用特殊化法解一類數學問題中的邏輯漏洞

張曉斌 潘建輝

在數學問題解決中，人們常會通過將一般問題具體化、特殊化的方式，來找到解決問題的突破口，從而求得問題的答案. 這就是數學問題解決中的特殊化法. 然而，人們在使用特殊化法時，很容易犯一個邏輯錯誤. 這個錯誤是什么？我們又該如何糾正呢？

一、用特殊化法解數學問題時導致的矛盾

三、 對特殊化法的完善

（一）待定系數法與特殊化法的比較

通過對特殊化法與待定系數法的比較發現，在解答例1和例2這類問題時，特殊化法，一是沒有對問題是否有解做出判定，二是在問題無解的情況下，會得出錯誤的結論. 因此，用特殊化法來解決這類問題，是有邏輯漏洞的，或者說是不完整的. 若用待定系數法，則能很好地解決這個問題.

然而，待定系數法也有其不足之處：一是在設定待求函數前，必須正確分析待求函數所屬類型. 二是從未知函數所滿足的已知表達式中，未必能事先分析得知未知函數的類型. 如從f（x-y）=f（x）+f（2y）-y（2x-y+1）的表達式中，就無法判定f（x）是幾次函數，這就難以用待定系數法來解決. 三是與特殊化法相比，待定系數法的解答過程比較煩復.

于是，我們自然會產生這樣的想法：解決類似于例1和例2的問題，除了可用待定系數法之外，是否還存在其他可行的方法？若是，又是否存在比待定系數法更好的方法呢？不妨，我們對特殊化法重新進行審視，看是否能由此找到答案.

（二）對特殊化法的完善

根據上面的討論知道，特殊化法的缺陷在于，用這種方法無法知道得出的結論是否正確. 為此，我們可在原有步驟的基礎上，增加 “對解的檢驗” 這一步驟. 我們希望，經檢驗正確的，剛好是原問題的解；經檢驗不正確的，一定不是原問題的解，并且此時還能據此判定原問題一定無解. 若事實確如我們所期待的那樣，那么增加了檢驗步驟的特殊化法，對于問題無解的情況，也能很好地解決了.

下面，我們分別就例1和例2所得到的結果進行檢驗.

故函數f（x）=x2+1不能使得f（x-y）=2f（x）-y（2x-y）-1對任意實數x，y都成立. 所以，f（x）=x2+1也不是原問題的解. 另外，根據待定系數法對例2的解答知，此時原問題無解. 因此，對以上兩例檢驗的結果剛好和前面的預期相吻合.

然而，這種吻合是偶然的嗎？為什么用特殊化法解例1和例2這類問題時必須檢驗？為什么經檢驗正確的就一定是原問題的解，不正確的就一定不是原問題的解，并且此時原問題就一定無解呢？下面，我們就對它進行邏輯分析.

四、完善后的特殊化法正確性的邏輯依據

（一）原特殊化法的邏輯漏洞

這說明，“f（x）在R上成立”是使得“命題（1）成立”的充分條件. 因此，我們所要尋找的是使命題（1）成立的充分條件. 但是，用特殊化法在假設命題（1）成立的情況下，將問題特殊化后去求f（x）的表達式，這是在執果索因，找到的是命題（1）成立的必要條件. 因此，原特殊化法的邏輯漏洞在于：我們需要找的是使題中條件成立的充分條件，但找到的卻是必要條件. 此時，解答者又往往錯誤地將其當成充分條件. 這就是人們使用特殊化法時，很容易犯的一個邏輯錯誤.

（二）對原特殊化法中邏輯漏洞的彌補

怎么來判斷用特殊化法得到的“f（x）的表達式”是不是“命題（1）成立”的充分條件呢？我們可以通過檢驗來判斷，就是在承認“f（x）的表達式在R上成立”的前提下，看能否證明命題（1）也是成立的. 即是看，由“f（x）的表達式在R上成立”是否能推出“命題（1）成立”. 若能，則我們找到的既是命題（1）成立的必要條件，又是充分條件，即命題（1）成立的充要條件. 此時，函數的表達式就一定是原問題的解；否則，若不能由“f（x）的表達式在R上成立”推出“命題（1）成立”，則找到的只是命題（1）成立的必要而非充分的條件. 此時，函數的表達式就一定不是原問題的解.

（三）判斷原問題無解的邏輯依據

為什么說，在經檢驗得出“函數的表達式不是原問題的解”的結論后，就能進一步得出“原問題無解”的結論呢？這是因為：用特殊化法在特殊情況下，由命題（1）得到的“f（x）的表達式在R上成立”一定是“命題（1）成立”的必要條件. 一方面，根據邏輯原理，既然它是必要條件，那么當這個表達式不成立（或求出的是其他表達式）時，命題（1）一定不會成立. 另一方面，又因為檢驗的結果告訴我們，當該函數表達式成立時，它也不能使命題（1）成立. 這就是說，無論該函數的表達式是什么，都不能使得命題（1）成立. 即不存在使得命題（1）成立的函數表達式. 所以，原問題無解.

總之，在解答例1和例2這類數學問題時，若用原特殊化法解答，則推理有漏洞，步驟不完整，答案不可靠. 為此，我們可通過增加“對解進行檢驗”的步驟來解決，并且通過嚴格的邏輯分析得知：“經檢驗，若求得的函數表達式滿足題中所有條件，則該表達式就一定是原問題的解；若該表達式不能完全滿足題中的條件，則它就不是原問題的解，且此時原問題一定無解. ”