個4x2+y2≥4xy要取等號，須2x=y=，這時t=.而第二個s≤要取等號，須t=，這與t=矛盾. 這就說明，s是取不到的.

至此，本節課在原來的教學設計基礎上，由學生解第一個問題反映出來的錯漏，生成了既切合學生主體學習實際而又符合教學目標的新教學過程. 在師生講練探討中，很好地解決了利用基本不等式求最值的重點、難點，認識糾正了典型常見的易錯問題. 從課后的練習反饋情況看，教學效果明顯提高.

總之，數學教學方法經驗來源于課堂教學實踐，教學的主體是學生，教師要根據學生主體參與的實際情況來主導教學過程. 也就是說，教師要在教學內容、教學目標、重點難點等預設教案的基礎上，關注教學過程細節，有意識地主動積極發現學生學習過程中反映出來的普遍、常見、典型的問題，及時調整、補充、完善，生成符合課堂教學和學生實際，行之有效的教學方案，應用于教學過程.這樣才能真正做到數學教與學的相互促進，實現教學相長，提高教學質量.