吸氣式超聲速導彈爬升段軌跡在線規劃與跟蹤設計

明　超,孫瑞勝,白宏陽

(南京理工大學 能源與動力工程學院,南京 210094)

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吸氣式超聲速導彈爬升段軌跡在線規劃與跟蹤設計

明超,孫瑞勝,白宏陽

(南京理工大學 能源與動力工程學院,南京 210094)

摘要:為解決吸氣式超聲速導彈如何最優地爬升到巡航狀態的問題,提出了一種吸氣式超聲速導彈的爬升軌跡在線規劃與跟蹤控制設計方法。將爬升段彈道分解為2個相切的圓弧,利用數學幾何方法,推導了兩相切圓的相關參數及代數方程,建立了爬升段的參考軌跡,并通過動虛擬目標追蹤法設計了參考軌跡的跟蹤制導律,從而實現了基于兩圓相切理論的爬升段軌跡在線規劃與跟蹤控制,最后以典型工況為例,進行了數字仿真驗證,并與hp自適應偽譜法的優化結果進行了對比分析。仿真結果表明,參考軌跡與優化結果差別不大,能夠準確跟蹤參考軌跡,同時算法簡單,便于工程實現。研究成果可為吸氣式超聲速導彈爬升段軌跡設計提供參考。

關鍵詞:吸氣式超聲速導彈;爬升段軌跡;相切圓;動虛擬目標;在線規劃與跟蹤

吸氣式超聲速導彈以比沖高、推阻比大的吸氣式沖壓發動機作為其動力裝置,具有突防能力強、射程遠、機動靈活等優勢[1-4]。為充分發揮沖壓發動機高空巡航的性能優勢,爬升段彈道設計需要解決如何最優地從沖壓發動機開機點爬升到巡航狀態,而且爬升段需要加速和爬高,對全彈道的性能影響較大,因此,對吸氣式超聲速導彈的爬升段彈道進行合理地設計具有重要的理論研究意義和工程應用價值。

近年來,以吸氣式發動機為動力的飛行器以其高性能的優勢而備受關注[6-11]。尚騰、王華[6-7]等對以沖壓發動機為動力導彈的爬升段彈道的參考軌跡進行優化設計,但并未考慮爬升段軌跡的跟蹤控制。李海軍等針對再入機動飛行器,提出一種基于優化方法和軌跡線性化控制相結合的最優制導與控制方案,但其參考軌跡的生成算法復雜,不便于在線實時計算。呂翔等通過建立吸氣式組合動力飛行器的馬赫數-動壓參考曲線,利用二分法迭代攻角跟蹤參考軌跡,但采用迭代方法獲取參考軌跡的設計過程較為繁瑣。Olds[10]等提出了迎角的優化模型,以實現等動壓爬升,但優化模型的設計參數較多,且只能通過優化方法確定,不能在線實時提供爬升制導指令;閆曉東[11]等在此基礎上,提出了一種基于高度-速度曲線的等動壓爬升方法,但不滿足最優性條件。綜上,目前爬升段軌跡設計方法研究的不足之處主要集中在參考軌跡和制導指令在線實時計算不能保證,以及設計過程較為繁瑣。

為此,本文以吸氣式超聲速導彈為研究對象,基于兩圓相切理論和動虛擬目標導引方法,提出一種爬升段在線軌跡在線規劃與跟蹤控制方法,利用數學幾何方法,推導了兩相切圓的相關參數及代數方程,在線快速生成爬升段的參考軌跡,并通過動虛擬目標導引方法對參考軌跡進行實時跟蹤制導,為吸氣式超聲速導彈爬升段軌跡工程設計提供參考。

1爬升段軌跡分析

1.1動力學模型

采用球體模型,忽略地球自轉和地球曲率的影響,假設系統始終處于瞬時平衡狀態,則吸氣式超聲速導彈運動的動力學模型可簡化為[12]

(1)

式中:v,θ和L分別為導彈的飛行速度、彈道傾角和射程;r為地心距;H為高度,Re為地球半徑;g為重力加速度;阻力Fx=qSrefCx,升力Fy=qSrefCy,由動壓q和氣動特性決定;Sref為參考面積;mc為發動機的燃料質量流量。

發動機推力Fp可由式(2)計算[13]:

Fp=Isp(H,Ma,α)mc

(2)

式中:Ma為飛行馬赫數,Isp(H,Ma,α)為發動機比沖,以表格的形式給出。

1.2爬升段軌跡形式

從原理和經驗分析可知,爬升段的彈道AB的中間會出現彈道傾角的拐點C,使得彈道傾角先從0°增加到拐點值,再逐漸減小到達巡航狀態[14],如圖1所示。

在圖1中,起始點A(L0,H0)的狀態:H0為起始高度,發射后助推段時間很短,不失一般性彈道傾角初值θ0=0°。終點B(LT,HT)的約束條件:HT為期望的巡航高度,彈道傾角θT因巡航平飛近似取為0°。

圖1　爬升段軌跡形式

2軌跡在線規劃設計

2.1問題描述

圖2　爬升段軌跡輔助曲線圖

2.2拐點信息

爬升段彈道AB的中間會出現彈道傾角的拐點C,當軌跡在線規劃時,需確定拐點C的坐標C(LC,HC)及對應的彈道傾角θC。

由圖2的幾何關系,有:

(3)

(4)

聯立式(3)、式(4),可求解出線段AE和線段BF的表達式為

(5)

根據G、C和D三點的幾何關系,有:

GD=GC+CD=HT-H0

(6)

聯立式(3)~式(6),得到:

(7)

將式(7)進行簡化,并結合三角函數關系式,有:

(8)

求解方程組(8),即可求解出切點C處的彈道傾角θC,其表達式為

(9)

由式(9)可以看出,切點C處的彈道傾角θC為確定值,其大小只取決于導彈爬升段的起點和終點的位置信息。

不失一般性,簡化取爬升段軌跡的中點[14]作為C點進行研究。

切點C點的橫坐標LC為

(10)

切點C處的縱坐標HC為

(11)

2.3爬升段參考軌跡

根據圓O1中的角度關系,可知:

(12)

在ΔAO1E中,利用直角三角形理論,可確定圓O1的半徑R1為

(13)

圓心O1的坐標O1(LO1,HO1)為

LO1=L0,HO1=H0+R1

(14)

進而得到圓O1的代數方程為

(15)

同理,可推導出圓O2的半徑R2和圓心坐標O2(LO2,HO2)表達式為

(16)

LO2=LT,HO2=HT-R2

(17)

圓O2的代數方程為

(18)

3軌跡跟蹤設計

本文采用動虛擬目標導引方法實現對爬升段參考軌跡的跟蹤制導。令虛擬目標點沿著設計的參考軌跡飛行,假定其速度與導彈一致,每一時刻的位置較導彈超前,導彈采用比例導引法跟蹤動虛擬目標,從而通過動虛擬目標的引導作用實現對參考軌跡的跟蹤。

3.1動虛擬目標點位置

吸氣式超聲速導彈爬升段起始點的信息A(L0,H0,S0),S0為飛行路程的初始值,導彈的當前點M(L,H,S),S為導彈的飛行路程,動虛擬目標點位置較導彈每一時刻位置超前,超前量記為ΔS,則虛擬目標點P(LP,HP,SP)的飛行路程SP為

SP=S+ΔS

(19)

SAP=SP-S0

(20)

根據弧長計算公式,可得到圓心角∠AO1P為

(21)

進而得到:

(22)

由直角三角形邊角關系,有:

AP=2O1AsinθP=2R1sinθP

(23)

根據兩點間距離計算公式,可得:

(24)

聯立式(23)和式(24),有:

(LP-L0)2+(HP-H0)2=(2R1sinθP)2

(25)

虛擬目標點P(LP,HP)在圓O1上,從而滿足方程:

(26)

(27)

SPB=SAC+SCB+S0-SP

(28)

對應的圓心角∠BO2P為

(29)

進而有:

(30)

由幾何關系,可得:

BP=2O2BsinθP=2R2sinθP

(31)

根據兩點間距離計算公式有:

(32)

聯立式(31)和式(32),有:

(LP-LT)2+(HP-HT)2=(2R2sinθP)2

(33)

虛擬目標點P(LP,HP)在圓O2上,因此滿足:

(34)

(35)

3.2制導指令

吸氣式超聲速導彈采用比例導引法跟蹤動虛擬目標,從而通過動虛擬目標的引導作用實現對參考軌跡的跟蹤,比例導引律的基本形式[15]為

(36)

視線角速度為

式中:Kq為比例導引系數,RL=L-LP, RH=H-HP,L和H分別為導彈的位置分量,vL和vH分別為導彈的速度分量。

導彈的制導過載指令為

(37)

根據導彈的動力學方程,過載可表示為[15]

(38)

(39)

聯立以上各式,可得到爬升段的飛行攻角制導指令為

(40)

4優化仿真與結果分析

以某吸氣式超聲速導彈為例,對爬升段軌跡在線規劃與跟蹤算法進行仿真驗證。為了驗證文中方法的合理性,分別采用以下2種方案對爬升段軌跡進行對比仿真分析。

方案1:采用hp自適應偽譜法[16-18]對爬升段軌跡進行優化設計,優化設計變量為飛行攻角α和燃料質量流量mc,選取燃料最省[19],即油耗mu最小作為優化的性能指標。

方案2:采用前文提出的爬升段在線規劃與跟蹤算法進行設計,沖壓發動機的燃料質量流量采用方案1的優化結果進行調節。

4.1參數設置

吸氣式超聲速導彈爬升段優化設計的狀態變量的初始條件設定為:Ma0=2.9,θ0=0°,L0=0,H0=15 km,m0=500 kg;飛行軌跡終端的設計約束條件為:Maf=3.0,θf=0°,Lf=45 km,Hf=20 km,其中,軌跡優化設計變量的約束條件設定為:0.2 kg/s≤mc≤1.2 kg/s,-2°≤α≤12°,虛擬目標導引法中的比例導引系數為Kq=2,超前量為ΔS=4 km。

4.2仿真結果分析

采用4.1節中的仿真參數,分別對2種方案下的吸氣式超聲速導彈爬升軌跡進行仿真,表1給出了2種方案下的爬升段彈道性能數據,對比仿真結果如圖3~圖8所示。

表1　彈道性能對比數據

圖3　彈道曲線

圖4　彈道傾角變化曲線

圖5　馬赫數變化曲線

圖6　攻角變化曲線

圖7　燃料質量流量變化曲線

圖8　推力變化曲線

仿真結果表明:2種方案下的爬升段軌跡設計均滿足設計要求。從表1可以看出,2種方案下的油耗約為18.5 kg,相差不大。圖3為吸氣式超聲速導彈爬升段軌跡的對比曲線,實線表示采用優化方法設計的爬升軌跡,虛線表示在線規劃的參考軌跡,點線表示實際的跟蹤曲線。由各仿真曲線可以看出,在線規劃的爬升段軌跡與優化設計的軌跡差別不大,表明在線規劃算法的正確性與最優性。在第3節制導指令求解過程中對升力系數進行了多項式擬合,存在模型的不確定性。從仿真結果可以看出,在存在模型誤差的情況下,動虛擬目標追蹤法仍能具有良好的制導效果,可實現對參考軌跡的準確跟蹤,表明了動虛擬目標制導算法的正確性。

5結束語

①針對吸氣式超聲速導彈爬升段軌跡設計問題,提出了一種兩圓相切理論的爬升段軌跡在線規劃方法,該算法設計過程簡單,只需輸入起點和終點坐標,便于工程實現。

②提出了爬升段參考軌跡跟蹤的動虛擬目標追蹤法,在存在模型誤差的情況下,該算法具有良好的抑制作用,可實現對參考軌跡的準確跟蹤。

③通過與hp自適應偽譜法的爬升段軌跡對比仿真,以最小油耗為性能指標,2種方案下的最小油耗約為18.5 kg,仿真結果表明該在線規劃與跟蹤算法的最優性和合理性。

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Design of Online Planning and Tacking Ascent Trajectory

for Air-breathing Supersonic Missile

MING Chao,SUN Rui-sheng,BAI Hong-yang

(School of Energy and Power Engineering,NUST,Nanjing 210094,China)

Abstract:To make the air-breathing supersonic missile(ASM)optimally climb to cruising state,an online planning and tracking method for ASM was proposed.The cruising phase was divided into two tangent circular-arcs.The relative parameters and algebraic equations of the two tangent circular arcs were derived by the geometric method.The reference trajectory was built,and a type of trajectory tracking guidance law was put forward by pursuing a virtual moving target.The online planning and tracking control of the ascent trajectory were implemented based on the theory of tangent circles.Taking some typical cases for instance,the verification was carried out by numerical simulation.By comparing with hp-adaptive pseudo-spectral method,the simulation results show that there is a bit difference between reference trajectory and optimal trajectory,and the reference trajectory can be tracked accurately.The proposed method can be applied to the engineering practice of the ascent trajectory design of ASM,and the research offers reference for the ascent trajectory design of ASM.

Key words:air-breathing supersonic missile;ascent trajectory;tangent circles;virtual moving target;online planning and tracking

中圖分類號:TJ765;V412

文獻標識碼:A

文章編號:1004-499X(2015)04-0012-07

通訊作者:孫瑞勝(1978- ),男,副教授,博士,研究方向為飛行器總體設計。E-mail:srscom@163.com。

作者簡介:明超(1989- ),男,博士研究生,研究方向為飛行器軌跡優化與制導控制。E-mail:nust802mc@126.com。

基金項目:國家自然科學基金項目(11176012);江蘇省普通高校研究生科研創新計劃工程(KYLX15-0394)

收稿日期:2015-07-30