香港初中《生活與數學》編寫特色及啟示

劉海濤

摘要 香港是東西方文化的交匯點，其數學教育與內地有一定的區別，因此，教材編寫與內地相比有一些不同。《生活與數學》教材的編寫具有一定的特色，通過對教材的分析，發現主要有以下特點：以卡通激活學生求知欲望、以課堂討論引領知識建構、以基礎練習鞏固例題教學、以習題分層滿足學生差異、以IT園地助數學現代化。

關鍵詞 學生求知欲望 引領知識建構 鞏固例題教學 滿足學生差異 助數學現代化

數學教育在初等教育中具有核心的地位，各國發展歷史說明，數學教育決定一個國家的發展，因此世界各國對數學教育高度重視。因為幾乎所有的工作不僅依賴于基本的數學知識和技能，而且依賴于數學所培養的邏輯思維能力與認知能力，因而世界各國都特別重視數學課程，甚至將21世紀的經濟之戰視為“一場數學經濟之戰”[1]。數學教材是數學課程標準的一次再創造具體化，是教師教學與學生學習的抓手，因此教材的編寫倍受世界各國與地區的重視，決定數學教育的成功與失敗。香港《生活與數學》是依據香港2001年制定的數學課程而編寫的數學教材，由于香港是東西方文化的交匯點，因此教材的編寫與內地教材有一定的區別，本文以尹鋈鴻等編寫，牛津大學出版社出版的《生活與數學》3B，2005年版四邊形一章為例，對其特點進行探析。

一、以卡通激活學生求知欲望

《生活與數學》教材一節課的開始運用卡通圖片的形式提出問題，在四邊形一章第一節課，首先運用卡通圖片提出問題，運用形式新穎的圖片，把各種特殊四邊形畫成小人物的形象，放到臺上，進行特殊四邊形選拔賽，激發學生強烈的求知欲望。“求知欲指人在數學學習活動中面臨問題時產生一種缺乏相應知識的感覺，因而希望探究新知識、擴大知識結構的認知心理傾向。”[2]當學生閱讀到這里時，會使其產生強烈的求知欲望，激活學生的興趣。愛因斯坦曾說：“興趣是最好的老師。”著名心理學家布魯納也認為：“最好的學習動機是學生對所學知識本身的內在興趣。”興趣是學生學好數學的內在催化劑和驅動力。

第一，青少年學生對動畫片非常感興趣。由于青少年的年齡特點，加之現代媒體技術的發展，現代的青少年學生是動畫片伴隨他們長大的，對動畫中的卡通圖片非常喜歡。

第二，圖片運用各種不同的色彩引起學生的注意。首先，引起學生的注意，會使卡通圖片進入學生的工作記憶而被加工，因此會使學生運用表象表征特殊四邊形圖形的特點。其次，根據注意的過濾器理論：“神經系統對加工信息的注意選擇存在如下機制，神經系統在某一特定的時間內只能對特定的信息進行加工，而且加工的容量是有限的。也就是說，在神經系統的某一個加工階段存在著一個過濾機制，這個過濾機制會對來自不同感覺通道的信息進行選擇性地加工，使一部分信息能夠通過這個過濾器，并得到進一步的加工；而其他的信息就被阻斷在過濾器之外，得不到進一步的加工。”[3]因此圖片信息容易被加工。最后，現代認知心理學的研究表明：個體對圖片及場景等視覺信息的記憶能力似乎強于言語信息[4]。

第三，展示卡通圖片的同時，充分運用圖形進行分析。在平行四邊形判定一節中，把邊角相等或對角線互相平分運用圖形化的條件表示在平行四邊形中，并以競選方式提出“我是平行四邊形”，并用幽默的語言給學生提出問題，“真煩惱，他們都說的對呢？”下邊是平行四邊形的寶座。把學生置身于裁判員的位置，要想做好這個裁判，就要學習下面的有關平行四邊形的判定，并使學生帶著問題進行學習。一方面在圖形中標注圖形，是運用幾何直觀解決數學問題。希爾伯特在其名著《幾何直觀》一書中談到：“圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果，這就是幾何直觀帶給我們的好處。”[5]另一方面，現代認知心理學的研究表明，帶著問題學習更有利于對知識的表征，從而提高學習效率。

二、以課堂討論引領知識建構

《生活與數學》教材新知識的學習過程中，每一節是以課堂討論（或課堂探討）方式呈現的。如平行四邊形性質一節，提出如下問題進行課堂討論：如圖1的四邊形ABCD是一個平行四邊形，（a）在△ABC和△CDA中，找出兩對相等的角。（b）在△ABC和△CDA中，有沒有一對相等的邊？（c）△ABC和△CDA是否全等？試附理由。

圖1

第一，數學教學的本質是學生在教師的引導下，建構科學合理的良好數學認知結構的過程。首先，良好的數學認知結構是學生后續認知的支撐點。學生當前建構的數學認知結構是后續同化新知識的固著點，是學生進行認知的基礎，是學生的現有認知水平。學生潛在的認知水平是以現有數學認知結構為支撐，在同伴或教師的幫助下的數學認知水平。因此數學認知結構是學生最近發展區的根基。數學認知結構是學生信息加工的支撐點，其支撐的強度直接影響學生信息加工的能力。建構一個結構合理、有利于信息提取、清晰度高的準確的數學認知結構是提高學生數學認知能力的關鍵。數學認知結構是學生思維跳躍的支撐，決定學生思維跳躍的高度。其次，良好的數學認知結構是學生在數學上得到發展的基石。數學教學為學生的終身發展服務，在數學學習中，學生要學會用數學的思維方法去觀察世界、感知世界、理解世界，數學認知結構是學生運用數學思維方式體會認識世界的邏輯起點。最后，良好的數學認知結構是學生形成數學素養的核心。“數學素養是人們通過數學教育以及自身的實踐和認識活動，所獲得的數學基礎知識、基本技能、數學思想和觀念，以及由此形成的數學思維品質和解決問題能力的總和。”[6]顯然，數學素養的形成，依賴于良好的數學認知結構的形成。

第二，所討論的問題，在學生的最近發展區內，而且不直接討論問題的本質，而是討論兩個三角形中邊角是否相等以及兩個三角形全等的問題，通過對這些問題的討論學生能夠發現平行四邊形的性質。首先，給學生搭建一個“腳手架”有利于學生發現平行四邊形的性質。學生發現問題，要在一定的環境下發現，科學家發現定理的事實說明了這一點。如勾股定理的發明，是畢達哥拉斯在朋友家吃飯時，地板的拼圖啟發了他的思維，發現了勾股定理。對學生而言，教材中科學合理的設計問題，為學生發現問題創設情境，可使學生既建構數學知識，又培養創新能力。其次，問題分三個小問題呈現，可適應不同層次的學生。眾所周知，學生的差異是客觀存在的，也就是不同的學生其內化的數學認知結構是有區別的，數學認知的能力是不同的，因此分步呈現問題，可提高不同層次學生的認知能力。最后，用類比方法得到平行四邊形的對角線相等的性質，比較科學合理。教材在學生前面得到兩個三角形△ABC和△CDA全等的情況下，指出，如果連接AC、BD，如圖2，同樣可得到△AOD和△COB全等，從而得到AO=DO、BO=DO。類比思想是學生認知的重要思想方法，學生運用原有的數學認知結構同化新知識。波利亞曾說過：“類比是偉大的引路人”，并在《怎樣解題》中說：“在求解（求證）一個問題時，如果能成功地發現一個比較簡單的類比題，那么這個類比問題可以引導我們到達原問題的解答”。在學生運用全等三角形的理論研究四邊形的性質獲得成功經驗的情況下，教材在此用類比法讓學生研究對角線相等，進一步深化了運用全等三角形理論研究四邊形性質的經驗。

圖2

第三，課堂討論有利于學生發揮主觀能動性。討論使學生之間的思維火花相互碰撞，心理失去平衡，再通過同化或順應，重新得到平衡，獲得新知識。充分發揮學生的認知主體作用，有利于學生建構平行四邊形性質知識，有利于培養學生的創新能力。

三、以基礎練習鞏固例題教學

《生活與數學》教材在每個例題后配以一個基礎練習題，不同于課堂練習在一節內容之后，而基礎練習放在一個例題的后面，一一對應。基礎練習是例題的簡單變式，基礎練習的變式分為兩類，一類是對例題的圖形及條件數據進行簡單變式，運算的方法不變；另一類是對圖形及條件進行變式，結論不變。香港中文大學孫旭花、黃毅英、林智中在數學問題的結構性變式的研究中對變式進行了分類：一類是（形式）水平變式，另一類是（結構）垂直變式。水平變式題是指表面特征進行變式，垂直變式題是指結構變化[7]。基礎練習的變式屬水平變式。

數學例題是用來說明數學概念、定理、公式、性質等應用時做例子用的。數學例題是數學知識的載體，是提高學生運用概念、定理、公式、性質等分析問題、解決問題能力的抓手。教師對例題的分析與講解，是學生解題的榜樣，學生對例題有效理解是學好數學的關鍵，也是提高數學教學質量的關鍵。教材中示范與練習的有機結合，是充分挖掘教材中例題的示范作用的必要手段，發揮這些題目在培養學生數學思維品質上和掌握數學知識上的作用，達到舉一反三、觸類旁通、融會貫通的目的，使學生能夠通過例題的教學，進行簡單的模仿，為后續學生形成解題技能奠定基礎。同時，對例題條件進行變式，結論不變，可使學生對此類問題形成問題域，更加有利于學生掌握此類問題的解答，掌握解題規律，建構良好的程序性知識結構。

四、以習題分層滿足學生差異

《生活與數學》教材課后習題分層編寫，分為兩個層次，分別叫做程度一與程度二。程度一屬基礎型習題，程度二屬提高型習題。

第一，數學學習離不開有效的練習。我國著名數學家華羅庚說過：“學數學不做練習，好比入寶山而空返。”因此，練習的形式、習題的組成等，直接影響著數學學習的有效性。學生的數學認知結構是有區別的，因而學生之間的差異是客觀存在的。首先，香港是國際化程度比較高的大都市，學生來自世界各地，由于每位學生所在的家庭不同，因此所受的家庭教育是不同的。其次，學生所處的社會環境有區別，文化背景不同，學生所受教育的經歷是有區別的。最后，學生的智力發展是有區別的，表征數學知識的方式方法也是有區別的，因此學生形成的數學認知結構有差異是絕對的。

第二，數學教材是學生學習數學的主要知識載體，數學教材中的習題是學生獲取數學知識形成技能的主渠道，又是提高數學教學質量的關鍵。有效的練習，能夠使不同層次的學生在數學上得到不同的發展。首先，有效的練習是學生鞏固所學知識、運用知識、訓練技能和技巧的必要手段，對學生形成良好數學認知結構起關鍵作用。其次，學生之間的差異是客觀存在的，數學習題也要適應學生個性發展的需要，進行有層次的練習，才能使人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。最后，分層習題可使不同層次學生得到成功的體驗。成功的體驗對學生來說特別重要，一個學生如果獲得了成功的體驗，是一種自我能力的認識，會激發學生的學習興趣，會使學生對未來的學習充滿信心。很多數學家，本來對數學不感興趣，因為一次偶爾的成功體驗，使他們對數學產生了濃厚興趣，并由此刻苦學習，最后走向成功。

五、以IT園地助數學現代化

《生活與數學》教材在每一章的最后，結合本章的內容，配有IT園地。有的是從不同的角度觀察一個立體圖形，并提供網址，要求回答一定的問題；有的是利用網上的軟件，求一個立體圖形的體積；有的是介紹幾何畫板軟件的使用方法。眾所周知，1957年，前蘇聯發射了世界第一顆人造地球衛星后，全世界為之震驚，美國不甘于落在蘇聯的后面，分析本國落后的本質原因，最后歸因于教育的落后，認為教育內容陳舊，教學方法落后。在《國防教育法》推動下，進行了新課程改革，改革的重點是信息技術逐漸進入課堂，開啟了教育現代化的征程。顧明遠教授認為：教育現代化是以現代信息社會為基礎，以先進教育觀念為指導，運用先進信息技術的教育變革過程，是傳統教育向現代教育轉變的過程[8]。世界各國都認為，數學教育是決定一個人終身發展的教育，是決定一個民族發展的教育，世界的競爭，本質是教育的競爭，數學教育在教育中處核心地位，因此有理由說，世界的競爭實質就是數學教育的競爭。在這場競爭中，誰走在數學教育現代化的前邊，誰就能夠掌握競爭的主動權。數學是信息技術發展的基礎，信息技術的發展本質是數學的發展，反過來，信息技術又促進數學教育的發展。如運用多媒體課件進行教學，網上授課，運用信息技術翻轉課堂、設計微課程等，運用幾何畫板可改變傳統的尺規作圖，運用計算機來研究幾何學、證明幾何定理。因此，在教材中增加IT園地，首先，可以提高學生對數學學習的興趣，增加學習數學的有效方法。其次，可使學生運用現代化手段，更有效地學習數學知識，把課堂延伸到網絡世界。最后，運用幾何畫板等，可使學生在幾何畫板的平臺上，研究幾何知識，增添學生研究數學積極性，同時，幾何畫板可進行符合標準的精確畫圖和測量，為學生進行猜想、驗證、獲得正確的結論提供強有力的支撐，從而豐富學生的幾何探究經驗，提高數學學習的有效性。

六、對內地教材編寫的啟示

第一，教材的編寫要與學生的生活經驗緊密結合。一方面，學生的生活經驗經內化后，成為個體認知結構的組成部分，因而可為學生的數學學習提供強有力的技撐。另一方面，伴隨著時代的發展，同齡學生的生活經驗要發生變化，因而學生的生活經驗也隨著時代的變化而變化，教材中的例子要隨時代的變化而變化。

第二，教材的編寫要與學生的心理特點緊密結合。青年學生有學生的心理特點，教材的編寫要與學生的心理特點相結合，這樣才能激發學生的學習興趣，有了學習興趣才能激活學生的潛能。

第三，教材的編寫要與信息時代的發展緊密結合。首先，信息技術的發展，促進人類社會全方位的變革，改變著人類的工作、學習、生活，數學學習也離不開信息技術的支撐。其次，信息技術改變數學的學習方式。人們可以運用計算機證明定理，運用計算機探究數學問題。最后，運用計算機可為學生提供豐富的表征方式。運用信息技術，可使學生觀察到一些生活中無法觀察到的演示動畫，豐富學生的想象能力，提高學生幾何直觀的能力。

參考文獻

[1] 宋乃慶，徐斌艷主編.數學課程導論[M].北京：北京師范大學出版社，2010（8）.

[2] 孔凡哲，曾崢.數學學習心理學[M].北京：北京大學出版社，2009（3）.

[3] 張學民.實驗心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2009（8）.

[4] 約翰·安德森.認知心理學及其啟示[M].秦裕林，等，譯.北京：人民郵電出版社，2012（1）.

[5] 希爾伯特，康福森.直觀幾何[M].北京：高等教育出版社，1959.

[6] 上海市教育委員會.上海市中小學數學課程標準（試行稿）[S].上海：上海教育出版社，2004（10）.

[7] 張奠宙.中國數學雙基教學[M].上海：上海教育出版社，2006（5）.

[8] 顧明遠.試論教育現代化的基本特征[J].北京：教育研究，2012（9）.

【責任編輯 郭振玲】